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1、定积分一、定积分的概念1.定义：设函数( )yf x在区间 , a b上有定义，如果和式极限lim()( )01nfxiil Ti存在（其中,max)(21nxxxTl）则称这个极限为函数( )fx从 a到 b 的积分，记作( )baf x dx。2.几何意义：当( )f x0时，( )baf x dx表示由x 轴，直线x=b,x=b 及曲线( )yf x所围成的曲边梯形的面积。3.运算法则(1) ( )( )( )( ),bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx(2) ()(),() bbaakfx dxkfx dxk为常数(3) ( )( )( )bcbaacf x dxf
2、x dxf x dx(4) ( )( )baabf x dxf x dx二、可积准则1、可积准则：函数( )f x在闭区间 , a b可积的充要条件是()0lim ()( )l TS Ts T0 或nkkkTlx10)(0lim其中( ), ( )S Ts T分别表示关于T 的大和与小和，k为振幅。2.可积的必要条件：若函数( )f x在区间 , a b可积，则函数( )f x在 , a b有界。3.可积的充分条件（1）若函数( )fx在闭区间 , a b连续，则函数( )f x在 , a b可积；（2） 若函数( )f x在闭区间 , a b有界，且有有限个间断点， 则函数( )f x在闭区
3、间 , a b可积。（3）若函数( )f x在闭区间 , a b单调（可能有无限多个间断点）同函数( )f x在闭区间 , a b可积。（4）设函数( )f x在 , a b上的有界函数，则以下说法等价：( )f x在 , a b上可积。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -()0lim ( )( )l TS Ts T0 0,( )( )TS Ts T使0,T，使nkkkx14.积分上限函数及其性质（1）定义： 设函数( )f x在 , a b上可积， 则函数( )( )xaxf t d
4、t称为函数( )f x在 , a b上的积分上限函数（其中 , xa b） ，（2）性质：如果( )f x在 , a b上可积，则积分上限函数( )( )xaxf t dt在 , a b上连续。如 果 在,a b上 连 续 ， 则 积 分 上 限 函 数( )( )xaxf t dt可 导 ， 且()()()xadxftd tfxdx5.定积分的计算（1）牛顿莱布尼兹公式()()()bafx dxFbFa（其中( )F x是( )f x的一个原函数）（2）定积分的换元法（注意换元而且要换限）（3）定积分的分部积分法6.定积分的中值定理及性质三、定积分的应用1、微元法：曲边梯形的面积baAdA物
5、体运动的路程baSds变力所做的功bawdw2.平面区域的面积直角坐标系( )baAf x dx参数方程( )( )Att dt极坐标若 C的极坐标方程为( ),()rf则面积21( )2Afd3.平面曲线的弧长：参数方程： x=( ),( ),tytt，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -弧长22( )( )Stt dt直角坐标系：( )yf xaxb弧长21( )baSfx dx极坐标( ),rf弧长2222( )( )Sffdrr d4.应用截面面积求体积( )bbaaVdvP
6、 zdz( )P z为截面面积5.旋转体体积将 区 间,a b上 的 连 续 曲 线( )yf x绕x轴 旋 转 一 周 ， 所 得 旋 转 体 的 体 积2()baVfxd x7.旋转体的侧面积将区间 , a b上非负连续曲线( )yf x绕 x 轴旋转得到旋转体的侧面积为22( ) 1( )baSf xfx dx221bay dx若 曲 线 由 参 数 方 程 ：( ) ,( ) ,xtytt给 出 ， 则 侧 面 积 为2222( )( )( )2Sttt dtyxy dt若曲线由极坐标方程：( )(0)给出，则侧面积为：222sinSd四例题1.证明：若函数( )f x在0,1上可积，
7、 且10( )0f x dx， 则存在某个闭区间 , 0,1a b， , xa b，有( )0f x。证 假设任意闭区间,0,1，总存在,，使( )0f。给 任 意 分法T ， 将0,1分 成n个 小 区 间 ：, ,1322110nnxxxxxxxx，1,010 xx. 取,1iikxx，使()0kf，1kn。作积分和0)(1nkkkxf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -有0)()(lim1010)(dxxfxfnkkkT与已知条件矛盾，则存在某个闭区间 , 0,1a b， , x
8、a b，有( )0f x，2. 证 明 ： 若 函 数( )fx与( )g x在0,1上 同 是 单 调 增 加 或 单 调 减 少 ， 则111000( )( )( ) ( )f x dxg x dxf x g x dx证法：应用定积分定义和不等式nkkknkknkkbanba111,其中jiaa与jibb或jiaa与jibb1, i jn证 已知函数( )f x与( )g x在0,1上可积，从而( )f x( )g x在0,1上也可积，将0,1等分成n个小区间1,kknn，取kkn，1kn，由函数( )f x与( )g x在0,1上有相同 的 单 调 性 ， 由 已 知 的 不 等 式 ，
