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1、2021全国初中数学联赛试题 1 一、选择题（共5小题，每小题6分，共60分. 每道小题均给出了为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1假如实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数 |a b b c +可以化简为（ ） （A ）2c -a （B ）2a -2b （C ）-a （D ）a 2假如2a =-111 23a + + +的值为（ ） （A ）（B （C ）2 （D ）3假如正比例函数y = ax （a 0）与反比例函数y =x b （b 0 ）的图象有两个交点，其中一 个交点的坐标为（
2、3，2），那么另一个交点的坐标为（ ） （A ）（2，3） （B ）（3，2） （C ）（2，3） （D ）（3，2） 4 在平面直角坐标系xOy 中，满意不等式x 2y 22x 2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 5假如a b ，为给定的实数，且1a b ，那么1121a a b a b +， ，这四个数据的平均数与中位数之差的肯定值是（ ） （A ）1 （B ） 214 a - （C ）12 （D ）1 4 6如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， ABC 是等边三角形30ADC =?，AD = 3，BD = 5，
3、则CD 的长为（ ） （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 2 7小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 8假如关于x 的方程 20x px q p q -=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ） （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 9一枚质地匀称的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的
4、两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，则 0123p p p p ，中最大的是（ ） （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 10黑板上写有1 11123100 ， ，共100个数字每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，然后删去a b ，并在黑板上写上数a b ab +，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ） （A ）2021 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 11按如图的程序进行操作，规定：程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否487？”为一次 操作. 假如操作进行
5、四次才停止，那么x 的取值范围是 . 12如图，正方形ABCD 的边长为 E ， F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则DMN 的面积是 . 13假如关于x 的方程x 2+kx +43k 23k +92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2021220211 x x 的值为 142位八班级同学和m 位九班级同学一起参与象棋竞赛，竞赛为单循环，即全部参赛者彼此恰好竞赛一场记分规章是：每场竞赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 竞赛结束后，所 3 有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过竞赛局数的一半，则m 的值为 . 15如图，四边形ABC
6、D 内接于O ， AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ， 交点为E . 作BF EC ，并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的 长为 . 三、解答题（共4题，每题15分，共60分） 16已知二次函数232y x m x m =+（），当13x -时，恒有0y ；关于x 的方程2320x m x m +=（）的两个实数根的倒数和小于910 - 求m 的取值范围 7如图，O 的直径为AB ，O 1O 过点O ，且与O 内切于点B C 为O 上的点，OC 与1O 交于点D ，且OD CD 点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与
7、1O 交于点F ，求证：BOC 1DO F 4 18已知整数a ，b 满意：a b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a 2021时，求a 的最小值. 19求全部正整数n ，使得存在正整数122021x x x ，满意122021x x x ，且122021 122021 n x x x += . 2021年全国学校数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1 。C 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知 b a c ，且b c ， 所以 |()()() a b b c a a b c a b c +=-+-+a =- 2B 解： 11 111 11 22 3a +=+=+ + + 111 =3D 解
8、：由题设知，2(3) a -=?-，(3)(2)b -?-=，所以 2 6 3 a b = ，. 解方程组 2 3 6 y x y x ? = ? ? ?= ? ， ， 得 3 2 x y =- ? ? =- ? ， ； 3 2. x y = ? ? = ? ， 所以另一个交点的坐标为（3，2）. 注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）. 4B 解：由题设x2y22x2y，得022 (1)(1) x y -+-2. 由于x y ，均为整数，所以有 2 2 (1)0 (1)0 x y ?-= ? ? -= ? ， ； 2 2 (
9、1)0 (1)1 x y ?-= ? ? -= ? ， ； 2 2 (1)1 (1)0 x y ?-= ? ? -= ? ， ； 2 2 (1)1 (1) 1. x y ?-= ? ? -= ? ， 解得 1 1 x y = ? ? = ? ， ； 1 2 x y = ? ? = ? ， ； 1 x y = ? ? = ? ， ； 1 x y = ? ? = ? ， ； x y = ? ? = ? ， ； 2 x y = ? ? = ? ， ； 2 1 x y = ? ? = ? ， ； 2 x y = ? ? = ? ， ； 2 2. x y = ? ? = ? ，以上共计9对x y （，）
10、. 5D 解：由题设知，1112 a a b a b +，所以这四个数据的平均数为 5 6 1(1)(1)(2)34244 a a b a b a b +=， 中位数为 (1)(1)44224 a a b a b +=， 于是 4423421444 a b a b +-=. 6B 解：如图，以CD 为边作等边CDE ，连接AE . 由于AC = BC ，CD = CE ， BCD =BCA +ACD =DCE +ACD =ACE ， 所以BCD ACE ， BD = AE . 又由于30ADC =?，所以90ADE =?. 在Rt ADE 中，53AE AD =， 于是DE 4=，所以CD = DE = 4. 7D 解：设小倩全部的钱数为x 元、小玲全部的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-?+=-?， 消去x 得
