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1、数列型不等式放缩技巧方法 作者： 日期：数列型不等式放缩技巧方法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考察学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的构造，深入剖析其特征，抓住其规律进展恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1 均值不等式法例1 设求证解析 此数列的通项为，即 注：应注意把握放缩的“度：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，假设放成那么得，就放过“度了！ 根据所证不等式的构造特征来选取所需要的重要不等式，这里
2、其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 函数，假设，且在0，1上的最小值为，求证：02年全国联赛山东预赛题 简析 例3 为正数，且，试证：对每一个，.88年全国联赛题简析 由得，又，故，而，令，那么=，因为，倒序相加得=，而，那么=，所以，即对每一个，.例4 求证.简析 不等式左边=，原结论成立.2利用有用结论例5 求证简析 此题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质可得 即 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝加“叶而编拟成1998年全国高考文科试题；进展升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(
3、可考虑用贝努利不等式的特例) 例6 函数求证：对任意且恒成立。90年全国卷压轴题 简析 此题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号) ，得证！例7 用数学归纳法证明；对对都成立，证明无理数05年辽宁卷第22题解析 结合第问结论及所给题设条件的构造特征，可得放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，此题还可用结论来放缩： ，即例8 不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：求证05年湖北卷第22题简析 当时，即 于是当时有 注：此题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利
4、用所给题设结论来进展有效地放缩； 引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。例9 设，求证：数列单调递增且 解析 引入一个结论：假设那么证略整理上式得以代入式得即单调递增。以代入式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进展局部放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：是正整数，且1证明；2证明01年全国卷理科第20题 简析 对第2问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数
5、列递减，且故即。 当然，此题每题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文1。二 局部放缩 例10 设求证： 解析 又只将其中一个变成，进展局部放缩，于是例11 设数列满足，当时证明对所有 有；02年全国高考题 解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，那么当时，成立。 利用上述局部放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到局部放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了局部放缩的结论。三 添减项放缩 上述例5之法2就是利用二项展开式进展减项放缩的例子。例12 设，求证
6、.简析 观察的构造，注意到，展开得，即，得证.例13 设数列满足 证明对一切正整数成立；令，判定与的大小，并说明理由04年重庆卷理科第22题简析 此题有多种放缩证明方法，这里我们对进展减项放缩，有法1 用数学归纳法只考虑第二步；法2 那么四 利用单调性放缩1 构造数列如对上述例1，令那么，递减，有，故 再如例5，令那么，即递增，有，得证！ 注：由此可得例5的加强命题并可改造成为探索性问题：求对任意使恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！ 2构造函数例14 函数的最大值不大于，又当时求的值；设，证明04年辽宁卷第21题解析 =1 ；由得且用数学归纳法只
7、看第二步：在是增函数，那么得例15 数列由以下条件确定：，I证明：对总有；(II)证明：对总有02年北京卷第19题 解析 构造函数易知在是增函数。 当时在递增故 对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。注：此题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景数列单调递减有下界因而有极限： 是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的提醒往往具有重要的指导作用。五 换元放缩 例16 求证 简析 令，这里那么有，从而有 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进展局部放缩起到了关键性的作用。例17 设，求证.简析 令，那么，应用二项式定理进展局部放缩
8、有，注意到，那么证明从略，因此六 递推放缩递推放缩的典型例子，可参考上述例11中利用局部放缩所得结论 进展递推放缩来证明，同理例7中所得和、例8中、 例13之法2所得都是进展递推放缩的关键式。七 转化为加强命题放缩如上述例11第问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进展归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题：再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了略。例18 设，定义，求证：对一切正整数有解析 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有证明从略 例19 数列满足证明01年中国西部数学奥林匹克试题简析 将问题一般化：先证明其加强命题用数学归纳法，只考虑第二步： 因此对一切有 八 分项讨论 例20 数列的前项和满足 写出数列的前3项；求数列的通项公式；证明：对任意的整数，有04年全国卷 简析 略， ；由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 减项放缩，于是 当且为偶数时当且为奇数时添项放缩由知由得证。参考文献1李锦旭等?例说高考题的科学背景?。华东师大?数学教学?2004年第11期。
