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1、质数、和数、分解质因数一、考点、热点回顾1、质数：只有1和他本身两个因数的数叫做质数。2、和数：除了 1和它本身两个因数以外还有其他因数的数叫和数。3、1既不是和数也不是质数。4、分解质因数：自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不 考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质 因数。例如，60二2)3X5, 1998=2X33X37o二、典型例题例1 一个正方体的体积是13824厘米3,它的表面积是多少？分析与解：正方体的体积是“棱长X棱长X棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘 米若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱
2、长。为此，我们先将13824分解质 因数：13824 = 13824=2X2X-X2X3X3X3=29X3w,把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=(23X3) X (23X3) X (23X3),于是，得到棱长是23X 3=24 (厘米)。所求表面积是24X24X6=3456 (厘米与。例2学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人 数在100至200之间，共有几种分法？分析与解：按题意，每队人数X队数二1430,每队人数在100至200之间，所以问 题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得1430
3、 = 2X5X11X13。从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质 因数之积便是队数。2X5X11=110, 13；2X5X13 二 130, 11；11X13=143, 2X5= 10。所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队, 每队143人。例3 1X2X3X-X40能否被90909整除？分析与解：首先将90909分解质因数，得90909=33X7X13X37o因为3(二27) , 7, 13, 37都在140中，所以1 X2X3X-X40能被90909整除。 例4求72有多少个不同的约数。分析与解：将72分解质
4、因数得到72=23X 32o根据72的约数含有2和3的个数，可将 72的约数列表如下：做泌2切仞新2砌1248351224治391836?2上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和3之，第三、四、五列的数字 分别是第二列对应数字乘以2,，和2，。对比72=23X32, 72的任何一个约数至多有两个不 同质因数：2和3。因为72有3个质因数2,所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现 或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3,所 以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种情况。根据乘法原理，72的不同约数共有4X3=12 (个)。从例4可以归纳出
5、求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的自然数N 的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。例如，2352=24X 3X 72,因为2352的质因数分解式中有4个2, 1个3, 2个7,所以 2352的不同约数有(4+1) X (1+1) X (2+1) =30 (个)；又如，9450=2X33X52X7,所以9450的不同的约数有(1+1) X (3+1) X (2+1) X (1+1) =48 (个)。例5试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。分析与解：这是求一个数的约数个数的逆问题，因此解题方法正好与例4相反。因为这个数有六个约数，6=5+1= (2+
6、1) X (1+1),所以，当这个数只有一个质因数a 时，这个数是丁；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2Xbo因为这个数不大于50, 所以对于aL只有a=2,即25=32；对于a2Xb,经试算得到，22X3=12, 22X5=20, 22X7=28, 22X 11=44, 32X2=18, 32X5M5, 52X2=50o所以满足题意的数有八个：32, 12, 20, 28, 44, 18, 45, 50o三、课堂实战1. 一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209分米2,如果它的长、宽、高都是质数， 那么这个长方体的体积是多少立方分米？374分米提示：长方体正面和上面的面积和是：长
7、 X 高+长X 宽二长 X （高+宽）二209=11X19二11 X （2+7）,所求体积为11X2X17=374 （分米）o2. 爷孙两人今年的年龄的乘积是693, 4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各 是多少岁？9岁，77岁。提示：693二3）7X11,因为爷孙的岁数都大于4岁，693分解成两个大于 4的约数的乘积，有693=7X99=9X77=11X63=21X33,相乘的两个约数减4都是质数的有9X77和21X33,但爷孙的年龄不可能是21岁和33 岁，所以是9岁和77岁。（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？（4）不一定；（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？（
8、5）不一定。6. 求不大于100的约数最多的自然数。72, 60, 84, 90o提示：只有一个质因数时，约数最多的是26=64,有7个约数；有两个质因数时，约数最多 的是2 2, 2, 3X3, 7, 7 即 2, 2, 9, 9,X 32=72,有12个约数；有三个质因数时，约数最多的是22X3X5=60, 22X3X7=84, 2X32X5=90,各有12个约数。7. 同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是不超过10的自然数。 甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764,但是甲的总环数比乙少4 环。求甲、乙各自的总环数。甲24环，乙28环。解：因为
9、环数之积都是1764,说明他们的环数中没有0环和10环，环数都是1764的大 于0小于10的约数。1764=2X2X3X3X7X7o五箭的环数可能的情况有:(1) 1, 2X2, 3X3, 7, 7 即 1, 4, 9, 7, 7 环，和是 28；(2) 1, 2X3, 2X3,7, 7 艮I 1, 6, 6,7, 7环,和是27；7环，和是27；(4)2,3, 2X3, 7,7 艮|J 2, 3, 6,7,7环，和是25；(5)2X2, 3, 3, 7,7 即 4, 3, 3,7,7环,和是24。已知甲比乙的总环数少4环，所以甲总环数是24,乙总环数是28。四、课后反馈1、有一个长方体，它的
10、长宽高是一个连续的自然数，且体积是39270立方厘米, 求这个长方体的表面积。2、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。2、 5、 14、 24、 27、 55、 56、 993、有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥砖铺成的，求这块长 方形场地的周长？4、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240 立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少厘米？5. 某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分法?3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分 法？5种。提示：216=23 4X33, 216的介于5与20之间的约数有6, 8, 9, 12和18五个。4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916, 满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？11岁，87分，第四名。提示：3916=22X 11X89,小英的年龄应在712岁。5 .举例回答下面各问题：（1）两个质数的和仍是质数吗？（1）不一定；（2）两个质数的积能是质数吗？（2）不能；（3）两个合数的和仍是合数吗？（3）不一定;
