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1、精选优质文档-倾情为你奉上摘 要数学分析是一门非常重要的基础课程,反例对理解数学分析有关定义和定理的内涵和外延有着不可替代的作用,反例的地位在数学的学习中占有很重要的地位,对培养我们的逆向思维至关重要,恰当的运用反例对我们数学能力的提高起着事半功倍的效果,我们希望定理中的条件是最简的,在我们一步步削弱条件的时候,反例的作用就越来越明显,一个特列不能说明一个命题是对的,但一个反例完全可以证明一个命题是错的.反例的作用和构造也越来越受到重视.本文介绍了数列,函数,导数,积分,无穷积分,级数等中的一些典型问题的反例,对一些逆命题的成立与否通过反例做了简单的论证,通过反例把一些看似相关性很大的定义和定
2、理的区别又做了进一步的比较和分析,对一些反例的构造过程和思路做了详细介绍,回答了为什么这样构造的问题,可以让读者在错综复杂的关系里得到清晰的逻辑和思路.关键词：命题;反例;构造;数学分析;体现 ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course, counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation
3、, counter example role has a extremely important position in learning mathematics occupies,it is very important to educate our reverse thinking, appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position, we hope that the conditions of the theorem is on
4、e of the most simple, when we weaken conditions step by step, the counter example of the role is more and more obvious, a special example does not justify a question is right, but a counter example can prove that a theorem is wrong. counterexample and structure is becoming more and more important. A
5、ccording to the general mathematical analysis teaching material order, this paper introduces the sequence, function, derivative,and series of a reverse case of some typical problems, such as, for some of the establishment of the converse proposition, seemingly through counterexamples correlation def
6、inition theorem of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example ,it also made a detailed introduction, why and how structure counterexample get a answer in this paper, reader can get a clear logic in this paper.Key words: proposition;
7、counter example;structure;mathematical analysis; reflect 目 录专心-专注-专业1.引言数学分析在数学专业中占有重要的基础地位,反例在数学分析中的应用也越来越受到重视,其实反例的作用不仅仅体现在数学分析中,像实变函数中的康托尔三分集就是一个经典的例子,也可充当很多命题的反例,第一个无处可微的连续函数的例子是由Weierstrass用振动曲线 构造提出的: 13,这使得人们对连续和可微之间的关系研究又提高到了另一个高度,是理性的结果,打破了长期以来的模糊的错误的观点,从此以后,人们又仿效他做了适当的修改,构造出越来越多的反例,反例的作用越来
8、越得到人们的肯定和重视,由此可见,能构造出反例来推翻一个命题和证明一个命题的正确性同等重要,构造反例关键在于巧妙,反例不是凭空想象的,而是根据要求和已有的知识经过很严密的思考得出来的,在运用和构造反例的过程中可以让我们对知识点理解的更加透彻,使我们的思路更加清晰,对提高我们的数学思想和数学能力有着很大的帮助作用. 2. 反例在加深理解定义及相关概念中的体现2.1周期函数并不是非常数的周期函数都有最小正周期,下面我们寻求一个没有最小正周期的非常数的周期函数,可以证明非常数的连续周期函数必有最小正周期5,所以我们构造的函数一定是不连续的,如狄利克雷函数,它的周期是全体有理数,因而没有最小正周期.2
