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1、2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)1. 已知椭圆C:x2a2+y24=1(a0)的一个焦点为(2,0)，则a的值为（ ）A.22B.6C.6D.82. 已知数列an满足a12，anan-1+2(nN*,n2)，则a3（ ）A.5B.6C.7D.83. 已知命题p:x1，x21，则p为（ ）A.x1，x21B.x1C.x1D.x1，x214. 已知a，bR，若ab，则（ ）A.a2bB.abb2C.a2b2D.a3b35. 已知向量a=(-1,2,1)，b=(3,x,y)，
2、且a/b，那么|b|（ ）A.36B.6C.9D.186. 已知直线a，b分别在两个不同的平面，内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知向量a=(1,x,2)，b=(0,1,2)，c=(1,0,0)，若a，b，c共面，则x等于（ ）A.-1B.1C.1或-1D.1或08. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数f(x)x，其中x表示不超过x的最大整数，比如3根据以上定义，当x=3+1时，数列x-f(x)，f(x)，x( )A.是等差数列，也是等比数列B.是
3、等差数列，不是等比数列C.是等比数列，不是等差数列D.不是等差数列，也不是等比数列9. 设有四个数的数列an，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6则实数m的取值范围为（ ）A.m6B.m32C.m6D.m210. 曲线C:x3+y31给出下列结论：曲线C关于原点对称；曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）其中，所有正确结论的序号是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.)11. 设P是椭圆x225+y29=1上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为_12. 不等式xx-1b，
4、则1a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值为_15. 某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为_万元；当n_时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）16. 若x1，x2，x3，x9表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下： （1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的ixN|2x9，要求灯xi的左边有且只有灯xi-1是开灯状态时才可以对灯xi进行一次操作如
5、果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯x4关闭最少需要_次操作；如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要_次操作三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. 已知等比数列an的公比为2，且a3，a4+4，a5成等差数列()求an的通项公式；()设an的前n项和为Sn，且Sn62，求n的值18. 已知函数f(x)x2+ax，aR()若f(a)f(1)，求a的取值范围；()若f(x)-4对xR恒成立，求a的取值范围；()求关于x的不等式f(x)0的解集19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1,0)，离心
6、率为22()求椭圆C的方程；()设点A为椭圆C的上顶点，点B在椭圆上且位于第一象限，且AFB90，求AFB的面积20. 如图，四棱锥P-ABCD中，AD平面ABP，BC/AD，PAB90PAAB2，AD3，BCm，E是PB的中点()证明：AE平面PBC；()若二面角C-AE-D的余弦值是33，求m的值；()若m2，在线段AD上是否存在一点F，使得PFCE若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理由21. 已知抛物线C:y22px(p0)，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3()求抛物线C的方程及其准线方程；()过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线x-4于点E，直线BF
7、交直线x-1于点D是否存在这样的直线l，使得DE/AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程22. 若无穷数列a1，a2，a3，满足：对任意两个正整数i，j(j-i3)，ai-1+aj+1ai+aj与ai+1+aj-1ai+aj至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”()求证：若数列an为等差数列，则an为“和谐数列”；()求证：若数列an为“和谐数列”，则数列an从第3项起为等差数列；()若an是各项均为整数的“和谐数列”，满足a10，且存在pN*使得app，a1+a2+a3+.+ap-p，求p的所有可能值参考答案与试题解析2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷
8、一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. A2. B3. C4. D5. A6. A7. B8. D9. B10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 812. (0,1)13. 1,-114. 215. n2+3n+100,1016. 如果所有灯都处于开灯状态，那么先把灯x2关闭，再把x1灯关闭，再把x4灯关闭，最少需要3次操作；3,21三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （1）由题意，an为公比为2的等比数列，故a3=a1q2=4a1，a48a1，a51
9、6a1，依题意，得2(a4+4)a3+a5，即2(8a1+4)4a1+16a1，整理，得4a18，解得a12 数列an的通项公式为an=2n（2）根据（1），可知Sn=a11-qn1-q=21-2n1-2=2n+1-2故2n+1-262，整理，得2n+164，解得n5 n的值是518. （1）由f(a)f(1)得a2+a21+a，整理得2a2-a-10，解得a|a1（2）f(x)-4对xR恒成立，则f(x)min-4，所以-a24-4，整理得a2-160，解得a|-4a4()解x2+ax0，得x10，x2-a，当-a0时，即a0时，x-a；当-a0时，x0；当-a0时，即a0时，x0综上，当a
10、0时，不等式的解集为x|x-a；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a0时，不等式的解集为x|x019. （1）依题意c1，ca=22，解得a=2，b=a2-b2=1，所以椭圆C的方程为x22+y2=1（2）设点B(x0,y0)，因为点B在椭圆上，所以x022+y02=1，因为AFB90，所以kFAkFB-1，得y0x0-1=1，由消去y0得，3x02-4x0=0，解得x00（舍），x0=43，代入方程得y0=13，所以B(43,13)，所以|BF|=23，又|AF|=2，所以AFB的面积SAFB=12|AF|BF|=12232=1320. （1）证明：因为AD平面PAB，BC/AD，所以BC
11、平面PAB又因为AE平面PAB，所以AEBC在PAB中，PAAB，E是PB的中点，所以AEPB又因为BCPBB，所以AE平面PBC（2）因为AD平面PAB，所以ADAB，ADPA又因为PAAB，所以，如图建立空间直角坐标系A-xyz则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,m)，E(1,1,0)，P(2,0,0)，D(0,0,3)，AC=(0,2,m)，AE=(1,1,0)设平面AEC的法向量为n=(x,y,z)则nAC=0nAE=0即2y+mz=0,x+y=0.令x1，则y-1，z=2m，于是n=(1,-1,2m)因为AD平面PAB，所以ADPB又PBAE，所以PB平面AED又因为P
12、B=(-2,2,0)，所以取平面AED的法向量为m=(-1,1,0)所以|cos|=|nm|n|m|=33，即|-1-1|22+4m2=33，解得m21又因为m0，所以m1()结论：不存在理由如下：证明：设F(0,0,t)(0t3)当m2时，C(0,2,2).PF=(-2,0,t)，CE=(1,-1,-2)由PFCE知，PFCE=0，-2-2t0，t-1这与0t3矛盾所以，在线段AD上不存在点F，使得PFCE21. （1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以1+p2=3，解得p4，所以y28x，所以准线方程为x-2（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x+1)(k0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)联立得y2=8x,y=k(x+1),消去y得k2x2+(2k2-8)x+k20由(2k2-8)2-4k40，解得-2k2所以-2k2且k0由韦达定理得x1+x2=8-2k2k2，x1x21方法一：直线BF的方程为y=y2x2-2(x-2)，又xD-1，所以yD=-3y2x2-2，所以D(-1,-3y2x2-2)，因为DE/AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等又E(-4,-3k)，所以-3k+3y2x2-2-3=y1x1-2整理得k=y1x1-2+y2x2-2，即k=k(x1+1)x1-2+k(x2+1)x2-2，化简得1=x1+1x1-2+x2+1x
