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1、中考数学复习资料,精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持,感激不尽!初一数学竞赛讲座第 3 讲 奇偶分析我们知道,全体自然数按被2 除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2 除余 1 的属于一类,被 2 整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数,后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质,比如,奇数偶数,奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质,加上正确的分析推理,可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析,善于运用奇偶分析,往往有意想不到的效果。例 1 右表中有 15 个数,选出 5 个数,使它们的和等于 30,你能做到吗?为什么?分析与解: 如果
2、一个一个去找、去试、去算,那就太费事了。因为无论你选择哪5 个数,它们的和总不等于 30,而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解,因为奇数个奇数之和仍是奇数,表中15 个数全是奇数,所以要想从中找出5 个使它们的和为偶数,是不可能的。例 2 小华买了一本共有96 张练习纸的练习本, 并依次将它的各面编号 (即由第 1 面一直编到第192面)。小丽从该练习本中撕下其中25张纸,并将写在它们上面的50 个编号相加。试问,小丽所加得的和数能否为 2000?解:不能。由于每一张上的两数之和都为奇数,而25 个奇数之和为奇数,故不可能为2000。说明:“相邻两个自然数的和一
3、定是奇数”,这条性质几乎是显然的,但在解题过程中,能有意识地运用它却不容易做到,这要靠同学们多练习、多总结。例 3 有 98 个孩子,每人胸前有一个号码,号码从1 到 98 各不相同。试问:能否将这些孩子排成若干排,使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和?并说明理由。解:不能。如果可以按要求排成,每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和,那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2 倍,是个偶数。所以这 98个号码数的总和是个偶数,但是这 98 个数的总和为1+2+98=9949,是个奇数,矛盾!所以不能按要求排成。例 4 如右图,把图中的圆圈任意涂上红色或
4、蓝色。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 问:有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?请说明理由。解:不可能。如果每条直线上的红圈数都是奇数,而五角星有五条边,奇数个奇数之和为奇数,那么五条线上的红圈共有奇数个(包括重复的)。从另一个角度看,由于每个圆圈是两条直线的交点,则每个圆圈都要计算两次,因此,每个红圈也都算了两次,总个数应为偶数,得出矛盾。所以,不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。说明:上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量,而引出矛盾的。
5、例 5 有 20 个 1 升的容器,分别盛有1,2,3, 20 厘米3水。允许由容器 A向容器 B倒进与B容器内相同的水(在A中的水不少于 B中水的条件下)。问:在若干次倒水以后能否使其中11 个容器中各有 11 厘米 3 的水?解:不可能。在倒水以后,含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的。事实上以(偶,偶)(偶,奇)(奇,奇)来表示两个分别盛有偶数及偶数,偶数及奇数,奇数及奇数立方厘米水的容器。于是在题中条件限制下,在倒水后,(偶,偶)仍为(偶,偶);而(偶,奇)会成为(偶,奇)或(奇,偶);(奇,奇)却成为(偶,偶)。在任何情况下,盛奇数立方厘米水的容器没有多出来。因为开始时有 10 个容
6、器里盛有奇数立方厘米的水,所以不会出现有11 个盛有奇数立方厘米水的容器。例 6 一个俱乐部里的成员只有两种人:一种是老实人,永远说真话;一种是骗子,永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈,每个老实人两旁都是骗子,每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三:“俱乐部里共有多少成员?”张三答:“共有45 人。”另一个成员李四说:“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子?分析与解: 根据俱乐部的全体成员围坐一圈,每个老实人两旁都是骗子,每个骗子两旁都是老实人的条件,可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等,也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有 45 人是奇数,这说明张三
7、是骗子,而李四说张三是老实人,说了假话,所以李四也是骗子。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 说明:解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等,这里实质上利用了对应的思想。类似的问题是:围棋盘上有 1919 个交叉点,现在放满了黑子与白子,且黑子与白子相间地放,并使黑子(或白子)的上、下、左、右的交叉点上放着白子(或黑子)。问:能否把黑子全移到原来的白子的位置上,而白子也全移到原来黑子的位置上?提示:仿例 6。答:不能。例 7 某市五年级 99 名同学
8、参加数学竞赛,竞赛题共30 道,评分标准是基础分15 分,答对一道加 5 分,不答记 1 分,答错一道倒扣1 分。问:所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数?解:对每个参赛同学来说,每题都答对共可得165分,是奇数。如答错一题,就要从165分中减去 6 分,不管错几道, 6 的倍数都是偶数, 165 减去偶数,差还是奇数。同样道理,如有一题不答,就要减去 4 分,并且不管有几道题不答,4 的倍数都是偶数,因此,从总分中减去的仍是偶数,所以每个同学的得分为奇数。而奇数个奇数之和仍为奇数,故99 名同学得分总和一定是奇数。例 8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果,最少要分成多少堆(每堆都有苹果、梨和
