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1、高考数学总复习 第5章 平面向量及其应用、复数（466页）第五章平面向量及其应用、复数5.1平面向量的概念及线性运算5.2 平面向量基本定理及坐标表示5.3 平面向量的数量积5.4 解三角形5.5 复数高考专题突破二 高考中的解三角形问题第五章平面向量及其应用、复数5.1平面向量的概念及线性运算考试要求1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平
2、面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练ZHUGANSHULI JICHULUOSHI主干梳理 基础落实1 11.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的.(2)零向量：长度为的向量，记作 .(3)单位向量：长度等于长度的向量.(4)平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向的向量.(6)相反向量：长度相等且方向的向量.知识梳理方向模01个单位0相反相同相反2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换
3、律：ab ；结合律：(ab)c_减法求两个向量差的运算aba(b)a(bc)ba数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向；当|b|，则abD.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件解析由平行向量和共线向量可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D是正确的.4.(多选)下列命题正确的有A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相
4、等C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”解析方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；A，B，C，D是不共线的点，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，
5、平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.思维升华命题点1向量加、减法的几何意义例1设非零向量a，b满足|ab|ab|，则A.abB.|a|b|C.abD.|a|b|题型二平面向量的线性运算多维探究解析方法一利用向量加法的平行四边形法则.从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.方法二|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.命题点2向量的线性运算解析方法一 如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，命题点3根据向量线性运算求参数解析取AB的中点F，连接CF，
6、则由题意可得CFAD，且CFAD.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)求已知向量的和或差.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则.(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.思维升华解析作出示意图如图所示.2所以xy2.题型三共线定理的应用师生共研又它们有公共点B，A，B，D三点共线.例4设两向量a与b不共线.(2)试确定实数k，使kab和akb共线.解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个向量，kk10，k210，
7、k1.利用共线向量定理解题的策略(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.思维升华A，B，C三点共线，故选A.(3k)e1(2k1)e2，解析由题意知，A，B，D三点共线，3e12e2(3k)e1(2k1)e2，KESHIJINGLIAN3 3课时精练1.(2020湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是A.ab0B.abC.a与b共线反向D.存在正实数，使ab
8、12345678910 11 12 13 14 15 16基础保分练解析因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，所以a与b共线同向，故D正确.12345678910 11 12 13 14 15 16解析根据正六边形的性质，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)下列说法中正确的是A.B.若|a|b|且ab，则abC.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.若ab，则有且只有一个实数，使得ba12345678910 11 12 13 14 15 16由|a|b|且ab，得ab或ab，故B错误；若a与
9、b不共线，则a与b都是非零向量，故C正确；根据向量共线基本定理可知D错误，因为要排除零向量. 故选AC.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16则点M在边CB的延长线上，故B错误；则点M是ABC的重心，故C正确；12345678910 11 12 13 14 15 16则M为AN的中点，故选ACD.12345678910 11 12 13 14 15 16所以ABC是边长为2的正三角形，12345678910 11 12 13 14 15 168.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析向量a，b不平行
10、，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16所以正确命题序号为.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，12345
11、678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)证明：B，E，F三点共线.12345678910 11 12 13 14 15 16所以B，E，F三点共线.12345678910 11 12 13 14 15 16技能提升练12345678910 11 12 13 14 15 16解析因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2ab0.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11
12、 12 13 14 15 16拓展冲刺练12345678910 11 12 13 14 15 16如图所示，设D为A2A3的中点，显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点，故有两个值，即符合题意的点M有两个，故选C.12345678910 11 12 13 14 15 16方法二以A1为原点建立平面直角坐标系，设A2(a，b)，A3(m，n)，M(am)，(bn)，12345678910 11 12 13 14 15 16(13)2(am)2(bn)21，A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点，(am)2(bn)20，所以关于的方程有两解，故满足条件的M有两个，故选C.12345678
13、910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)求mn的最小值.第五章平面向量及其应用、复数5.2平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练ZHUGANSHULI JICHULUOSHI主干梳理 基础落实1 11.平面向量基
14、本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a，一对实数1，2，使a1e12e2.若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解.不共线有且只有基底知识梳理互相垂直3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab，ab，a，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则， |.4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)
15、，其中b0，则ab.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1， y2y1)x1y2x2y101.若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？微思考提示不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示 不一定.两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.题组一思考辨析基础自测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.()(2)若a，b不共线，且
16、1a1b2a2b，则12，12.()(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()题组二教材改编2.(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是3.已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_.(1,5)得(4,1)(5x,6y)，_.题组三易错自纠5.(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可作为这一个平行四边形所在平面的一个基底的是解析平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，6.(多选)已知向量a(1，2)，|b|4|a|，ab，则b可能是A.(4,8)B.(4，8)C.(4，8)D.(4,8)TIXINGTUPO HEXINTANJIU2 2题型突破 核心探究题型一平面向量基本定理的应用师生共研(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先
