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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学必修二知识整理1. 空间几何的结构棱柱的结构特征棱柱的定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点（如下图）。详解：“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱。如上图的棱柱表示为棱柱棱柱的特点：两个底面是全等的多边形，且对应边互相
2、平行，侧面都是平行四边形。棱柱的一些相关概念：棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱的高。侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱。侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。棱柱的本质特征棱柱的两个本质特征：有两个平面互相平行的面；侧棱互相平行。由这两个特征可以推出棱柱的所有侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等，所有对角面都是平行四边形。详解：直棱柱是特殊的棱柱，“直”体现在侧棱与地面垂直；正棱柱是特殊的直棱柱，“正”体现在底面是正多边形。棱锥的结构特征棱锥的定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形叫做棱锥的底面或底；
3、有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。顶点到底面的距离叫做棱锥的高（如下图）。底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体。棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母表示。如上图中的四棱锥，表示为棱锥S-ABCD.棱锥的特点：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心的垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥。正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形边上的高都相等，叫做棱锥的斜高。详解：特殊的棱锥正棱锥，即地面是正多边形，并且顶点在底面上的投影是底面的
4、中心，这样的棱锥叫做正棱锥。两个条件缺一不可。棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高（如下图）。由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台与棱柱的表示一样，上图中的棱台表示为棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。详解：棱台的结构特征是：各侧棱延长后相交于同一点；两底面是平行的相似多边形圆柱的结构特征圆柱的定义：以矩形的一边所在直线
5、为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴；在轴上的这条边（或它的长度）叫做这个圆柱的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线（如下图）。圆柱用表示它的轴的字母表示，如上图中的圆柱表示为圆柱.棱柱与圆柱统称为柱体。详解：圆柱有两个大小相同的底面，有无数条母线，而且圆柱的所有母线都平行且相等。圆柱有两个本质特征：平行于底面的截面是圆；过轴的截面是全等的矩形。圆锥的结构特征圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。圆锥也有轴、底面、高、侧面和母线（如下图）。圆锥也
6、用表示它的轴的字母表示，如上图中的圆锥表示为圆锥SO.棱锥与圆锥统称为锥体。详解：圆锥的简单性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面是全等的等腰三角形。圆锥的轴截面包含了圆锥的各个元素，是解决圆锥问题常用的平面图形，它可以把空间问题转化为平面问题，这是解决空间几何问题的常用方法。圆台的结构特征圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。与圆柱、圆锥一样，圆台也有轴、高、底面、侧面、母线（如下图）。圆台也用表示它的轴的字母表示，如上图中的圆台表示为圆台.棱台与圆台统称为台体。详解：圆台可以看作是由圆锥截得的，也可以看作是直角梯形绕其直角边旋转而成的。圆台的结构特征
7、：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面是全等的等腰梯形；圆台的母线长都相等，每条母线延长后，都与轴相交同一点。球的结构特征?球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直线叫做球的直径（如下图）。球常用表示球心的字母O表示，如上图中的球表示为球O.球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离。详解：球体与球面是不同的，球体是几何体，球面是曲面，但两者也有联系，球面是球体的表面。简单组合体的结构特征简单组合体的构成有两种基本形式：一种是
8、由几何体拼接而成，一种是有简单几何体截去或挖去一部分而成。详解：简单组合体的分类：多面体与多面体的组合：由两个或两个以上的多面体组成的几何体。多面体与旋转体的组合：由一个多面体与一个旋转体组合而成。旋转体与旋转体的组合体：由两个或两个以上的旋转体组合而成。2、空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积1.柱体、锥体、台体的表面积对于棱柱、棱锥、棱台等多面体，它们的表面积是其各个面的面积之和.因此，可以把它们展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积圆柱的侧面展开图是一个矩形（如下图），如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面面积为，侧面积为，此时圆柱的表面积.
9、(3)圆锥的侧面展开图是一个扇形（如下页图），如果圆锥的底面半径为r，母线为l，那么它的表面积.(4)圆台的侧面展开图是一个扇环（如下图），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即.2.柱体、锥体、台体的体积(S为底面积，h为柱体的高)；(S为底面积，h为锥体的高)；（、S分别为上、下底面面积，h为台体的高)。球的体积和表面积设球的半径为R，那么它的表面积,球的体积.详解：利用球的半径、球心到截面的距离、截面圆的半径所构成的直角三角形求出截面圆的半径，即.3、空间点、直线、平面之间的位置关系平面的概念及其表示法为了表示平面，我们常把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如
10、平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的简称，图（1）的平面也可以表示为平面、平面AC平面BD.平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。点A在平面内，记作外，点在平面外，记作.详解：通常把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面来表示平面。平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理3
11、：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们且只有一条过该点的公共直线。详解：公理1可以用来判断直线是否在平面内。如果直线l上的所有点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l，记作；否则，就说直线l在平面外，记作.公理1也可以用符号表示：.公理2刻画了平面特有的基本性质，它给出了确定一个平面的依据。不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”。公理3告诉我们如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线。公理3是判定两个平面相交的依据，即要证明两个平面相交，必须且只需证明这两个平面有一个公共点。公理
12、3是证明点在直线上的依据，即要证明一个点在某条直线上，可证该点是某两个平面的公共点，而该直线是这两个平面的交线。公理3是证明几个点共线的依据，即要证明几个点共线，可证这几个点都是某两个平面的公共点。实例：如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线是否共面？解：两条平行直线确定一个平面，第三条直线有两点在此平面内，所以也在这个平面内。于是，这三条直线共面。异面直线及其相关性质异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。如下图所示，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。?如果两条异面直线所成的角
13、是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。两条互相垂直的异面直线a，b，记作.详解：(1)两异面直线所成的角与点O的选取无关。(2)两异面直线所成角的范围是.(3)判定空间两条直线是异面直线的方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B连成的直线与平面内不过点B的直线是异面直线。反证法：证明两直线共面不可能。平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（传递性）。等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。详解：公理4表明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行，它给出了判断两条直线平行的依据。经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。由等角定理可以得
14、到如下两个推论：推论1：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。推论2：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两组直线所成的角相等或互补。证明空间两条直线平行的方法：方法1：利用定义用定义证明两条直线平行，须证两件事：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点。方法2：利用公理4用公理4证明两条直线平行，只须证一件事：就是须找到直线c，使得，同时，由公理4，得到.空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系：1.空间中直线与直线的位置关系如下图：2.直线与平面的位置关系如下图：详解：直线a
15、与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。用符号表示：.详解：利用判定定理证明直线与平面平行必须具备三个条件：1 直线a在平面外，即；2 直线b在平面内，即；3 两直线a，b平行，即.判定直线与平面平行的方法：(1)利用定义：证明直线与平面无公共点；(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行。(3)反证法：假设直线与平面不平行，那么直线与平面相交或直线在平面内，由已知或定理、定理证明这是不平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。此定理也可用符号表示：.推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。详解：利用判定定理证明两个平面平行，必须具备两个条件：有两条直线平行与另一个平面；这两条直线必须相交，两者缺一不可。判定两个平面平行的方法有以下几种：1 利用定义：正两个平面没有公共点；2 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；3 两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；4 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条
