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1、高考数学试题分类汇编（导数）（安徽理18）设 a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x0）. （）令 F（x）xf （x） ，讨论 F（x）在（ 0.）内的单调性并求极值；（）求证：当 x1 时，恒有 xln2x2a ln x1. 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力本小题满分14 分（）解：根据求导法则有2ln2( )10 xafxxxx，故( )( )2ln20F xxfxxxax，于是22( )10 xFxxxx，列表如下：x(0 2)，2 (2)， ( )Fx0 ( )F x极小值(2)F故知
2、( )F x在(0 2)，内是减函数，在(2)， 内是增函数，所以，在2x处取得极小值(2)22 ln 22Fa（）证明：由0a知，( )F x的极小值(2)22ln 220Fa于是由上表知，对一切(0)x， ，恒有( )( )0F xxfx从而当0 x时，恒有( )0fx，故( )fx在(0)， 内单调增加所以当1x时，( )(1)0f xf，即21ln2 ln0 xxax故当1x时，恒有2ln2 ln1xxax( 安徽文 20) 设函数 f （x）=-cos2x-4t sin2xcos2x+4t2+t2-3t +4,xR,其中t1，将 f (x) 的最小值记为 g( t ). ( ) 求
3、g(t ) 的表达式；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 33 页 - - - - - - - - -( ) 诗论 g( t ) 在区间（ -1,1 ）内的单调性并求极值 . 本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力解： （I）我们有232( )cos4 sincos43422xxf xxtttt222sin12 sin434xtttt223sin2 sin433xtxttt23(sin)433xt
4、tt由于2(sin)0 xt，1t ，故当sin xt时，( )f x达到其最小值( )g t，即3( )433g ttt（II）我们有2( )1233(21)(21)1g ttttt，列表如下：t12，1212 2，12112，( )g t00( )g t极大值12g极小值12g由此可见，( )g t在区间112，和112，单调增加，在区间1 12 2，单调减小，极小值为122g，极大值为42g（北京理19）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭 圆上，记2CDx，梯形面积为S（I）求面积S以
5、x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值解： （I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy（如图），则点C的横坐4rCDAB2r精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 33 页 - - - - - - - - -标为 x 点C的纵坐标y满足方程22221(0)4xyyrr，解得222(0)yrxxr221(22 ) 22Sxrrx222()xrrx ，其定义域为0 xxr（II）记222( )4() () 0f xxrrxxr，则2( )8() (2 )fxxrrx 令( )0fx，得12xr因为当0
6、2rx时，( )0fx；当2rxr时，( )0fx，所以12fr是( )f x的最大值因此，当12xr时，S也取得最大值，最大值为213 322frr 即梯形面积S的最大值为23 32r（福建理22）已知函数( )exf xkxxR，（）若ek，试确定函数( )fx的单调区间；（）若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（）设函数( )( )()F xf xfx，求证：12(1) (2)( )(e2) ()nnFFF nnN本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问
7、题、解决问题的能力满分14 分解： （）由ek得( )eexf xx，所以( )eexfx由( )0fx得1x，故( )f x的单调递增区间是(1)，由( )0fx得1x，故( )f x的单调递减区间是(1)，CDABOxy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 33 页 - - - - - - - - -（）由()()fxfx 可知()fx 是偶函数于是()0fx对任意xR成立等价于( )0f x对任意0 x成立由( )e0 xfxk得lnxk当(0 1k，时，( )e10(0)xfxkkx此时( )f x在0)，上单调递增故(
8、 )(0)10f xf，符合题意当(1)k，时，ln0k当 x变化时( )( )fxf x，的变化情况如下表：x(0 ln)k，ln k(ln)k，( )fx0( )fx单调递减极小值单调递增由此可得，在0)，上，( )(ln)lnf xfkkkk依题意，ln0kkk，又11ekk，综合，得，实数k的取值范围是0ek（）( )( )()eexxF xf xfx，12()()F x F x12121212121212()()eeeeee2e2xxxxxxxxxxxxxx，1(1) ( )e2nFF n，11(2)(1)e2( )(1)e2.nnFF nF n F由此得，21(1) (2)( )(
9、1) ( )(2)(1)( )(1)(e2)nnFFF nFF nFF nF n F故12(1) (2)( )(e2)nnFFF nnN，（福建文20）设函数22( )21(0)f xtxt xtxtR，（）求( )f x的最小值( )h t；（）若( )2h ttm对(0 2)t，恒成立，求实数 m的取值范围本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 33 页 - - - - - - - - -决问题的能力满分12 分解： （）23( )()1(0)f xt
10、 xtttxtR，当 xt 时，( )f x取最小值3()1fttt，即3( )1h ttt（）令3( )( )( 2)31g th ttmttm，由2( )330g tt得1t，1t（不合题意，舍去）当t 变化时( )g t，( )g t的变化情况如下表：t(01)，1(12)，( )g t0( )g t递增极大值1m递减( )g t在(0 2)，内有最大值(1)1gm( )2h ttm在(0 2)，内恒成立等价于( )0g t在(0 2)，内恒成立，即等价于10m，所以 m的取值范围为1m( 广东理、文 20) 已知 a 是实数，函数2( )223f xaxxa如果函数( )yf x在区间
11、 1,1上有零点，求 a 的取值范围解: 若0a, ( )23f xx,显然在上没有零点 , 所以0a令248382440aaaa得372a当372a时, yfx 恰有一个零点在1,1 上; 当11150ffaa即15a时, yfx 也恰有一个零点在1,1 上; 当yfx在1,1 上有两个零点时 , 则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 33 页 - - - - - - - - -2082 44011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得5a或352a因此 a的取值范围是1a或352a; （海
12、南理21）设函数2( )ln()f xxax（I）若当1x时，( )f x取得极值，求 a的值，并讨论( )f x的单调性；（II）若( )f x存在极值，求 a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2解： （）1( )2fxxxa，依题意有( 1)0f，故32a从而2231(21)(1)( )3322xxxxfxxx( )fx的定义域为32， ，当312x时，( )0fx；当112x时，( )0fx；当12x时，( )0fx从而，( )fx分别在区间31122， 单调增加，在区间112，单调减少（）( )fx的定义域为()a， ，2221( )xaxfxxa方程22210 xax的判别式2
13、48a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 33 页 - - - - - - - - -（）若0，即22a，在( )f x的定义域内( )0fx，故( )f x的极值（）若0，则2a或2a若2a，(2)x，2(21)( )2xfxx当22x时，( )0fx，当22222x， 时，( )0fx，所以( )f x无极值若2a，( 2)x， ，2(21)( )02xfxx，( )f x也无极值（ ） 若0， 即2a或2a， 则22210 xa x有 两 个 不 同 的 实 根2122aax，2222aax当2a时，12xaxa，从而(
14、 )fx有( )f x的定义域内没有零点， 故( )f x无极值当2a时，1xa，2xa ，( )fx在( )f x的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知( )f x在12xxxx，取得极值综上，( )fx存在极值时， a的取值范围为 ( 2)， ( )fx的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln11ln 2ln22ef xfxxaxxaxa（海南文19）设函数2( )ln(23)f xxx（）讨论( )f x的单调性；（）求( )f x在区间3 14 4，的最大值和最小值解：( )f x的定义域为32， （）224622(21)(1)( )2232323xxxxfx
15、xxxx当312x时，( )0fx；当112x时，( )0fx；当12x时，( )0fx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 33 页 - - - - - - - - -从而，( )fx分别在区间312，12， 单调增加，在区间112，单调减少（）由（）知( )f x在区间3 14 4，的最小值为11ln 224f又31397131149lnlnln1ln442162167226ff0所以( )f x在区间3 14 4，的最大值为117ln4162f（湖北理20）已知定义在正实数集上的函数21( )22f xxax，2( )3l
16、ng xaxb ，其中0a设两曲线( )yf x，( )yg x有公共点，且在该点处的切线相同（I）用 a表示b，并求b的最大值；（II）求证：( )( )f xg x（0 x） 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解： （）设( )yf x与( )(0)yg xx在公共点00()xy，处的切线相同( )2fxxa，23( )agxx，由题意00()()f xg x，00()()fxg x即22000200123ln232xaxaxbaxax，由20032axax得：0 xa ，或03xa（舍去） 即有222221523ln3ln22baaaaaaa令225( )3ln (0)2h tttt t，则( )2 (13ln )h ttt于是当(13ln )0tt，即130te时，( )0h t；当(13ln )0tt，即13te时，( )0h t故( )h t在130e，为增函数，在13e ， 为减函数，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 33 页 - - - - - - - -