9、桔子三种水果),才能保证找得到这样的两堆,把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。分析与解: 当每堆都含有三种水果时,三种水果的奇偶情况如下表:苹 果奇奇奇奇偶偶偶偶桔 子奇偶偶奇偶奇偶奇梨奇偶奇偶偶奇奇偶可见,三种水果的奇偶情况共有8 种可能,所以必须最少分成9 堆,才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同,把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。说明:这里把分堆后三种水果的奇偶情况一一列举出来,使问题一目了然。例 9 有 30 枚 2 分硬币和 8 枚 5 分硬币, 5 角以内共有 49 种不同的币值,哪几种币值不能由上面 38 枚硬币组成?解:当币值为偶数时,可以用若干枚2 分硬币组成;
10、当币值为奇数时,除1 分和 3 分这两种币值外,其余的都可以用1 枚 5 分和若干枚 2 分硬币组成,所以 5 角以下的不同币值,只有1 分和 3 分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。说明:将全体整数分为奇数与偶数两类,分而治之,逐一讨论,是解决整数问题的常用方法。若偶数用 2k 表示,奇数用 2k+1 表示,则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下:精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 当币值为偶数时, 2k 说明可用若干枚2 分硬币表示;当币值为奇数时, 2k+
11、1=2(k-2 )+5,其中 k2。当 k=0,1 时,2k+1=1,3。1 分和 3 分硬币不能由 2 分和 5 分硬币组成,而其他币值均可由 2 分和 5 分硬币组成。例 10 设标有 A,B,C,D,E,F,G的 7 盏灯顺次排成一行,每盏灯安装一个开关。现在A,C,D ,G这 4 盏灯亮着,其余3 盏灯没亮。小华从灯A开始顺次拉动开关,即从A到 G ,再从 A开始顺次拉动开关,他这样拉动了999 次开关后,哪些灯亮着,哪些灯没亮?解:一盏灯的开关被拉动奇数次后,将改变原来的状态,即亮的变成熄的,熄的变成亮的;而一盏灯的开关被拉动偶数次后,不改变原来的状态。由于999=7142+5,因此
12、,灯 A,B,C ,D ,E各被拉动 143次开关,灯 F,G各被拉动 142次开关。所以,当小华拉动 999 次后 B,E,G亮,而 A,C,D,F 熄。例 11 桌上放有 77 枚正面朝下的硬币,第1 次翻动 77 枚,第 2 次翻动其中的 76 枚,第 3 次翻动其中的 75 枚第 77 次翻动其中的 1 枚。按这样的方法翻动硬币,能否使桌上所有的77 枚硬币都正面朝上?说明你的理由。分析:对每一枚硬币来说,只要翻动奇数次,就可使原先朝下的一面朝上。这一事实,对我们解决这个问题起着关键性作用。解:按规定的翻动,共翻动1+2+77=7739 次,平均每枚硬币翻动了39次,这是奇数。因此,对
13、每一枚硬币来说,都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到:7739=77+(76+1)+(75+2)+(39+38),根据规定,可以设计如下的翻动方法:第 1 次翻动 77 枚,可以将每枚硬币都翻动一次;第2 次与第 77 次共翻动 77 枚,又可将每枚硬币都翻动一次;同理,第3 次与第 76 次,第 4 次与第 75 次第 39 次与第 40 次都可将每枚硬币各翻动一次。这样每枚硬币都翻动了39 次,都由正面朝下变为正面朝上。说明:( 1)此题也可从简单情形入手(如9 枚硬币的情形),按规定的翻法翻动硬币,从中获得启发。(2)对有关正、反,开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系讨论。例 12 在
14、 88 的棋盘的左下角放有9 枚棋子,组成一个 33 的正方形(如左下图)。规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格,即可以以它旁边的棋子为中心作对称运动,可以横跳、竖跳或沿着斜线跳(如右下图的1 号棋子可以跳到 2,3,4 号位置)。问:这些棋子能否跳到棋盘的右上角(另一个33 的正方形)?精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 解:自左下角起,每一个方格可以用一组数(行标、列标)来表示,(自下而上)第i 行、(自左而右)第 j 列的方格记为( i ,j
15、 )。问题的关键是考虑9 枚棋子(所在方格)的列标的和S。一方面,每跳一次, S增加 0 或偶数,因而 S的奇偶性不变。另一方面,右上角9 个方格的列标的和比左下角 9 个方格的列标之和大3(6+7+8)-3(1+2+3)=45,这是一个奇数。综合以上两方面可知9 枚棋子不能跳至右上角的那个33 的正方形里。奇偶分析作为一种分析问题、处理问题的方法,在数学中有广泛的应用,是处理存在性问题的有力工具,本讲所举例题大多属于这类问题。这种方法具有很强的技巧性,尤其是选择什么量进行奇偶分析往往是很困难的。选准了,只须依据奇偶数的性质,分析这个量的奇偶特征,问题便迎刃而解;选不好,事倍功半。同学们应认真
16、领会本讲所举例题,以把握选择合适的量进行奇偶分析的技巧。练习 31下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这12 个整数中,至少有几个偶数?+=-= = =2任意取出 1234 个连续自然数,它们的总和是奇数还是偶数?3一串数排成一行,它们的规律是:前两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和。如右所示: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,试问:这串数的前100 个数(包括第 100 个数)中,有多少个偶数?4能不能将 1010 写成 10 个连续自然数之和?如果能,把它写出来;如果不能,说明理由。5 能否将 1 至 25 这 25个自然数分成若干组, 使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和?6在象棋比赛中,胜者得1 分,败者扣 1 分,若为平局,则双方各得0 分。今有若干个学生进行比赛,每两人都赛一局。现知,其中有一位学生共得7 分,另一位学生共得20 分,试说明,在比赛过程中至少有过一次平局。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - -