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1、1 椭圆专题练习1.【2017 浙江, 2】椭圆22194xy的离心率是A133B53C23D592.【2017 课标 3,理 10】已知椭圆C:22221xyab,( ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切,则C的离心率为A63B33C23D133.【2016 高考浙江理数】 已知椭圆C1:22xm+y2=1(m1)与双曲线C2:22xn y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为 C1, C2的离心率,则()Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dmn 且 e1e2b0) ,四点 P1( 1,1) ,P2(0,1) ,
2、P3( 1,2 32) ,P4(1,32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求 C的方程;(2)设直线l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B两点 .若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1,证明: l 过定点 . 8.【2017 课标 II,理】 设 O 为坐标原点,动点M 在椭圆 C:2212xy上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为N,点 P满足2NPNM。(1) 求点P的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线3x上,且1OP PQ。证明:过点P且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。9. 【2017 山东, 理 21】 在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆E:22221xyab
3、0ab的离心率为22,焦距为 . ()求椭圆E的方程;()如图,动直线:132yk x交椭圆E于,A B 两点, C 是椭圆E上一点,直线OC 的斜率为2k ,且1224k k,M是线段 OC 延长线上一点,且:2:3MCAB,M 的半径为MC,,OS OT 是M 的两条切线,切点分别为,S T .求SOT 的最大值,并求取得最大值时直线的斜率 . 10.【2017 天津,理 19】设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,右顶点为A,离心率为3 12.已知A是抛物线22(0)ypx p的焦点,F到抛物线的准线的距离为12. ( I)求椭圆的方程和抛物线的方程;( II)设上两点P,Q关
4、于轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A) ,直线BQ与轴相交于点D.若APD的面积为62,求直线AP的方程 . 11.【2017 江苏, 17】如图 ,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线 ,过点2F 作直线2PF 的垂线 . ( 1)求椭圆E的标准方程;( 2)若直线E的交点 Q 在椭圆E上,求点P的坐标 . 12.【2016 高考新课标1 卷】 (本小题满分12 分)设圆222150 xyx的圆心为A,直线 l过点 B(1
5、,0)且与 x 轴不重合 ,l 交圆 A 于 C,D 两点 ,过 B 作 AC的平行线交AD 于点 E. ( I)证明EAEB为定值 ,并写出点E的轨迹方程;( II)设点 E的轨迹为曲线C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点 ,过 B且与 l 垂直的直线与圆A 交于 P,Q 两点 ,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 13.【2016 高考山东理数】(本小题满分14 分)平面直角坐标系xOy中,椭圆 C:222210 xyabab 的离心率是32,抛物线 E:22xy的焦点 F是 C的一个顶点 . ( I)求椭圆C的方程;( II)设 P是 E上的动点,且位于第一象限,E在点 P处的切线与
6、C交与不同的两点A,B,线段 AB的中点为D,直线 OD 与过 P且垂直于 x 轴的直线交于点M. ( i)求证:点M 在定直线上 ; F1 O F2 xy(第 17 题)4 ( ii)直线与 y 轴交于点G,记PFG的面积为1S,PDM的面积为2S,求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标 . 【答案】 ()1422yx; () (i) 见解析; (ii)12SS的最大值为49, 此时点P的坐标为)41,22(【解析】试题分析:()根据椭圆的离心率和焦点求方程;()(i)由点 P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立,进而判断点M 在定直线上;( ii)分别列出1S,2S面积的表达式,根
7、据二次函数求最值和此时点P的坐标 .试题解析:() (i)设)0)(2,(2mmmP,由yx22可得xy/,所以直线的斜率为m,因此直线的方程为)(22mxmmy,即22mmxy. 5 设),(),(),(002211yxDyxByxA,联立方程222241mymxxy得014) 14(4322mxmxm,由0,得520m且1442321mmxx,因此142223210mmxxx, 将其代入22mmxy得)14(2220mmy,因为mxy4100,所以直线OD方程为xmy41. 联立方程mxxmy41,得点M的纵坐标为M14y,即点M在定直线41y上. ( ii)由( i)知直线方程为22mm
8、xy,令0 x得22my,所以)2,0(2mG,又21(,),(0,),22mP mFD)14(2,142(2223mmmm,所以)1(41|2121mmmGFS,)14(8)12(|2122202mmmxmPMS,所以222221)12() 1)(14(2mmmSS,令122mt,则211) 1)(12(2221tttttSS,6 当211t,即2t时,21SS取得最大值49,此时22m,满足0,所以点P的坐标为)41,22(,因此12SS的最大值为49,此时点P的坐标为)41,22(. 考点: 1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3. 二次函数的图象和性质