9、.2复合函数,已知,若的过程中始终保持有,则复合函数的极限12.注意这里的容易忽略,但确实又是必不可少的,例如：及,这时时,时,但复合后的极限不存在,因为.由此可知是不能去掉的,但是如果外层函数连续,则,就不必假定在极限过程中了.2.3极值若连续函数在点有极大值,则在此点的某一领域内一定满足在此点的左侧递增右侧递减.这个命题初看很正常,感性认识是对的.但是事实并非如此,例如,在=0取得极大值2,而在=0的任意小的领域内都时正时负,故在=0的左右两侧任意领域内都是震荡的.2.4一致连续定义11 设f为定义在区间I上的函数.若对任给的,存在,使得对任何,I,只要,就有,则称函数f在区间I上一致连续
10、.由一致连续的定义可以证明,在有限开区间上一致连续的两个函数之积仍然是一致连续函数.现在我们来看在有限开区间上一致连续的两个函数之商和在无穷区间上一致连续的两个函数之积是否还是一致连续函数.通过反例我们可以知道这时就不一定成立了,如：1与x在（0,1）上一致连续,但其商在（0,1）上不一致连续.x与x在(0, )上一致连续,但在(0, )上不一致连续.2.5导数定义21 设函数在的某邻域内有定义,若极限存在,则称函数在点处可导.由定义可知函数的可导是针对一点而言的,所以存在只在一点可导,在这一点的任何领域内都不可导的函数,因为连续也是针对点而言的,我们知道存在只在单点连续的函数,在这一点的任何
11、领域内都不连续,如黎曼函数,那么是否存在这样的函数,只在一点可导,在其他任一点都不连续,这样的函数是存在的,如=仅在点=0处可导,在其他任意一点都不可导,且不连续,其中是狄利克雷函数.2. 可导函数在某点满足,但不能断定在的某领域内单调递增,如,则,在=0点,但在原点的任意领域内都取正值和负值.3.导函数不一定连续.例如,则,在点间断,并且是第二类间断点,其实这并不是偶然,因为导函数是没有第一类间断点的,并且还可以证明导函数如果有第二类间断点一定是振荡型的第二类间断点.3. 反例在掌握定理的内涵与外延中的体现3.1柯西收敛准则定理3.1.1 1（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：对任给的,存
12、在正整数N,使得当n,mN时有.下面列出两个命题（1） 数列收敛的充要条件是5：对任给的,当时,对一切,都有（2） 数列收敛的充要条件是：对任给的,对,当时,有对于以上两个命题,再结合柯西收敛准则,我们很难一下子看清楚哪个是对的,看似他们的表述很接近,貌似都对,实则不然,对于命题2,虽然是任意的,但是是在选取前就给定的,可能每一个都会对应着一个不同的,这样就会使得的选取和的取值有关,从而找不到一个公共的使的对任何一个都成立,这就是命题2和命题1最本质的区别,经过初步分析我们还不能断定命题2是错误的,如果能举一个反例推翻就可以了,而这种反例是存在的,比如令,则,对任意给定的,当充分大时成立,所以
13、是满足命题2的要求的,但是我们知道是发散的,所以命题2是不对的.通过这个反例可以看出反例在加深理解定理中的作用是不言而喻的.3.2 stolz公式定理3.1.25 型Stolz公式若严格递增且= ,则（是有限数,或）型Stolz公式若严格递减且,则（是有限数,或）注意上面的可以是有限数,也可以是或,但是,一般推不出,例如令=,=n,这时虽然,但是=,即.要特别注意的是Stolz公式的逆命题是不成立的,现以型Stolz公式为例,即使严格递增且= ,但是推不出,如我们用Stolz公式很容易知道如果,则,但是由此等式反过来我们是推不出的,例如：令=,显然,但是.针对上例我们还可以得到推不出是因为的极
14、限不存在,如果存在的话,一定成立,所以加上单调这个条件就可以确定成立,因为如果单调就可以保证的极限是存在的,要么是有限数,要么是或,而这三种情况恰好在Stolz公式的使用范围内,这也是我们构造的反例一定不能是单调数列的原因.3.3 比式判别法设为正项级数,且,但不一定收敛,例如：上例对理解比式判别法有重要作用,我们知道,如果为正项级数,且存在某正整数及常数q（0q,成立不等式,则级数收敛.这说明了0q1的重要性以及对理解1和两者这间的区别都有很大帮助.3.4 比较原则收敛,且(),这时不一定收敛,由于如果,是两个正项级数,若(),这时和一定是同敛态的,所以和不能同时为正项级数,令=,=+,这时
15、即使,但=+还是发散的,这就说明比较法一定不要忘记使用的范围是正项级数之间的比较.3.5 阿贝尔判别法若为单调有界数列,且级数收敛,则级数收敛.如果把单调这个条件去掉,命题是否还成立呢,例如,收敛,=1,那么一定收敛吗,要构造反例说明这个命题的错误的性,要清楚的知道所构造的反例中不能单调,且不能为正项级数,因为如果是正项级数,则当n足够大时,也是正项级数,又因=1,由比较法可得和同敛态,综上分析可令=,=+,显然收敛且=1,但是是发散的,说明单调这个条件是必不可少的.3.6 莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法要满足的三个条件下面通过反例来说明这三个条件缺一不可,缺条件1时,满足条件2和3,但是发散缺条件2时,=,满足条件1和3,但是=发散,即发散.缺条件3时,满足条件1和2,但是是发散的.所以在运用莱布尼茨判别法时,一定要验证这三个条件,特别是第二个容易遗漏.4. 反例在辨析重要结论的逆命题中的体现1. .有界变差数列都是收敛数列6.逆命题不真.（为常数）,则称数列
