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1、例析数形结合思想在高考中应用数形结合思想是数学重要思想方法之一，也是高考常考的 一种思想方法数形结合”是将抽象的数学语言与直观的 图形语言有机地结合起来，使要解决的数学问题化难为易， 化抽象为直观.在教学中应注重培养学生具有应用这种思想 方法来解决数学问题的意识和能力.以下例析数形结合思想 在高考中的应用.一、在函数中的应用例1 (2011年陕西理科卷)函数f (x) =xcosx在0, + oo)内A. 没有零点B. 有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点解析在同一直角坐标系中分别作出函数y=x和y=cosx 的图象，如图1所示，当xl时，y二xl, y=cosx0, w
2、 0) 的部分图象如图3所示，则f (0)的值是.解析由图可知A=2,T4=7 n 12 n 3= n 4,所以 T= n , 3 =2 n T=2 n n =2.当x=7 Ji 12时，y取得最小值, 即 2X7 Ji 12+二2k n +3 n 2,取 k=0,得 e 二 n 3.所以 f (x) =2sin (2x+n3),从而 f (0)二2sinn3二62所以答案填62.评注本题运用数形结合的思想求正弦函数的解析式，可 以利用正弦函数的图象和性质将解析式f(x)=Asin( sx+e ) 中参数分别求解出来.四、在线性规划中的应用例4 (2011年山东文科卷)设变量x, y满足约束条
3、件 x+2y 5W0,x y 2W0,x20,则目标函数z=2x+3y+l的最大值为A. 11B. 10C. 9D. 8. 5解析作出如图4所示不等式组表示的可行域，因为 z二2x+3y+l可化为y二一23x+z313,结合图形可知z=2x+3y+l在点A处取得最大值.由 x+2y 5=0,x y 2=0,得 x=3,y=l.故 A (3, 1),此时z二2X3+3X1+1=10,所以答案选B评注本题运用数形结合的思想解决线性规划中的最优 解问题，可以先作出可行域，再结合图形找出取最优解时的 点.五、在解析几何中的应用例5 （2011年课标全国卷）如图5,在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中
4、心为原点，焦点Fl, F2在x轴上，离心 率为22.过F1的直线交C于两点A, B,且AABF?的周长为 16,那么C的方程为.解析设椭圆方程为x2a2+y2b2=l,由于 e二22，即 ca二22,所以 b2a2=a2-c2a2=l-12=12.由于AABF?的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AFl|+|AF2|+|BFl|+|BF2|=4a=16, 故 a=4, b2二8.所以椭圆的方程为x216+y28=l.答案填x216+y28=l评注本题运用数形结合思想解决解析几何问题，可结合 椭圆的图形运用椭圆的离心率和椭圆的定义来解决问题.六、在正态分布中的应用例6 （2011年湖北理
5、科卷）已知随机变量2服从正态分布 N (2, o 2),且 P ( 4 4)二0. 8,则 P (0 4 2)=A. 0. 6B. 0. 4C. 0. 3D. 0. 2解析正态分布的密度函数的图象如图6所示，函数关于直线x=2对称，所以 P ( 22) =0.5,并且 P (042) =P (2E4),则 P (0 2 2)二P ( 4) P ( 2)二0. 8-0. 5=0. 3. 答案选C.评注本题运用数形结合思想解决正态分布问题，可借助 正态分布的图象，利用正态分布图象的对称性来解决问题.七、在定积分中的应用例7(2011年课标全国理科卷)由曲线y=x,直线尸X2及y轴所围成的图形的面积
6、为A. 103B. 4C. 163D. 6解析由x二X,y=x 2得交点坐标为A (4, 2).因此如图7, y=x与y=x 2及y轴所围成的图形的面积 为f 40x (x 2) dx= f 40 (x x+2) dx=(23x32-12x2+2x) |40=23X8-12X 16+2X4=163. 答案选C.评注本题运用数形结合思想解决定积分的问题，可通过 作出图形来解决问题.八、在概率中应用例8 （2011年安徽文科卷）从正六边形的6个顶点中随 机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率 等于A. 110B. 18C. 16D. 15解析如图8所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随 机选4个顶点，共有C46=15种选法，其中能够构成矩形的 有FECB、AFDC、ABDE三种选法，所以概率为315=15,故答 案选D.评注本题运用数形结合思想解决概率的问题，可结合图 形利用古典概率模型来求概率.综上所述，数形结合思想在高考数学中有着广泛的应 用，几乎渗透到高中数学的所有章节数形结合法不失为一 种灵活巧妙解题的数学方法，它沟通了数学各个分支之间的 联系，它能把复杂问题简单化，把抽象问题具体化，使所要 解决的问题化难为易，从而达到解决问题的目的.
