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1、精选优质文档-倾情为你奉上2-3-3列不定方程解应用题教学目标1、 熟练掌握不定方程的解题技巧2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、 学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方
2、法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】 把拆成两个正整数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要尽量大），求这两个数【解析】 这是一道整数分拆的常规题可设拆成的两个数分别为和，则有：，要让取最小值，取最大值可把式子变形为：，可见是整数，满足这一条件的最小为7，且当时，则拆成的两个数分别是和【巩
3、固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是的倍数，乙搬的砖数是的倍数，两人共搬了块砖问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【解析】 设甲搬的是块，乙搬的是块那么观察发现和都是的倍数，所以也是的倍数由于，所以只能为6或12时，得到；时，此时不是整数，矛盾所以甲搬了块，乙搬了块，甲比乙搬得多，多块【巩固】 现有足够多的角和角的邮票，用来付元的邮资，问角的邮票需要多少张？【解析】 设角和角的邮票分别有张和张，那么就有等量关系：尝试的取值，当取时，能取得整数，当再增大，取大于等于的数时，没有自然数解所以角的邮票需要张【例 2】 （2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数
4、字之和的倍，则满足条件的所有自然数之和为_.【解析】 若是四位数，则，矛盾，四位以上的自然数也不可能。 若是两位数，则，也不可能，故只有三位数. ，化简得.由于， 所以或.时，或，；时，. 所以所有自然数之和为.模块二、不定方程与应用题【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装千克油，小的能装千克油，千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个？【解析】 设有大油桶个，小油桶个由题意得：可知，所以由于、必须为整数，所以相应的将的所有可能值代入方程，可得时，这一组整数解所以大油桶有个，小油桶有个小结 这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.【例 4】 在
5、一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以，让冬冬把自己命中的次数乘以，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？【解析】 设丁丁和冬冬分别命中了次和次，则：可见除以4的余数为3，而且不能超过6，所以，即丁丁命中了次，冬冬命中了次【巩固】 某人打靶，发共打了环，全部命中在环、环和环上问：他命中环、环和环各几发？【解析】 假设命中10环发，7环发，5环发，则由可知除以5的余数为3，所以、9如果为9，则，所以只能为4，代入原方程组可解
6、得，所以他命中环发，环发，环发【例 5】 某次聚餐，每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？【解析】 设参加的男宾有人，女宾有人，则由题意得方程：，即，化简得这个方程有四组解：，和，但是由于有的成人带着孩子，所以能被整除，检验可知只有后两组满足所以，这个活动共有人或人参加【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加男职工每人种棵树，女职工每人种棵树，每个孩子都种棵树，他们一共种了棵树，那么其中有多少名男职工？【解析】 因为有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是的
7、倍数设男职工有人，女职工有人则职工总人数是人，孩子是人得到方程：，化简得：因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当时，；当时，；当，其中只有是的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工【例 6】 张师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，李师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，两人天共缝制上衣和裙裤件，那么其中上衣是多少件？【解析】 如果天都缝制上衣，共可缝制件，实际上比这多缝制了件，这就要把上衣换成裙裤，张师傅每天可多换件，李师傅每天可多换件，设张师傅缝制裙裤天，李师傅缝制裙裤天，则：，整数解只有，因此共缝制裙裤件，上衣共件【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候若是早
8、晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们的叫声统计了天，发现它们并不是每天早晚都见面在这天内它们共叫了声问：波斯猫至少叫了多少声？ 【解析】 早晨见面小花狗和波斯猫共叫声，晚上见面共叫声设在这15天内早晨见面次，晚上见面次根据题意有：(，)可以凑出，当时，；当时，；当时，因为小花狗共叫了 声，那么越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当，时波斯猫叫得最少，共叫了(声)【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成甲每天生产300个配件，或生产150个配件；乙每天生产120个配件，或生产48个配件为了在10天内生
9、产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【解析】 假设甲、乙分别有天和天在生产配件，则他们生产配件所用的时间分别为天和天，那么10天内共生产了配件个，共生产了配件个要将它们配成套，配件与配件的数量应相等，即，得到，则此时生产的产品的套数为，要使生产的产品最多，就要使得最大，而最大为10，所以最多能生产出套产品【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为天和天，则他们用于生产裤子的天数
10、分别为天和天，那么总共生产了上衣件，生产了裤子件根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以，即，即那么共生产了套衣服要使生产的衣服最多，就要使得最小，则应最大，而最大为21，此时故最多可以生产出套衣服【例 8】 有一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了 天【解析】 设完成这项工程用了天，其间丙休息了天根据题意可知：，化简得由上式，因为与都是的倍数，所以必须是的倍数，所以是的倍数，在 的条件下，只有，一组解，即丙休息了天【例 9】 实验小学的五年级学
11、生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间，求每辆大巴车的载客人数【解析】 设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为人和人，那么有：由于知道中巴车的载客人数，也就是知道了的取值范围，所以应该从入手显然被除所得的余数与被除所得的余数相等，从个位数上来考虑，的个位数字只能为1或6，那么当的个位数是或时成立由于的值在20与25之间，所以满足条件的，继而求得，所以大巴车的载客人数为人【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车，已知每辆
12、中巴车的载客人数在人到人之间，求每辆大巴车的载客人数【解析】 设大巴车和中巴车的载客人数分别为人和人，那么有：考虑等式两边除以7的余数，由于被除余，所以被除余，符合条件的有：、，所以，继而求得，所以大巴车的载客人数为人【巩固】 每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？【解析】 设需要大、小汽车分别为辆、辆，则有：，可化为可以看出是3的倍数，又不超过10，所以可以为0、3、6或9，将、3、6、9分别代入可知有四组解：；或；或；或即需大汽车1辆，小汽车9辆；或大汽车3辆，小汽车6辆；或大汽车5辆，小汽车3辆；或大汽车7辆【巩
13、固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共条腿”那么小峰养了多少兔和鸡？【解析】 这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解设小峰养了只兔子和只鸡，由题意得： 即：，这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：由题意，且，均不为，所以，也就是兔有只，鸡有只【例 10】 （1999年香港保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）一个家具店在1998年总共卖了213张床起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床问：他们共有多少个月是卖出25张床？【解析】 设卖出25、16、20
14、张床的月份分别为、个月，则：由得，代入得显然这个方程的正整数解只有，所以只有1个月是卖出25张床的【例 11】 (年“希望杯”第二试试题)五年级一班共有人，每人参加一个兴趣小组，共有、五个小组若参加组的有人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有人那么，参加组的有_人【解析】 设参加组的有人，参加组、组的有人，则，由题知，整理得；由于，若，得，满足题意；若，则，与矛盾；所以只有，符合条件，故参加组的有人【例 12】 （2008年全国小学生“我爱数学夏令营”数学竞赛）将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组已知甲乙丙的平均年龄分为，.甲乙两组人合起来的平均年龄为；乙丙两组人合起来的平均年龄为则这一群人的平均年龄为 .【解析】 设甲乙丙三组分别有人，依提议有： 由化简可得，由化简可得，所以； 因此，这一群人的平均年龄为【例 13】 个大、中、小号钢珠共重克，大号钢珠每个重克，中号钢珠每个重克，小号钢珠每个重克问：大、中、小号钢珠各有多少个？【解析】 设大、中、小号钢珠分别有个，个和个，则： ，得可见是3的倍数，又是7的倍数，且小于30，所以只能为21，故，代入得，所以大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个【巩固】 袋子里有三种球，分别标有数字，和，小明从中摸出12个球，它们的数字之