9、 有111()()() (nnnkkkkkkkfgnfgnnnn） 或111111()()()()nnnkkkkkkkfgfgnnnnnnn由定积分定义，当,n时，111000()()()()fxd xgxd xfxgxd x3.如果函数( )f x或2( )f x在 , a b上可积，函数( )f x在 , a b上是否可积 ? 解 不一定，例如函数1( )1f xxx当 是有理数当 是无理数而( )1f x或2 ( )1f x在0,1上都可积，但是，函数( )f x在0,1上却不可积。反之， 若函数( )x在 , a b上可积， 则( )x在 , a b上可积。 而2( )x在 , a b
10、上也可积。 （见练习题8.2 第 6 题）4.证明：若函数( )f x在 , a b连续，非负，且0 , a bx，使0()0 ,fx则( )0baf x dx。 证 已 知 函 数( )f x在0 x连 续 ， 且0()0 ,fx根 据 连 续 函 数 的 保 号 性 ，000, , xa bxx，有0()(),2ffxx设精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -00, , a bxx，且 , , ,a b又已知 , ,xa b有( )0f x。于是0()( )( )()02baff x
11、 dxfx dxx5.证明：若函数( )fx在0,1单调减少，则1011(0)(1)( )()nkkfff x dxfnnn 证 已知( )f x在0,1单调减少，则( )f x在0,1可积。 将0,1n 等分，分点是：1 20,n n1,1nn。有1011()()nkkfxdxfnn1111( )( )kknnnnkkkknnkf x dxfdxn11( )( )knnkknkf xfdxn111()( )knnkknkkffdxnn111()()nkkkffnnn11121(0)()()()()(1)nffffffnnnnn(0)(1)ffn6.求下列定积分（1）12lnexdxx（2）l
12、n30 xxe dx（3）2220axax dx解 (1) 21112ln2ln15()(2lnln)22eeexxdxdxxxxxx(2) l0n3xxe dx0ln3xxde00ln3ln3xxxee dx00ln3ln3xxxeeln 3111(2ln 3)333(3)设cos ,sinxat dxatdt4422242240000222sin4sincos(1 cos4 )()88416aaatxax dxattdtt dtta8.求下列平面曲线所围成的区域的面积。（1）y=sinx,y=cosx, ,44xx（2）33cos ,sinxat yat(a0) （3）sin 2ra(a0
13、) 解（ 1）2)cos(sin)sin(cos4444xxdxxxA精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -（2）02t，这是星形线所围成的区域。它关于x 轴与 y 轴都对称。因此它的面积是第一象限那部分区域面积的4 倍。23 cossinxatt32242220034sin( 3 cossin )12sincos8Aatattdtattdt2a（4）这是四叶玫瑰线，这四个叶关于x 轴与 y 轴都对称，四叶玫瑰线围成区域的面积是第一象限一叶面积的4 倍。22222200114sin 2(
14、1cos4 )22Aadada8 积分第二中值定理的三种形式：（ 1）若函数( )f x在 , a b上单调减少，非负，函数( )g x在 , a b上可积，则存在,a b，使( ) ( )( )( )baaf x g x dxf ag x dx（ 2）若函数( )fx在 , a b上单调增加，非负，函数( )g x在 , a b上可积，则存在,a b，使( ) ( )( )( ),bbaf x g x dxf bg x dx（3） ）若函数( )fx在 , a b上单调 , 函数( )g x在 , a b上可积， 则存在,a b，使( ) ( )( )( )( )( )bbaaf x g x
15、 dxf ag x dxf bg x dx证（1）给 , a b任意分法T，分点是012naxxxxb。1kkkxxx()()()()()()11111()()()111Annxxbkkfx gx dxfxgx dxfxgx dxakxxkkkknxkfxfxgx dxkxkk已知函数( )f x在 , a b上有界，即0,Mxa b，有( ).g xM11,( )()(),kkkkxxxf xf xf又因( )fx在 , a b上可积，即0,0,: ( )T l T有()()()()1111nnxkfxfxgxdxMfxMkkxkkkk精品学习资料 可选择p d f - - - - - -
16、- - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -从而()()lim()()1()011nxbkAfxgx dxfxgxdxakxl Tkk作辅助函数()( ),xaG xg t dt则函数( )G x在 , a b上连续，设m与M分别是 函 数)(xG在 , a b上的 最 小 值 与 最 大 值 ， 注意 到0)(0 xG, 有111111()()()()()nnxkkkxkkkkkfxgx dxfxGxGx=10211011()()()()()()()()()nnnfxG xG xf xG xG xfxG xG x= 1012121211()()()()()()()()()() ()nnnnnG xf xf xG xf xf xG xf xf xG xf x已知1()()0kkfxfx(1, 2,1) ,kn0)(1nxf有)()()()(111aMfdxxgxfamfkkxxnkk即()()m faAM fa根 据 连 续 函 数 介 值性 ， 存 在,a b， 使()()AfaG即()( )()( )baafx g x dxfag x
