《【教学设计】高中数学数学必修5《等比数列的前n项和公式》教学设计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【教学设计】高中数学数学必修5《等比数列的前n项和公式》教学设计（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等比数列的前n 项和教学设计（第一课时）普通高中课程标准实验教科书数学必修5 一、教学目标1知识目标 ：理解等比数列前n 项和公式的推导方法，掌握等比数列前n 项和公式及应用。这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求2能力目标 ：培养学生观察问题、思考问题能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力 , 锻炼数学思维能力，提高学生运算求解、数据处理的能力。3情感目标 ：通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称
2、美、形式的简洁美和数学的严谨美。二、教学重点、难点分析教学重点： 等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础， 具有承上启下的作用； 就知识特点而言， 蕴涵丰富的思想方法； 就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。教学难点： 等比数列前n项和公式推导方法的理解。从学生认知发展水平看，探究能力和用数学语言交流的能力有待提高。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可比性低，无法进行类比推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的，何况错位相减法是初次
3、接触，对学生来说是很新鲜的，因此，教师在发挥学生主体性前提下要给予适当的提示和指导。三、教学方法数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现学生的主动地位，遵循学生的认知规律，教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、公式应用阶段。探索与发现公式推导的方法是本节课的教学难点。如果直接介绍“错位相减法”求和，对于学生无疑就魔术师手中的魔术一般神奇。所以在教学中采用 “启发探究” 的教学模式以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得推导公式的方法。公式应用是教学的一个重点。 为了让学生较熟练掌握公式， 可采用变式设计题组 的教学手段，
4、通过“ 选择公式”，“变式的应用公式”两个层次来促进学生新的认知结构的形成。根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度， 在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学。四、教学过程精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -教学环节教学过程设计意图教学内容教师学生活动问题情境，引入课题一名高中学生想到私人工厂打暑期工 , 老板说“你是一名高中生，那我给你一个工资方案：我每天付你10000 元薪水。但从工作的第一天开始，第一天你必须给我创造1 分钱的财富，第二天创造 2分
5、钱的财富， 第三天创造4分钱的财富，依此类推，每天创造的财富为前一天的2 倍。你愿意为我工作1 个月（30 天）吗？”学生听了老板的方案后显得很高兴，感觉很划算，但又一想天底下有这么好的事吗？假如你是这名学生你会答应老板的方案吗？运用多媒体课件，动画等展示故事情境，展示结束后引导、启发学生分析、思考问题通过故事，感受身边的数学问题，产生解决问题的兴趣并通过自己掌握的知识和经验，建立起两个数列的数学模型学生每天得到的工资为数列 an是一个每一项为10000 的常数列。学生每天创造的资金为数列bn是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列。以学生身边的事情编拟情景，引起学生的极大兴趣，但这“诱人”的
6、条件到底有没有陷井引起学生的思考， 学生很自然的参与了情境中的角色， 这样可以极大地带动学生的积极性。知识回顾解决问题的问题背景: （1）等比数列的定义（2）等比数列的通项公式（3）数列前n项和nS、1nS、na的递推公式（4）等差数列前n 项和公式的推导过程运用多媒体将问题展现给学生并给于提示，找学生的回答并点评。回答上面的问题：（1）3241231.nnaaaaqaaaa-=， 即1nnaaq-=，Nn, 1n（2）11nnaa q-=（3）：1-n211nn21na.aaSa.aaSN)n, 1n(aS-Sn1-nn（4）121.nnnSbbbb-=+；121.nnnSbbbb-=+两个
7、等式相加得1()2nnn bbS+=即1(1)2nn ndSnb-=+。思想： 消去差异，化繁为简，即“多少”。（1） 等比数列中的每一项乘以公比q，就得到与之相邻的后面一项。如果数列中的所有各项都同时乘以 q， 每项就向后移了一位。（2） 等比数列中每一项都可以用首项1a和公比q表示。（3） 这个等量关系式中已经出现了我们要求的未知元 Sn，让学生从中得到启发。（4）通过等差数列的求和思想，帮助学生探索等比数列的求和思想。探究问题方案 1：观察类比猜想可得S1=1 S2=1+2=3 S3=1+2+22=7 S4=1+2+22+23=15 依此类推， S30=230 1 方案 2：提取公比 2
8、，解方程求S30 29323022221S)2221(212823030221S303021)21(S让学生自己探究 bn 1 ，2229 ，的求和方法并对学生引导、启发。然后对学生的方案分析、解读。学生通过观察、尝试、讨论、探究并结合知识的回顾拿出 3 个方案。方案 1：部分学生试图找规律，归纳的结果结果，但不严谨，不会证明。方案 2：基础较好的学生在师生相互交流中思维逐步展开，结合等比数列的定义、nS、1nS、na的递推公式推导出来。方案 3：课前预习的学生仿照教材上的方法进行类比得到 , 但并不知其所以然。方案 3 是学生比较难想到的也是本节课的重点。在推倒中学生主要存在两点疑问：（1）
