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1、学习必备欢迎下载专题 4数形结合、分类讨论思想一知识探究：1数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合， 就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。数形结合的途径: （1）通过坐标系形题数解（2）通过转化构造数题形解数形结合的原则:（1）等价性原则；（2）双向性原则；（3）
2、简单性原则2分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。分类原则： （1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；二命题趋势分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉
3、及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由nS求na等。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。三再现性题组1集合 Ax|x| 4,x R ，Bx|x 3| a，xR ，若 AB，那么 a的范围是（）。A. 0 a 1 B. a 1 C. a1 D. 0a0、a0、 a0 三种情况讨论，选B；2. 若 (0, 2)，则limncossincossinnnnn的值为（）。A. 1 或 1 B. 0 或 1 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或 1 分4、 04、42三种情况，选D3. 过
4、点 P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是（）。A. 3x2y0 B. x y50 C. 3x2y0 或 xy50 D.不能确定分截距等于零、不等于零两种情况，选C。4.若 log 2log 20，则（）。A. 0ab1 B. 0bab1 D. ba1 由已知画出对数曲线，选B5. 对每个实数4x22x1x4xfx，取，设)(中的最小值， 那么)(xf的最大值是（）25D32C31B38A、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载6. 对a,bR, 记 max|
5、a,b|=babbaa,函数f（ x） max|x+1|,|x 2|(xR) 的最小值是。由21212122xxxxx，故212211xxxxxf，其图象如右，则2312121minfxf。点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。7. 已知1,10,220 xxyxy则22xy的最小值是；解：由022011yxyxx，画出可行域，得交点A(1 ，2)，B(3，4)，则22yx的最小值是 5。8解关于的不等式：xaxax2110()解析：（ ）当时，原不等式化为10101axx（）当时，原不等式化为20110aa xxa()(
6、)，若，则原不等式化为axxa0110()()，1011aa，不等式解为或xax11；若，则原不等式化为axxa0110()()，（ ）当时，不等式解为iaaax11111；( )iiaax当时，不等式解为111；()iiiaaxa当时，不等式解为011111；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为或axxax011；当时，解集为ax x01|；当时，解集为0111axxa；当时，解集为a1；当时，解集为axax111。点评：这
7、是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类： （1）a0 （2）a=0，对于（ 2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a0 或 a0 时，函数y=m(t),2, 2t的图象是开口向上的抛物线的一段，由1ta0知 m(t)在2, 2.上单调递增，g(a)=m(2)=a+2 。(2)当 a=0 时， m(t)=t,2, 2t, g(a)=2 。(3)当 a0 时 ,函数 y=m(t),2, 2t的图象是开口向下的抛物线的一段，若10,2ta，即22a则( )( 2)2g am，若1( 2,2ta，即2122a则11( )()2g amaaa，若1(2,)ta
8、，即102a则( )(2)2g ama，综上有2,1( ),22,ag aaa1221,2222aaa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(III) 解法一：情形 1：当2a时112a，此时( )2g a，11( )2gaa由122212aa解得，与 a0 时，10a，此时 g(a)=a+2, 11()2gaa由1221aaa解得，由 a0 得 a=1. 综上知，满足1( )()g aga的所有实数a 为22,2a或 a=1。点评： 本小题主要考查函数、方程等基本知识
9、，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。例 6解不等式()()xa xaa46210 (a 为常数， a 12) 【分析】含参数的不等式，参数a 决定了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数 a 分四种情况a0、 a0、12a0、a0 时， a12；4a0 。所以分以下四种情况讨论：当 a0 时， (x 4a)(x 6a)0 ，解得： x6a；当 a0 时， x20，解得： x0；当12a0 ，解得 : x4a；当 a12时， (x 4a)(x 6a)0 ，解得： 6ax0 时， x6a；当 a 0时， x0；当12a0时， x4a；当 a12时，
10、6ax4a 。【注】本题的关键是确定对参数a 分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。题型 6：数列中分类讨论问题例 5 已知数列na的前n项和为nS， 点), 2(1nnSa在直线54xy上， 其中*Nn.令nnnaab21，且11a，（1）求数列nb的通项公式；（ 2）若nnxbxbxbxbxf33221)(，求)1(f的表达式，并比较)1(f与nn482的大小 . 解：（ 1）5)2(41nnaS，341nnaS. 341nnaS（2n）. 1144nnnaaa（2n）. )2(2211nnnn
11、aaaa（2n）. 222111nnnnnnaaaabb（2n） . 数列nb为等比数列，其公比为2q，首项1212aab，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载而34121aaa，且11a，62a. 4261b. 11224nnnb. （2）nnxbxbxbxbxf33221)(，1232132)(nnxnbxbxbxbxf. )1(fnnbbbb32132. )1(f1432223222nn，2)1 (f2543223222nn. -得-)1(f2143222222
12、nnn，2221)21(4nnn22)21(4nnn，)1(f22)1(4nn. ) 1(f（nn482）=)12(42)1(42nnnn=) 12(2)1(4nnn. 当1n时，)1(f=nn482；当2n时，)1 (f-（nn482）=4（4-5）=-40，)1(fnn482；当3n时，0)1(4 n，且nnnnnnnnCCCC110)11 (21222nn，3n时，总有122nn. 3n时，总有)1 (fnn482五思维总结1、从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时， 应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用
13、之上即可。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点： 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载221P 221Q S R x意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。2、分类讨论问题已成为高考考查学生知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识的考查；其二，
14、 解分类讨论问题要有一定的分析能力、一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关. 分类讨论要注意的几点： (1) 根据问题实际， 做到分类不重复、不遗漏 ;(2) 熟练地掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，是解好分类讨论问题的前提条件; (3) 不断地总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性;(4) 要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程.六巩固性题组：1、已知 f(x)=(xa)(xb)2（其中 ab ，且、是方程 f(x)=0 的两根（ ，则实数 a、b、的大小关系为 ( ) A abB abC abD ab 2、 定
15、义babbaaba,max， 设实数yx,满足约束条件,3 ,2max,22yxyxzyx则z的取值范围是（） . . 5，6. 3，6. 5，. 8，答案： C 3、设, x y满足约束条件04312xyxxy，则231xyx取值范围是（）.A1,5.B2,6.C3,10.D3,11答案： D 4、过点（ 1，2）的直线l 将圆 (x2)2y24 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k。（数形结合）由图形可知点A(1, 2)在圆22(2)4xy的内部 , 圆心为 O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线lOA，所以11222lOAkk。点评：对于直线与圆的位置关
16、系以及一些相关的夹角、弦长问题， 往往要转化为点到线的距离问题来解决。5、已知 A=(x,y)|x| 1,|y| 1 ,B=(x,y)|(x a)2+(y a)21 ，aR,若 AB，则a的取值范围是。解析：如图，集合A 所表示的点为正方形PQRS 的内部及其边界，集合B 所表示的点为以 C(a,a)为圆心， 以 1 为半径的圆的内部及其边界而圆心 C(a,a)在直线 y=x 上，故精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载要使 A B，则221221a为所求。点评：应用几何图象解决问题时，尤其要注意特殊点（或位置）的情况，本题就是按照这样的思路直接求出实数a的取值范围6、 (4cos+32t)2+(3sin1+2t)2，(、t 为参数 )的最大值是解析联想到距离公式，两点坐标为A(4cos,3sin),B(2t3,12t) 点 A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线考虑用点到直线的距离公式求解答案7、设等比数列na的公比为q, 前n项和为nS, 若12,nnnSS
