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1、1 椭圆专题练习1.【2017 浙江， 2】椭圆22194xy的离心率是A133B53C23D592.【2017 课标 3，理 10】已知椭圆C：22221xyab，（ ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为A63B33C23D133.【2016 高考浙江理数】 已知椭圆C1：22xm+y2=1(m1)与双曲线C2：22xn y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为 C1， C2的离心率，则（）Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dmn 且 e1e2b0） ，四点 P1（ 1,1） ，P2（0,1） ，
2、P3（ 1，2 32） ，P4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求 C的方程；（2）设直线l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B两点 .若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点 . 8.【2017 课标 II，理】 设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：2212xy上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为N，点 P满足2NPNM。(1) 求点P的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线3x上，且1OP PQ。证明：过点P且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。9. 【2017 山东， 理 21】 在平面直角坐标系xOy 中， 椭圆E：22221xyab
3、0ab的离心率为22，焦距为 . （）求椭圆E的方程；（）如图，动直线：132yk x交椭圆E于,A B 两点， C 是椭圆E上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k，M是线段 OC 延长线上一点，且:2:3MCAB，M 的半径为MC，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT 的最大值，并求取得最大值时直线的斜率 . 10.【2017 天津，理 19】设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为3 12.已知A是抛物线22(0)ypx p的焦点，F到抛物线的准线的距离为12. （ I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（ II）设上两点P，Q关
4、于轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A） ，直线BQ与轴相交于点D.若APD的面积为62，求直线AP的方程 . 11.【2017 江苏， 17】如图 ,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线 ,过点2F 作直线2PF 的垂线 . （ 1）求椭圆E的标准方程；（ 2）若直线E的交点 Q 在椭圆E上,求点P的坐标 . 12.【2016 高考新课标1 卷】 （本小题满分12 分）设圆222150 xyx的圆心为A,直线 l过点 B（1
5、,0）且与 x 轴不重合 ,l 交圆 A 于 C,D 两点 ,过 B 作 AC的平行线交AD 于点 E. （ I）证明EAEB为定值 ,并写出点E的轨迹方程；（ II）设点 E的轨迹为曲线C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点 ,过 B且与 l 垂直的直线与圆A 交于 P,Q 两点 ,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 13.【2016 高考山东理数】（本小题满分14 分）平面直角坐标系xOy中，椭圆 C：222210 xyabab 的离心率是32，抛物线 E：22xy的焦点 F是 C的一个顶点 . （ I）求椭圆C的方程；（ II）设 P是 E上的动点，且位于第一象限，E在点 P处的切线与
6、C交与不同的两点A，B，线段 AB的中点为D，直线 OD 与过 P且垂直于 x 轴的直线交于点M. （ i）求证：点M 在定直线上 ; F1 O F2 xy(第 17 题)4 （ ii）直线与 y 轴交于点G，记PFG的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标 . 【答案】 （）1422yx; （） （i） 见解析； （ii）12SS的最大值为49， 此时点P的坐标为)41,22(【解析】试题分析：（）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（）（i）由点 P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（ ii）分别列出1S，2S面积的表达式，根
7、据二次函数求最值和此时点P的坐标 .试题解析：（） （i）设)0)(2,(2mmmP，由yx22可得xy/，所以直线的斜率为m，因此直线的方程为)(22mxmmy，即22mmxy. 5 设),(),(),(002211yxDyxByxA，联立方程222241mymxxy得014) 14(4322mxmxm，由0，得520m且1442321mmxx，因此142223210mmxxx, 将其代入22mmxy得)14(2220mmy，因为mxy4100，所以直线OD方程为xmy41. 联立方程mxxmy41，得点M的纵坐标为M14y，即点M在定直线41y上. （ ii）由（ i）知直线方程为22mm
8、xy，令0 x得22my，所以)2,0(2mG，又21(,),(0,),22mP mFD)14(2,142(2223mmmm，所以)1(41|2121mmmGFS，)14(8)12(|2122202mmmxmPMS，所以222221)12() 1)(14(2mmmSS，令122mt，则211) 1)(12(2221tttttSS，6 当211t，即2t时，21SS取得最大值49，此时22m，满足0，所以点P的坐标为)41,22(，因此12SS的最大值为49，此时点P的坐标为)41,22(. 考点： 1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质