9、为什么等比数列每一项都乘以公比？通过引言实例的探究解决，使学生感受数学的应用价值， 同时也为下面的学习作好铺垫，在特殊具体的问题情境中蕴涵着一般的规律和方法，激励学生模仿创新，作好认知准备。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -123030S方案 3：bn1，2，22，23， 229，2bn2 ，22，23， 229，230，S30=1+2+22+23+,+2292S30= 2+22+23+24+, +230 S30-2S30=1-230（2）为什么两个和式做差？分析 : 疑问 (1)
10、由等比数列的定义，在bn 1 ，2，22，23， 229 ，的每一项乘以公比2，就变成了后一项，所以我们可以建立一个新的数列2bn2 ，22，23， 229， 230，会发现 2bn 和bn 的项发生了一个错位，那么bn 这的和S30=1+2+22+23+,+229和2bn 的和 2S30= 2+22+23+24+,+230的项也行成错位，所以乘以2 就为了形成错位. 疑问 (2) 由等差数列前n项和公式的推导思想消去差异化繁为简，所以上边两式只能做差才能消去中间差异. 得到 -S30为两项的差 . 解答两个疑问 ,难点突破，强调形成错位、两式作差是关键，就把这种方法叫错位相减法。归纳类比,推
11、导公式一般化，等比数列前n 项和怎么求?121nnnaaaaS错位相减法：11212111nnnqaqaqaqaaS23111111= nnnqSa qa qa qa qa q于是（ 1q）Sn=nnqaaS111当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1anq1q当 q=1 时, Sn=na1。让学生类比以上做法推导等比数列an前n项和Sn在教师指导下，从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，自己探究公式, 基本能用错位相减法推导出结果，但不完善， 在此设置两个探讨. 1、 由1n1naqaS)q1 (能否直接得到q1aqaS1n1n? 2、结合等比数列的通项公式an=a1qn-1, 如何把
12、 sn用 a1、an、q 表示出来？在教师的指导下， 让学生从特殊到一般， 从已知到未知，步步深入，让学生探究公式，体验学习的成就感学生很容易在公式整理的时候忽视了1-q为 0 的情况 , 在这里引导学生对q 进行分类讨论，培养了学生的分类思想情景解答1073741823123030S(分) 1073(万元 )万元远大于30 万元有助于学生积极思考并从中从中体会数学在实际生活中的广泛应用把引入课题时的悬念给予解释，从计算结果中让学生明确实际问题的解决离不开数学，在市场经济中必须有敏锐的数学头脑应用公式，深化理解例 1已知na是等比数列，请完成下表：题号1aqn naSn(1) 21218 (2
13、) 2 328 (3) -2 -96 -63 变式：.,192,2,6,.11nnnnSnaaqaa项和前求中等比数列nqsaann和求.314,512,1.21.,214,23.3133aSaan求中，已知等比数列例 2、求数列)0(132aaaaan的前 n项和。适时适当点拨提示，引导学生分析， 启发学生思维，师生合作交流，用变式设计题组，深化学生对公式的认识和理解，并且在不知道公比是否为1 的情况下 , 利用等比数列求和公式求和时一定要对公比进行分类讨论。自主练习， 个别学生板书， 在老师的指导和启发下，训练自己的思维， 强化对知识的应用，感受变式教学对思维的熏陶，达到巩固、 灵活运用知
14、识的目的。例 1 通过表格的形式直观的展现出等比数列求和中出现的五个量, 并且通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点让学生感受到五个量中任意知道三个都可求另外两个 . 例 2 解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想总结1、等比数列前n 项和公式及推导方法：“错位相减法”提问，师生相互交流， 帮助学生整合所学知识。回忆总结所学知识，加深印象。通过师生的共同小结， 发挥学生的主体作精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -归纳2、
15、等比数列前n 项和公式的应用：（1） q 的取值是利用公式的前提；（ 2) 要根据题意，适当选择公式。用， 有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。 进一步完成认知目标和素质目标。课后作业，分层练习必做题：1在 等比数列an 中， Sn=k(21)n，则实数k 的值为（）（A）21（B）1 （C）43（D）任意实数441sq,216,a, 1a2.求已知3等比数列an 的公比q=21，a8=1，求它的前8 项和 S8。331aq,41S,2a4.求已知思考题： 求)0(32112xnxxxSnn以练习纸的方式呈现给学生，让他们课后独立 , 认真的完成。必做题 : 加深学生对公式的
16、理解思考题 : 注意分层教学， 为学有余力的学生提供思考的空间五、板书设计六、教学反思教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究, 展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。 通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性，加深学生对知识的理解。巩固练习层次化。 在理解公式的基础上 , 及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。等比数列前n 项和Sn=a1+a2+, an1+an=？的推导例 1：例 2：投1.学生方案影方案 1: 屏方案 2: 幕方案 3: 变式练习 : 小结 : 2.等比数列求和公式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - -
