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1、高中数学精彩结论汇总熟悉解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果。一、集合1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合AB、，AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n，12n.22n4.“交的补 等于 补的并 ，即()UUUCABC AC B” ； “ 并的补 等于 补的交 ，即()UUUCABC AC B”. 5.判断命题的真假关键是 “抓住 关联字词 ”
2、 ；注意：“不或即且 ，不且即或 ”. 6.四种命题 中“ 逆者交换也” 、 “ 否者否定也”. 原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步： 假设、推矛、得果 . 二、函数1.指数式、对数式，logaNaNlog(0,1,0)baaNNb aaN，. 01a，log 10a，log1aa，lg 2lg51，loglnexx，logloglogcacbba，.loglogmnaanbbm. 2 (1)函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个 . (2)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像. (3)原函数
3、与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：解x，交换 x、y，写出定义域。. 注意：1( )( )f abfba，1( )f fxx，1( )ff xx，但11( )( )f fxff x. 函数(1)yf x的反函数是1( )1yfx，而不是1(1)yfx. 3.单调性和奇偶性(1) 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同. 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数 . 注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关
4、于原点对称. 确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -对于偶函数而言有：()( )(|)fxfxfx. （2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f. 即0( )f x的定义域时，(0)0f是( )f x为奇函数的必要非充分条件. （3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法( 图像法 ) 、特殊值法等等. （4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件. 4.
5、对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）(1) 函数xfy与函数xfy的图像关于直线0 x（y轴）对称 . 推广一：如果函数xfy对于一切xR，都有f axf bx成立，那么xfy的图像关于直线2abx（由“x和的一半()()2axbxx确定” ）对称 . 推广二： 函数xafy，yf bx的图像关于直线2bax（由axbx确定）对称 .(2) 函数xfy与函数xfy的图像关于直线0y（x轴）对称 . 推广：函数xfy与函数yAfx的图像关于直线2Ay对称（由“y和的一半( )( )2f xAf xy确定” ） .(3) 函数xfy与函数yfx的图像关于坐标原点中心对称.推广：函数xfy
6、与函数ymfnx的图像关于点(,)2 2n m中心对称 . (4) 函数xfy与函数1yfx的图像关于直线yx对称 . 推广： 曲线( , )0f x y关于直线yxb的对称曲线是(,)0f yb xb；曲线( , )0f x y关于直线yxb的对称曲线是(,)0fybxb. (5) 曲线( ,)0fx y绕原点逆时针旋转90，所得曲线是( ,)0f yx（逆时针横变再交换 ）. 特 别 ：( )yf x绕原点 逆时针旋转90， 得( )xf y，若( )yf x有 反函 数1( )yfx，则得1()yfx. 曲线( , )0f x y绕原点顺时针旋转90，所得曲线是(, )0fy x（顺时针
7、纵变再交换 ）. 特别 ：( )yfx绕原点顺时针旋转90，得()xfy，若( )yf x有反函数1( )yfx，则得1( )yfx. (6) 类比“三角函数图像”得：若( )yf x图像有两条对称轴,()xa xb ab，则( )yf x必是周期函数， 且一周期为2 |Tab. 若( )yf x图像有两个对称中心( ,0),( ,0)()A aB bab，则( )yf x是周期函数，且一周期为2 |Tab. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -如果( )yf x是 R 上的周期函数
8、， 且一个周期为T，那么()( )()f xnTf xnZ.特别 ：若()( )(0)f xaf x a恒成立，则2Ta. 若1()(0)( )f xaaf x恒成立，则2Ta.若1()(0)( )f xaaf x恒成立，则2Ta. 如果( )yf x是周期函数，那么( )yf x的定义域“无界”. 5.图像变换(1) 函数图像的 平移和伸缩变换应注意哪些问题？函数( )yf x的图像按向量( , )ak h平移 后，得函数()yhf xk 的图像 . (2) 函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换. (3) 图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数
9、、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“耐克函数0kyxkx”及渐顺函数0kyxkx等）相互转化. 注意：形如2yaxbxc的函数，不一定是二次函数. 应特别重视“二次三项式”、 “二次方程” 、 “二次函数” 、 “二次曲线”之间的特别联系. 形如(0,)axbycadbccxd的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线dxc( 由分母为零确定) 、直线ayc( 由分子、分母中x的系数确定 ) ，双曲线的中心是点(,)d ac c. 三、数列1.数列的通项 、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：11,(1),(2)nnnSnaSSn( 必要时
10、请分类讨论) . 注意：112211()()()nnnnnaaaaaaaa；121121nnnnnaaaaaaaa. 2.等差数列na中：（ 1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性. （ 2）1(1)naand()manm d；pqmnpqmnaaaa. (3)1(1)nkma、nka也成等差数列. (4)两等差数列对应项和( 差 ) 组成的新数列仍成等差数列 . (5)1211,mkkkmaaaaaa仍成等差数列. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -（ 6）1()2nnn aa
11、S，1(1)2nn nSnad，21()22nddSnan，2121nnSan，( )(21)nnnnAaf nfnBb. (7),()0pqpqaq ap pqa；,()()pqpqSq Sp pqSpq；m nmnSSSmnd. (8) “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和； (9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定. 若总项数为偶数，则“偶数项和”“奇数项和”总项数的一半与其公差的积 ；若总项数为奇数，则“奇数项和”“偶数项和”此数列的中项. （ 10）两数
12、的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解. (11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法 (也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式). 3.等比数列na中：（ 1）等比数列的符号特征 (全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性 . （ 1）11nnaa qnmma q；pqmnpqmnbbbb. (3)|na、1(1)nkma、nka成等比数列； nnab、成等比数列nna b成等比数列 . (4) 两等比数列对应项积( 商) 组成的新数列仍成等比数列. (5)1211,mkkkmaa
13、aaaa成等比数列 . （ 6）111111 (1) (1)(1) (1) (1)1111nnnnnaqnaqSaaaa qaqqqqqqqq. 特别：123221()()nnnnnnnabab aabababb. (7) mnm nmnnmSSq SSq S. (8) “首大于 1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1 的项的积； “首小于1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有小于或等于1 的项的积； (9)并非任何两数总有等比中项. 仅当实数,a b同号时，实数,a b存在等比中项. 对同号两实数,a b的等比中项不仅存在，而且有一对Gab . 也就是说，
14、两实数要么没有等比中项 ( 非同号时 ) ，如果有， 必有一对 ( 同号时 ) .在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解. (11)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式). 4. 等差数列与等比数列的联系(1)如果数列na成等差数列，那么数列naA(naA总有意义 )必成等比数列 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -(2)如果数列na成等比数列，那么数列log|(0,1)an
15、aaa必成等差数列 . (3)如果数列na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列；但数列na是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件. (4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列. 5.数列求和的常用方法：A.P 或 G.P，A.P 加 G.P，A.P 乘 G.P，拆项相消法四种。6. 由 A.P 或 G.P
16、 求na，由nS求na，由nn 1F(S ,S)0求na，由nnF(a ,S )0求na，由n 1napaq求na，叠加（乘）法。7.证明 A.P（或 G.P）利用定义，即证明n 1naad（或n 1naqa） 。有时也可以利用中项公式。四、三角函数1.终边与终边相同 (的终边在终边所在射线上)2()kkZ. 终边与终边共线 (的终边在终边所在直线上). 终边与终边关于x轴对称2()kkZ. 终边与终边关于y轴对称2()kkZ. 终边与终边关于原点对称2()kkZ. 一般地：终边与终边关于角的终边对称22()kkZ. 与2的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定. 2. 弧长公式：|lR，扇形面积公式：211|22SlRR，1 弧度 (1rad)57.3. 3. 三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正. 注意：6262sin15cos75,sin 75cos1544，tan15cot7523,tan75cot1523，51sin184.4. 三角函数线的特征是：正弦线“站在x轴上 ( 起点在x轴上 ) ” 、余弦线“躺在x轴上( 起点是原点 ) ” 、正切线 “站
