《【人教B版】等比数列的前n项和导学案(选择性必修第三册)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【人教B版】等比数列的前n项和导学案(选择性必修第三册)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.3.2 等比数列的前n 项和导学案1.理解等比数列的前n 项和公式的推导过程. 2.掌握等比数列的前n 项和公式及性质,并能用它解决有关等比数列问题. 3.熟练掌握等比数列的五个量a1,q,n,an,Sn的关系 ,并能进行相关的运算.重点：等比数列的前n 项的运用难点：等比数列的前n 项和公式的推导1.等比数列的前n 项和公式已知量首项 a1、 公比 q(q 1)与项数 n 首项 a1、末项 an与公比 q(q 1)首项 a1、公比 q1 求和公式SnSnSna11qn1q;a1an1q;na1一、 问题探究问题 1. 信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速的传递有关信息.
2、在这样的背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣” ，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友， （称为第 1 轮传播），每个好友收到信息后又都传给了3 个不同的好友（称为第2 轮传播） 依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列，1，3，9，27，81, 如果信息按照上述方式共传播了20 轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？为了解决情境中的问题，我们需要计算出等比数列的前20 项的和，即要算出+的值 .探究 1. 你能想办法算出式的值吗？你能得出一般等比数列
3、前项和的公式吗？探究 2. （1）等比数列中，与 的关系与以前所学过的什么函数有关？（2）如果数列 an 的前项和的公式是其中 A,B, 都是常数，且那么 an一定是等比数列吗？为什么？二、典例解析例 1.已知等比数列的公比为，且，求这个等差数列前8 项的和. 例 2.已知等比数列中，求这个等差数列前10 项的和 . 等比数列前n 项和公式的应用策略在等比数列 an 中,首项 a1与公比 q 是两个最基本的元素,有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q 的方程或方程组求解.解题过程中 ,要注意 :选择适当的公式;利用等比数列的有关性质;注意在使用等比数列前n 项和公式时 ,要考虑 q 是否等于
4、1.跟踪训练1. 在等比数列 an中,公比为 q,前 n 项和为 Sn. (1)a1= 8,an= ,Sn=,求 n; (2)S3= ,S6=,求 an及 Sn; (3)a6-a4=24,a3 a5=64,求 S8. 例 3.已知数列的前项和为求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列. 例 4.求和： 9+99+999 +99999.1.分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式 .2.错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n 项和 .跟踪训练2.已知数列 an 的通项公式an=2n+n,求该数列的前n 项和
5、Sn.例 5.某工厂去年1 月份的产值为元，且月平均增长率为，求这个工厂去年全年产值的总和. 1. 已知正项等比数列an 的前 n 项和为 Sn,S4=3(a1+a2),则公比 q 的值为 () A.2 B.C.D.2.已知 an是等比数列 ,a2= 2,a5= ,则 a1a2+a2a3+anan+1= () A.16(1-4-n) B.16(1-2-n) C.(1-4-n) D.(1-2-n) 3.记数列 an的前 n 项和为 Sn,Sn= 2an-1,则 S2 020=() A.22 020-1 B.22 021-1 C.2-( )2 020D.2-( )2 0214.设等比数列 an 的
6、前 n 项和记为Sn,若 S10S5= 12,则 S15S5=() A.B.C.D.5.数列 (2 n-1) 4n-1的前 n 项和为. 6.已知 an为等差数列 ,且 a3=- 6,a6=0.(1)求an的通项公式 ; (2)若等比数列 bn满足 b1=- 8,b2=a1+a2+a3,求bn 的前 n 项和公式 .参考答案：知识梳理学习过程一、问题探究问题 1. 为了解决情境中的问题，我们需要计算出等比数列的前20 项的和，即要算出+的值 .探究 1.当在式两边同时乘以3 时，可得+可得，因此=也就是说经过20 轮传播之后，知晓这个信息的人约为17 亿，比我国的总人口还多！一般地，设等比数列
7、，公比为,前项和为，则+, +, 当时,由可以看出.当时有，由两边同时乘以可得+可得此时有=综上可得等比数列前一项和的公式为= 因为,所以等比数列前项和的公式也可以改写为=探究 2. （1）当如果记则可以看出（2）如果数列 an 的前项和的公式是由（ 1）知，an是等比数列。二、典例解析例 1.解：因为所以=,因此=1=255.例 2.解：由已知可得解得因此= .跟踪训练1. 解:(1)显然 q1, Sn=,即,q= .又 an=a1qn-1,即 8,n=6.(2)由 S62 S3知 q 1,由题意,得 ,得 1+q3= 9,q3=8,即 q=2.将 q=2 代入 ,得 a1= , an=a1
8、qn-1= 2n-1=2n-2, Sn= 2n-1- .(3)由题意 ,得化简,得 ,得 q2-1= 3,负值舍去 , q2= 4,q=2 或 q=-2.当 q=2 时,代入得a1=1.S8=255.当 q=-2 时,代入得a1=- 1.S8=.综上可知S8= 255 或 S8=.例 3.解：（ 1）当时，有当时，有=因此数列的通项公式为= 注意到=，=因此= ，=2，所以可知不是等比数列.例 4.分析：数列 9,99,999， 不是等比数列， 不能直接用公式求和但将它转化为10-1.100-1,1000-1 ， 就容易解决了.+-1) =跟踪训练2.解:Sn=a1+a2+a3+ +an= (
9、2+1)+(22+ 2)+ (23+3)+ + (2n+n )= (2+22+23+ +2n)+(1+ 2+3+ +n)= 2n+1-2+.例 5.解:设该工厂去年第个月的产值为元，由题意可知= 且= 即=1+ 因此 是以为首项， 1+ 为公比的等比数列，这个数列共有12 项，且从而这个数列所有项的和为因此可知该工厂去年全年产值的总和为达标检测1. 解析 :S4=3(a1+a2),q1 .= 3a1(1+q).a1 0,q2+ 1=3.解得 q=.故选 D.答案 :D 2.解析 :由于 a5=a2q3,q= ,a1=4.又 a1a2+a2a3+ +anan+1=q+q+ +q=q(+ +)=(
10、1-4-n).故选 C.答案 :C 3.解析 :依题意 ,Sn= 2an-1,当 n=1 时,a1= 2a1-1,解得 a1= 1;当 n2 时,由 Sn=2an-1 得 Sn-1=2an-1-1,两式相减并化简得an=2an-1.故数列 an 是首项为 1,公比为 2 的等比数列 ,所以 an=2n-1.所以 S2 020=22 020-1.答案 :B 4.解析 :数列 an为等比数列 ,且其前 n 项和记为Sn,S5,S10-S5,S15-S10成等比数列 .S10S5= 12,即 S10= S5, 等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=- .S15-S10=- (S10-S
11、5)= S5.S15= S5+S10= S5.S15S5= .故选 A.答案 :A 5. 解析 :设前 n 项和为 Tn,则 Tn=1+341+542+ + (2n-1) 4n-1,4Tn=14+ 342+(2n-3) 4n-1+(2n-1) 4n.-,得-3Tn=1+2(41+ 42+43+ + 4n-1)-(2n-1) 4n=- (6n-5) 4n+5.Tn= (6n-5) 4n+5.答案 : (6n-5) 4n+ 5 6.解:(1)设等差数列 an的公差为d. 因为 a3=- 6,a6=0,所以解得 a1=- 10,d= 2.所以 an=- 10+ (n-1)2= 2n-12.(2)设等比数列 bn的公比为q.因为 b2=a1+a2+a3=- 24,b1=-8,所以 -8q=-24,q=3.所以数列 bn的前 n 项和公式为Sn= 4(1-3n).
