《矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题 1解答1写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。习题 1解答1写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 xat ybtcos ,sin 2xt yt zt3sin ,4sin ,3cos解： 1 ratibtjcossin，其图形是xOy平面上之椭圆。 2rtitjtk3sin4sin3cos， 其 图 形 是 平 面430 xy与 圆 柱 面2223xz之交线，为一椭圆。2设有定圆2设有定圆O与动圆与动圆c，半径均为，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M所描曲线的矢量方程。所描曲线的矢量方程。解：设M点的矢径为OM
2、rxiyj ，AOC，CM与x轴的夹角为2；因OMOCCM 有rxiyjaiajaiaj2 cos2 sincos 2sin 2则.2sinsin2,2coscos2aayaax故jaaiaar)2sinsin2()2coscos2(4求曲线4求曲线3232,tztytx的一个切向单位矢量的一个切向单位矢量。解：曲线的矢量方程为ktjttir3232则其切向矢量为kttjidtdr222 模为24221441|tttdtdr于是切向单位矢量为222122|/tkttjidtdrdtdr6求曲线6求曲线xat yat zat2sin,sin2 ,cos ,在在t 4 处的一个切向矢量。处的一个切
3、向矢量。解：曲线矢量方程为rati atj atk2sinsin2cos2切向矢量为ratiatj atkt dsin22 cos2sind在t 4 处，tra iakt 4d2d2 7.求曲线7.求曲线ttztytx62, 34, 122在对应于在对应于2t的点 M 处的切线方程和法平面方程。的点 M 处的切线方程和法平面方程。解：由题意得),4, 5 , 5( M曲线矢量方程为,)62() 34() 1(22kttjtitr在2 t的点 M 处，切向矢量kjiktjtidtdrtt244)64(4222 于是切线方程为142525,244545zyxzyx即即于是法平面方程为0)4()5(
4、2)5(2zyx，即01622zyx8求曲线8求曲线rtit jt k23上的这样的点，使该点的切线平行于平面上的这样的点，使该点的切线平行于平面xyz24。解：曲线切向矢量为dritjt kdt 223 ，平面的法矢量为nijk2 ，由题知itjt knikttj 221432230得t11,3 。将此依次代入式，得kjikjitt2719131|,|311故所求点为1 111,11 ,3 927习题 2解答1说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。习题 2解答1说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 1uAxByCzD1;3 2zuarcxy22sin解： 1场所在的空间区域
5、是除AxByCzD0外的空间。等值面为01111CDCzByAxCDCzByAx或或为任意常数）（01C， 这是与平面AxByCzD0平行的空间。 2场所在的空间区域是除原点以外的zxy222的点所组成的空间部分。等值面为)0( ,sin)(222222yxcyxz，当csin0 时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外） ；当csin0 时，是除原点外的xOy平面。2求数量场2求数量场xyuz22经过点经过点M 1,1,2的等值面方程。的等值面方程。解：经过点M 1,1,2等值面方程为xyuz22221112，即zxy22，是除去原点的旋转抛物面。3已知数量场3已知数量场uxy ，求场中与
6、直线，求场中与直线xy240相切的等值线方程。相切的等值线方程。解：设切点为xy00,，等值面方程为xycx y00，因相切，则斜率为2100 xyk，即002yx 点xy00,在所给直线上，有xy00240解之得yx001,2故2 xy4求矢量4求矢量222Axy ix yjzy k的矢量线方程。的矢量线方程。4解矢量线满足的微分方程为A dr0，或dxdydzxyx yzy222有.,zdzxdxydyxdx解之得),(,212122为任意常数为任意常数CCxCzCyx5.求矢量场5.求矢量场zkyxjyixA)(22通过点通过点M) 1 , 1 , 2(的矢量线方程。的矢量线方程。解矢量
7、线满足的微分方程为.)(22zyxdzydyxdx由12211Cyxydyxdx得得，按等比定理有,)()(22zyxdzyxyxd即.)(zdzyxyxd解得.2zCyx故矢量线方程为zCyxCyx21,11又)1 , 1 , 2(M求得1,2121CC故所求矢量线方程为.2111zyxyx习题 3解答1求数量场习题 3解答1求数量场2322ux zy z在点在点2,0, 1M 处沿处沿lxixy jz k2423的方向导的方向导数。数。解：因MMlxixy jz kik242343，其方向余弦为.53cos, 0cos,54cos在点)1, 0 , 2( M处有,1223, 04, 422
8、223yzxzuyzyuxzxu所以4125300)4(54lu52求数量场2求数量场223ux zxyz在点在点1, 1,1M 处沿曲线处沿曲线23,xt ytzt 朝朝t增大一方的方向导数。增大一方的方向导数。解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M 所对应的参数为1 t,从而在点 M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为33,22, 1121tMtMMtdtdztdtdydtdx，其方向余弦为.143cos,142cos,141cos又5)23(, 1, 7)6(2MMMMMMzxzuxyuyxzxu。于是所求方向导数为14241435142)1(14
