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1、初中数学专题辅导二 2021年4月18日星期五 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要 的基本技能. 因式分解的方法较多，除了学校课本涉及到的 提取公因式法和公式法 ( 平方差公式和完全平方公 式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相 乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等. 2021年4月18日星期五 一、公式法(立方和、立方差公式) a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ) 两个数的立方和 ( 差 ) ,等于这两个数的和 (
2、差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和).【例1】因式分解：(1) 8 x 3 (2) 0.125 27b 3 解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ). ( 2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)0.52 0.5 3b (3b)2 (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b 2 ). 2021年4月18日星期五 一、公式法(立方和、立方差公式) 【例2】因式分解：(1) 3a 3b 81b4 (2) a 7 ab6 解 : (1) 3a 3b 81b4 3b(a 3 27b 3 ) 3b(a 3b)(a 2 3ab 9b
3、 2 ). (2) a 7 ab6 a(a 6 b6 ) a(a 3 b 3 )(a 3 b 3 ) a(a b)(a 2 ab b 2 )(a b)(a 2 ab b 2 ) a(a b)(a b)(a 2 ab b 2 )(a 2 ab b 2 ). 或a 7 ab6 a(a 6 b6 ) a(a 2 b 2 )(a 4 a 2b 2 b 4 ) a(a 2 b 2 )(a 2 b 2 )2 a 2b 2 a(a b)(a b)(a 2 ab b 2 )(a 2 ab b 2 ). 2021年4月18日星期五 二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的 多项式，主要是二项式和
4、三项式.而对于四项以上 的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也 没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组 处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分 解法.分组分解法的关键在于如何分组.2ax 10ay 5by bx 【例3】因式分解： 说明：用分组分解法，肯定要想想分组后能否连续 完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不 妨一试. 解 : 2ax 10ay 5by bx 2a( x 5 y ) b( x 5 y ) ( x 5 y )(2a b).2021年4月18日星期五 二、分组分解法 2ax 10ay 5by b
5、x 【例4】因式分解：解 : ab(c 2 d 2 ) (a 2 b 2 )cd abc 2 abd 2 a 2cd b 2cd (abc 2 a 2cd ) (b 2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd (bc ad ) (bc ad )(ac bd ). 2ax 10ay 5by bx 【例5】因式分解：解 : 2 x 2 4 xy 2 y 2 8z 2 2( x 2 2 xy y 2 4 z 2 ) 2( x y )2 ( 2 z )2 2( x y 2 z )( x y 2 z ). 2 014年4月18日星期五 三、十字相乘法1. x2 ( p q) x pq 型的因式分
6、解x 2 ( p q ) x pq x 2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q )x 2 ( p q ) x pq ( x p )( x q ) 【例6】因式分解：(1) x 2 7 x 6(2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9). (2)x 2 13 x 36 解 : (1)x 2 7 x 6 x ( 1) x ( 6) ( x 1)( x 6). (1)x 2 xy 6 y 2 (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 【例7】因式分解： 解 : (1)x 2 xy 6 y 2 x 2 yx 62 ( x 3 y )( x
7、2 y ). (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 ( x 2 x 6)( x 2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).2021年4月18日星期五 三、十字相乘法2.一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 . 反过来，就得到： a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 我们发觉，二次项系数 a 分解成 a1a2 ,常数项 c 分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1
8、 , c2 写成 a1 a2c1 ,这里按 c 2 2 斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2 c1 ,那么 ax bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) . 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法. 【例8】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2解 : (1)12 x 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1).2 (2)5x 2 6 xy 8 y 23 4 1 5 2 1 2 42021年4月18日星期五 ( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ). 三、十字相乘法 【例9】因式分
9、解：(1)( x 2 2 x ) 7( x 2 2 x ) 8 (2)x 2 2 x 15 ax 5a 分析：用十字相乘法分解因式也要留意分解彻底，有 时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的 多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项 可以三、二组合.解 : (1)原式 ( x 2 2 x 1)( x 2 2 x 8). (2)原式 ( x 2 2 x 15) ( ax 5a ) ( x 3)( x 5) a( x 5) ( x 5)( x 3 a ).2021年4月18日星期五 四、配方法(1) x 2 6 x 16 【例10】因式分解： (2)x 2 4 xy 4 y 2 解
10、: (1)x 2 6 x 16 ( x 3)2 52 ( x 8)( x 2). (2)x 2 4 xy 4 y 2 ( x 2 4 xy 4 y 2 ) 8 y 2 ( x 2 y )2 8 y 2 ( x 2 y 2 2 y )( x 2 y 2 2 y ). 说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解.2021年4月18日星期五 五、拆(添)项法 【例11】因式分解： x3 3 x 2 4解 : x 3 3 x 2 4 ( x 3 1) (3 x 2 3) ( x 1)( x 2 x 1) 3( x 1)( x 1) ( x
11、 1)( x 2 x 1) 3( x 1) ( x 1)( x 2 4 x 4) ( x 1)( x 2)2 . 说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 假如多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 假如各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组 分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必需进行到每一个多项式因式都不能再分 解为止.2021年4月18日星期五 2021年4月18日星期五 学校阶段已经学习了一元一次不等式和一元一 次不等式组的解法.高中阶段将进一步学习一元二 次不等式和分式不等式等学问.本讲先介绍一些高 中新课标中关于不等式的必备学问. 2021年
12、4月18日星期五 一元二次不等式的定义和 解法 定义：含有一个未知数并且未知数最高次数是 二次的不等式叫一元二次不等式. 。 首先，我们可以把任何一个一元 二次 y 不等式转化为下列四种形式中的 2 ( 1 ) ax bx c 0(a 0) 一种： o x (2)ax2 bx c 0(a 0) (3)ax2 bx c 0(a 0) (4)ax2 bx c 0(a 0)2021年4月18日星期五 方程组的定义和解 法 开头 推断 =b2 4ac0ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) (x1 x2) 求解一元二次不等式ax2+bx+c0或 ax2+bx+c0(a 0, =b2 4ac0)的
13、步 写出两个等价的不等式组 骤:分别解出两个不等式组的解集 否 是 (x-x1)(x-x2)0 x | x x 1 或 x x 2 x | x 1 x x 2 2021年4月18日星期五 可把ax2+bx+c分解因式的一元二次不等 设ax2 bx c (式的解法 x x1 )(x x2 ), 则解不等式 ax2 bx c 0, 即解不等式 ( x x1 )(x x2 ) 0,依据同号得正，异号得 负， x1 0 x x x1 0 ,或 ( x x1 )(x x2 ) 0可变形为， x x 0 x x 0 2 2 两个一元一次不等式组，从而得到其解集； x x1 0 x x1 0 ,或 若( x x1 )(x x2 ) 0,则可变形为 x x2 0 x x2 0 两个一元一次不等式
