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1、优秀学习资料欢迎下载 7. 直线和圆的方程知识要点一、直线方程 . 1. 直线的倾斜角： 一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800. 注：当90或12xx时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0 ,(ba，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0, 0(,baba时，
2、直线方程是：1byax. 注：若232xy是一直线的方程，则这条直线的方程是232xy，但若)0(232xxy则不是这条线 . 附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时， 对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时， 它们表示过定点 （0，b）的直线束 .当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. 两条直线平行：1l212kkl两条直线平行的条件是：1l和2l是两条不重合的直线. 在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的 . 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“ 前提 ” 都会导致结论的错误. （一般的结论是： 对于两条
3、直线21,ll，它们在y轴上的纵截距是21,bb，则1l212kkl，且21bb或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不充分条件，且21CC）推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l212l. 两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在. 0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在. （即01221BABA是垂直的充要条件）4. 直线的交角：直线1l到2l的角（方向角） ；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它
4、的范围是), 0(，当90时21121tankkkk. 两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则有21121tankkkk. 5. 过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内）6. 点到直线的距离：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载 点
5、 到 直 线 的 距 离 公 式 ： 设 点),(00yxP， 直 线PCByAxl,0:到l的 距 离 为d， 则 有2200BACByAxd. 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d，则有2221BACCd. 7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对
6、称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 注：曲线、 直线关于一直线 （bxy）对称的解法： y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x 2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点 (a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程 . 1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲
7、线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系，曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0 ，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程222)()(bbyax),(),(,bababr或圆心与y轴相切
8、的圆方程222)()(abyax),(),(,babaar或圆心与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax),(,aaar圆心3. 圆的一般方程：022FEyDxyx. 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载当0422FED时，方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数） . 方程022FEyDxCyB
9、xyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED. 圆的直径或方程：已知0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA（用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC. M在圆C内22020)()(rbyaxM在圆C上22020)()rbyax（M在圆C外22020)()(rbyax5. 直线和圆的位置关系：设圆圆C：)0()()(222rrbyax；直线l：)0(022BACByAx；圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad. rd时，l与C相切；附：若两圆相切，则002222211122FyExDyxF
10、yExDyx相减为公切线方程. rd时，l与C相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD. rd时，l与C相离 .附：若两圆相离，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程. 由代数特征判断：方程组0)()(222CBxAxrbyax用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为，则：l0与C相切；l0与C相交；l0与C相离 . 注：若两圆为同心圆则011122FyExDyx，022222FyExDyx相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程：圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy2
11、1过圆022FEyDxyx0:0:222222111221FyExDyxCFyExDyxC精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx. 一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x a)(x0a)+(y b)(y0b)=R2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx. 若点 (x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程 . 7. 求切点弦方程： 方法是构造图， 则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆 . 已知O的方程022FEyDxyx 又以 ABCD 为圆为方程为2)()(kbxyyaxxxAA4)()(222byaxRAA，所以 BC 的方程即代，相切即为所求. ABCD(a,b)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -
