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1、精选优质文档-倾情为你奉上2 录 像 机 计 数 器 的 用 途问题的提出老式的录像机上都有计数器，而没有计时器，一些录音机也有类似的情况这种计数器有什么用呢，让我们从这样一个问题开始：一盘标明180分钟的录像带从头转到尾，用时184分钟，计数器读数从0000变到6061在某一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下一小时的节目 如果计数器读数随着录像带的转动是均匀增加的，那么由于4450已经显著地超过6061的三分之二，即录像带已经转过两小时多，所以显然不能再录一小时的节目但是，只要你耐心地观察一下就会发现，读数并非均匀增长，而是先快后慢，这样，回答上面的问题
2、就需要知道计数器读数与录像带转过的时间之间的关系本节的目的是要建立表述这个关系的数学模型问题的分析 计数器的读数是怎样变化的，它的增长为什么先快后慢，回答这些问题需要了解计数器的简单工作原理(图1) 录像带有两个轮盘，一开始录像带缠满的那个轮盘不妨称为左轮盘，另一个为右轮盘计数器与右轮盘的轴相连，其读数与右轮转动的圈数成正比开始时右轮盘是空的，读数为0000，随着带子从左向右运动，右轮盘半径增加，使得转动越来越慢，计数器读数的增长也就越来越慢 在录像带的转动过程中，与微型电机相连的主动轮的转速当然是不变的，录像带靠压轮压在主动轮上，所以录像带的运动速度(线速度)为常数(想想看，如果录像带通过磁
3、头时的速度不是常数，我们看到的画面会是怎样的)，而右轮盘随着半径的增加，其转速当然越来越慢 我们要找出计数器读数(记作)与录像带转过时间(记作)之间的关系，即建立一个数学模型模型的假设 根据以上分析作如下的假设： 1录像带的线速度是常数； 2计数器读数与右轮盘转的圈数(记作)成正比，为比例系数；3录像带的厚度(加上缠绕时两圈间的空隙)是常数，空右轮盘半径为； 4初始时刻时，。模型的建立 图2 时间t与计数器读数n的关系建立与之间的关系有多种途径，一种很自然的想法是计算缠绕在右轮盘上的录像带的长度当右轮盘转到第圈时其半径为，周长为，圈的总长度恰等于录像带转过的长度，即考虑到比小得多，并代人容易算
4、出 （2）这就是我们需要的数学模型另一种更简单的办法是考察右轮盘面积的增加，它应该等于录像带转过的长度与厚度的乘积，即由此同样可以得到(2)式 读者还可以考虑如何用微积分的办法得到(2)式 思考 对(1)，(3)式仔细推算一下，会发现由(1)得到的结果与(2)式有微小差别，你能解释这个差别吗? 要利用模型(2)由计算，必须先确定其中的参数一种确定参数的办法是进行测量或调查，你能设计测量的办法吗?实际上，从建模的目的看，我们并不需要知道这4个参数的每一个，如果把 (2)式改记作 那么只需要确定两个参数即可进行，和之间的计算 (4)式表明，和的关系不是线性的(这是通过观察和分析就知道的)，而是二次
5、的(这只能通过数学建模确定)与的这种函数关系可描绘成图2的曲线，直观地表明随着时间的增加，计数器读数的增长是越来越慢的参数估计 理论上，有两组数据就能算出(题目中已经给出一组：，所以再测试一组数据即可)而实际上，由于测试有误差，一般应该用足够多的测试数据作拟合为此，用这盘录像带测得了一组数据，如表2我们用其中一部分数据()按照最小二乘法估计算出，得到，代人(4)式即得到需要的数学模型 模型的检验 上面得到的模型除了要用参与拟合的数据作统计检验外(统计检验将在第10章作简单介绍)，还应该用未参加建模的数据(如用表2中的另一部分数据)进行检验可以发现，结果也相当好 模型的应用 对于本节开始提出的问
6、题，当n=4450时，由(4)式算出分钟，剩下的一段带子尚可录下分钟的节目当然，这个问题由上面的实测数据就能回答()时不到120分钟，显然还可录下1小时节目)，但是建立数学模型(4)式的意义在于，不仅在使用这盘录像带时，对于任意的计数器读数可以算出时间，而且揭示了“与之间呈二次函数关系”这个普遍规律当录像带型号改变(或其它因素变化)时，只需再测量一批数据来估计参数，模型(4)式仍然能用评注 从提出日常生活中的一个实际问题人手，通过观察计数器读数先快后慢的现象，了解它的工作原理，在相当合理的假设下，用几种简单的方法建立了计数器读数与录像带转过时间的数学模型，并且包含了参数估计、模型检验和应用等内容，是数学建模全过程的一个典型示例专心-专注-专业