9、17)coscoscos( MMzuyuxulu3求数量场3求数量场23ux yz 在点在点2,1, 1M 处沿哪个方向的方向导数最大？处沿哪个方向的方向导数最大？解：因uulul 0grad grad cos，当 0 时，方向导数最大。,1244)32()(u grad22323kjikyzxjzxixyzkzujyuixuMMM即函数u沿梯度kjiM1244u grad方向的方向导数最大最大值为114176u gradM。4.画出平面场4.画出平面场)(2122yxu中中2 ,23, 1 ,21, 0 u的等值线，并画出场在的等值线，并画出场在)2, 2(1M与点与点)7, 3(2M处的梯
10、度矢量，看其是否符合下面事实：（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。增大的方向。6解：所述等值线的方程为：, 4, 3, 2, 1, 02222222222yxyxyxyxyx其中第一个又可以写为0, 0yxyx为二直线，其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线（如下图,图中,u grad11MG ,u grad22MG ）由于,u yjxigrad故,22u grad1jiM,73u g
11、rad2jiM由图可见，其图形都符合所论之事实。5用以下二法求数量场5用以下二法求数量场uxyyzzx在点在点1,2,3P处沿其矢径方向的方向导数。处沿其矢径方向的方向导数。 1直接应用方向导数公式；直接应用方向导数公式； 2作为梯度在该方向上的投影。解：作为梯度在该方向上的投影。解： 1点 P 的矢径点 P 的矢径,32kjir其模其模.14 r其方向余弦为其方向余弦为.143cos,142cos,141cos又又3)(, 4)(, 5)(PPPPPPyxzuzxyuzyxu所以所以。1422143314241415)coscoscos(PPzuyuxulu 2,345)(u gradkji
12、kzujyuixuPP7.1431421410kjirrr故故。1422143314241415u grad0rluPP6，求数量场6，求数量场zyxxyzyxu62332222在点在点)0 , 0 , 0(O与点与点)1 , 1 , 1(A处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为 0？处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为 0？解：,)66()24(32u kzjxyiyxgrad）（）（,036u grad,623u gradkjikjiAO其模依次为：其模依次为：53036, 7)6()2(3222222于是Ou grad的方向余弦为.76cos,72cos,73cosAu g
13、rad的方向余弦为. 0cos,51cos,52cos求使求使0u grad之点，即求坐标满足066, 024, 032zxyyx之点，由此解得1, 1, 2zyx故所求之点为).1 , 1 , 2( 7通过梯度求曲面7通过梯度求曲面422xzyx上一点上一点)3 , 2, 1( M处的法线方程。处的法线方程。解：所给曲面可视为数量场xzyxu22的一张等值面，因此，场的一张等值面，因此，场u在点在点M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即,222)22(u grad2kjixkjxizxyMM故所求的法线方程为.231221zyx8求数量场8求数量场22352uxyz在点在点1,1,3M处等值
14、面朝处等值面朝Oz轴正向一方的法线方轴正向一方的法线方向导数向导数un。8解：因uuuuijkxiyjkxyzgrad 6102uijkMgrad 6102梯度与z夹角为钝角，所以沿等值面朝Oz轴正向一方的法线方向导数为uungrad 2 35 习题 41.设 S 为上半球面习题 41.设 S 为上半球面),0(2222zazyx求矢量场求矢量场zkyjxir向上穿过 S 的通量向上穿过 S 的通量 。 【提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向】。 【提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向】解：.2232aaadSadSrdSrdSrSSSnS2.设 S 为曲面2.设 S 为曲面)
15、,0(2222hzazyx求流速场求流速场kzyxv)(在单位时间内下侧穿 S 的流量 Q。在单位时间内下侧穿 S 的流量 Q。解：,)()(22DSdxdyyxyxdxdyzyxQ其中 D 为 S 在 xOy 面上的投影区域：.22hyx用极坐标计算，有 DrdrdrrrQ)sincos(220223032220.2143)sin(cos)sincos(hdhhdrrrrdh3.设 S 是锥面3.设 S 是锥面22yxz在平面在平面4 z的下方部分，求矢量场的下方部分，求矢量场zkyzjxziA34向向下穿出 S 的通量下穿出 S 的通量 。解：略4.求下面矢量场 A 的散度。4.求下面矢量
16、场 A 的散度。（1）（1）;)()()(323kxyzjxzyiyzxA（2）（2）;)2()3()32(kxyjzxiyzA9（3）（3）.)cos()sin1(jyyxixyA解： （1）22323 Adivzyx（2）0 Adiv （3）1sincos Adivyxxy5.求5.求 Adiv在给定点处的值： （1）在给定点处的值： （1）处；在点处；在点)1, 0 , 1(MA333kzjyix（2）（2）处；在点处；在点)3 , 1 , 1(M24A2kzxyjxi（3）（3）处；在点处；在点)2 , 3 , 1(M)(Azkyjxirxyzr解： （1）6)333( Adiv222MMzyx（2）8)224( AdivMMzx（3）r(xyz)r xyzdiv Adivgrad)()(3zkyjxixykxzjyzixyzxyz6 ，故366 AdivMMxyz。6.已知6.已知,2,232yzkxzjixAzxyu求求(uA) div。解： Adivyx22 kzxyjxyzizyugrad2233232 故 (uA) divAugradAudiv )2)(32()22(