9、. 14.【2015 江苏高考, 18】 (本小题满分16 分)如图, 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆222210 xyabab的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. ( 1)求椭圆的标准方程;( 2)过 F的直线与椭圆交于A,B 两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P, C,若 PC=2AB,求直线AB 的方程 . 【答案】( 1)2212xy( 2)1yx或1yx【解析】试题分析( 1)求椭圆标准方程,只需列两个独立条件即可:一是离心率为22,二是右焦点F到左准线l 的距离为3,解方程组即得(2)因为直线AB 过 F,所以求直线AB的方程就是确定其斜率
10、,本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系,这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组,解出AB两点坐标,利用两点间距离公式求出AB长,再根据中点坐标公式求出C 点坐标,利用两直线交点求出P点坐标,再根据两点间距离公式求出PC长,7 利用 PC=2AB解出直线AB斜率 ,写出直线AB方程 . ( 2)当x轴时,2,又C3,不合题意当与轴不垂直时,设直线的方程为1yk x,11,x y,22,xy,将的方程代入椭圆方程,得2222124210kxk xk,则221,2222 112kkxk,C的坐标为2222,1212kkkk,且2222221212122 2 1112kxx
11、yykxxk若0k,则线段的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意从而0k,故直线C的方程为222121212kkyxkkk,则点的坐标为22522,12kkk,从而2222 311C12kkkk因为C2,所以222222 3114 2 11212kkkkkk,解得1k此时直线方程为1yx或1yx【考点定位】椭圆方程,直线与椭圆位置关系15.【2016 高考天津理数】 (本小题满分14 分)设椭圆13222yax(3a) 的右焦点为F, 右顶点为A, 已知|3|1|1FAeOAOF,8 其中O为原点,为椭圆的离心率. ()求椭圆的方程;()设过点A的直线与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于
12、的直线与交于点M,与y轴交于点H,若HFBF,且MOAMAO,求直线的斜率的取值范围. 【答案】()22143xy()),4646,(【解析】试题分析: ()求椭圆标准方程, 只需确定量, 由113|cOFOAFA, 得113()ccaa ac,再利用2223acb,可解得21c,24a()先化简条件:MOAMAO| |MAMO,即 M 再 OA中垂线上,1Mx,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求B;利用两直线方程组求H,最后根据HFBF,列等量关系解出直线斜率 .取值范围试题解析: ( 1)解:设( , 0)F c,由113|cOFOAFA,即113()ccaa ac,可得2223acc
13、,又2223acb,所以21c,因此24a,所以椭圆的方程为22143xy. ( 2) ()解:设直线的斜率为k(0k) ,则直线的方程为)2(xky.设),(BByxB,由方程组)2(13422xkyyx,消去y,整理得0121616)34(2222kxkxk. 解得2x,或346822kkx,由题意得346822kkxB,从而34122kkyB. 由 ()知,)0 , 1 (F, 设),0(HyH, 有), 1(HyFH,)3412,3449(222kkkkBF.由HFBF,得0HFBF,所以034123449222kkykkH,解得kkyH12492.因此直线MH的方程为kkxky124
14、912. 9 所以,直线的斜率的取值范围为),4646,(. 考点:椭圆的标准方程和几何性质,直线方程16. 【2015高考山东,理 20】 平面直角坐标系xoy中, 已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32,左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心以 3 为半径的圆与以2F 为圆心以 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. ()求椭圆C的方程;() 设椭圆2222:144xyEab,P为椭圆C上任意一点, 过点P的直线ykxm交椭圆E于,A B两点,射线PO交椭圆E于点Q. ( i )求OQOP的值;( ii)求ABQ面积的最大值. 【答案】( I)2214xy; (II
15、) ( i )2; (ii)6 3. 【解析】试题分析:(I)根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b的值,从而得到椭圆的方程;(II)10 ( i)设00,P xy,OQOP,由题意知00,Qxy,然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值 ; ( ii)设1122,A xyB xy,利用方程组221164ykxmxy结合韦达定理求出弦长AB,选将OAB的面积表示成关于,k m的表达式222222 1641214km mSmxxk222224141 4mmkk,然后,令2214mtk,利用一元二次方程根的判别式确定的范围,从而求出OAB的面积的最大值,并结合(i)的结果求出 面积的最大值.
16、试题解析:(I)由题意知24a,则2a,又2223,2cacba可得1b, 所以椭圆C的标准方程为2214xy. ( II)由( I)知椭圆E的方程为221164xy, ( i)设00,P xy,OQOP,由题意知00,Qxy因为220014xy, 又22001164xy,即22200144xy,所以2,即2OQOP. 所以221224 16414kmxxk11 因为直线ykxm与轴交点的坐标为0,m所以OAB的面积222222 1641214km mSmxxk222222222 (164)24141414kmmmmkkk令2214mtk,将ykxm代入椭圆C的方程可得222148440kxkmxm由0,可得2214mk由可知01t因此22424St ttt,故2 3S当且仅当1t,即2214mk时取得最大值2 3由( i)知,ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为6 3. 17.【2015 高考陕西,理20】 (本小题满分12 分)已知椭圆:22221xyab(0ab)的半焦距为,原点到经过两点,0c,0,b的直线的距离为12c(I)求椭圆的离心率;(II)如图,是圆:22521