9、. 14.【2015 江苏高考， 18】 （本小题满分16 分）如图， 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210 xyabab的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）过 F的直线与椭圆交于A，B 两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P， C，若 PC=2AB，求直线AB 的方程 . 【答案】（ 1）2212xy（ 2）1yx或1yx【解析】试题分析（ 1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为22，二是右焦点F到左准线l 的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB 过 F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率
10、，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C 点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，7 利用 PC=2AB解出直线AB斜率 ,写出直线AB方程 . （ 2）当x轴时，2，又C3，不合题意当与轴不垂直时，设直线的方程为1yk x，11,x y，22,xy，将的方程代入椭圆方程，得2222124210kxk xk，则221,2222 112kkxk，C的坐标为2222,1212kkkk，且2222221212122 2 1112kxx
11、yykxxk若0k，则线段的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而0k，故直线C的方程为222121212kkyxkkk，则点的坐标为22522,12kkk，从而2222 311C12kkkk因为C2，所以222222 3114 2 11212kkkkkk，解得1k此时直线方程为1yx或1yx【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系15.【2016 高考天津理数】 （本小题满分14 分）设椭圆13222yax（3a） 的右焦点为F， 右顶点为A， 已知|3|1|1FAeOAOF，8 其中O为原点，为椭圆的离心率. （）求椭圆的方程；（）设过点A的直线与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于
12、的直线与交于点M，与y轴交于点H，若HFBF，且MOAMAO，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（）22143xy（）),4646,(【解析】试题分析： （）求椭圆标准方程， 只需确定量， 由113|cOFOAFA， 得113()ccaa ac，再利用2223acb，可解得21c，24a（）先化简条件：MOAMAO| |MAMO，即 M 再 OA中垂线上，1Mx，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H，最后根据HFBF，列等量关系解出直线斜率 .取值范围试题解析： （ 1）解：设( , 0)F c，由113|cOFOAFA，即113()ccaa ac，可得2223acc
13、，又2223acb，所以21c，因此24a，所以椭圆的方程为22143xy. （ 2） （）解：设直线的斜率为k（0k） ，则直线的方程为)2(xky.设),(BByxB，由方程组)2(13422xkyyx，消去y，整理得0121616)34(2222kxkxk. 解得2x，或346822kkx，由题意得346822kkxB，从而34122kkyB. 由 （）知，)0 , 1 (F， 设),0(HyH， 有), 1(HyFH，)3412,3449(222kkkkBF.由HFBF，得0HFBF，所以034123449222kkykkH，解得kkyH12492.因此直线MH的方程为kkxky124
14、912. 9 所以，直线的斜率的取值范围为),4646,(. 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程16. 【2015高考山东，理 20】 平面直角坐标系xoy中， 已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以 3 为半径的圆与以2F 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. ()求椭圆C的方程；（） 设椭圆2222:144xyEab，P为椭圆C上任意一点， 过点P的直线ykxm交椭圆E于,A B两点，射线PO交椭圆E于点Q. ( i )求OQOP的值；（ ii）求ABQ面积的最大值. 【答案】（ I）2214xy； （II
15、） ( i )2； （ii）6 3. 【解析】试题分析：（I）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b的值，从而得到椭圆的方程；（II）10 （ i）设00,P xy，OQOP，由题意知00,Qxy，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值 ; （ ii）设1122,A xyB xy，利用方程组221164ykxmxy结合韦达定理求出弦长AB，选将OAB的面积表示成关于,k m的表达式222222 1641214km mSmxxk222224141 4mmkk，然后，令2214mtk，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出OAB的面积的最大值，并结合（i）的结果求出 面积的最大值.
16、试题解析：（I）由题意知24a，则2a,又2223,2cacba可得1b, 所以椭圆C的标准方程为2214xy. （ II）由（ I）知椭圆E的方程为221164xy, （ i）设00,P xy，OQOP，由题意知00,Qxy因为220014xy, 又22001164xy，即22200144xy,所以2，即2OQOP. 所以221224 16414kmxxk11 因为直线ykxm与轴交点的坐标为0,m所以OAB的面积222222 1641214km mSmxxk222222222 (164)24141414kmmmmkkk令2214mtk,将ykxm代入椭圆C的方程可得222148440kxkmxm由0，可得2214mk由可知01t因此22424St ttt,故2 3S当且仅当1t，即2214mk时取得最大值2 3由（ i）知，ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为6 3. 17.【2015 高考陕西，理20】 （本小题满分12 分）已知椭圆:22221xyab（0ab）的半焦距为，原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为12c（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆:22521
