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1、1 第一章 集合与简易逻辑集合的概念与运算1.1 集合的有关概念（1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用 。（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法；（4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作；（5）元素a和集合 A之间的关系：aA，或aA；（6）常用数集：自然数集： N ；正整数集：*N或N；整数集： Z；有理数集：Q ；实数集： R。*NNZQR1.2 子集（1）定义： A中的任何元素都属于B，则 A叫 B的子集；记作： AB，注意： AB时， A有两种情况：A与 A（2）
2、性质：AAA,； 若CBBA,， 则CA； 若ABBA,则A=B；1.3 真子集（1）定义： A是 B的子集，且 B中至少有一个元素不属于A；记作：BA；（2）性质：,AA；若,AB BC，则AC；1.4 补集 ：（1）定义：记作：,|AxUxxACU且；（2）性质：AACCUACAACAUUUU）（，；1.5 交集与并集（1）交集：|,且ABxxAxBI性质：AAAA,若BBA，则AB（2）并集：|,或ABxxAxBU性质：AAAAA,若BBA，则BA1.6 集合运算中常用结论（1）德摩根公式：();()UUUUUUCABC AC B CABC AC BIUUI.（2）UUABAABBABC
3、 BC AIUUAC BIUC ABRU（3）含 n个元素的集合的所有子集有n2个精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - -2 2 一元二次不等式的解法2.1一元一次不等式的解法通过去分母、 去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a, 则bxa；若0a, 则bxa；若0a, 则当0b时，xR；当0b时，x。如：已知关于x的 不 等
4、 式0)32()(baxba的 解 集 为)31,(， 则 关 于x的 不 等 式0)2()3(abxba的解集为 _（答：|3x x）2.2二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系: 判别式： =b2-4ac000二次函数)0()(2acbxaxxf的图象一元二次方程)0(02acbxax的根有两相异实数根)(,2121xxxx有两相等实数根abxx221没有实数根一元二次不等式)0(02acbxax的解集,|21xxxxx“”取两边2|abxxR 一元二次不等式)0(02acbxax的解集|21xxxx“”取中间2.4 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程
5、20axbxc的两个根即为二次不等式20(0)axbxc的解集的端点值，也是二次函数2yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。如（ 1） 不等式32xax的解集是(4,)b，则a=_ （答：18） ； （ 2） 若关于x的不等式02cbxax的 解 集 为),(),(nm， 其 中0nm， 则 关 于x的 不 等 式02abxcx的 解 集 为 _ （ 答 ：),1()1,(nm）；（ 3 ） 不 等 式23210 xbx对 1,2x恒成立，则实数b的取值范围是_（答：） 。2.5 常用等价转换x1 x2 x y O x1=x2 x y O x y O 精品学习资料 可选择p d f - -
6、- - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - -3 含参数的不等式ax2b x c0 恒成立问题含参不等式ax2b x c0 的解集是R；其解答分a0( 验证 bxc0 是否恒成立 ) 、a 0（a0 且 0) 的图象是把函数y=f(x) 的图象沿x 轴向左个单位得到的移a；函数 y=f(x+a),(a0) 的图象是把函数y=f(x) 的图象沿y 轴向上平个单位得到的移a；函数 y=f(x
7、)+a,(a0) 的图象是把函数y=f(x) 的图象沿y 轴向下平个单位得到的移 a。（2）对称变换函数)(xfy与函数)( xfy的图象关于直线x=0 对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于直线y=0 对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于坐标原点对称；如果函数y=f(x) 对于一切,Rx都有 f(x+a)=f(a-x) ，那么 y=f(x)的图象关于直线ax对称。如果函数 y=f(x) 对于一切,Rx都有 f(x+a)=f(b-x) ， 那么 y=f(x)的图象关于直线2abx对称。函数)(xafy与函数)(xafy的图象关于直线x=0 对称。函数)(xafy与函数 y=f
8、(b-x) 的图象关于直线x=2ba对称)(xfy)(xfy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 32 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 32 页 - - - - - - - - -7 )(xfy)( xfy)(1xfy与)(xfy关 于直线xy对称。（3）伸缩变换)0(),(axafy的图象，可将)(xfy的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(a或缩短)10(a到原来的a倍。)0(),(aaxfy的图象，可将)(xfy的图象
9、上的每一点的横坐标伸长)10(a或缩短)1(a到原来的a1倍。4、函数的反函数4.1 、求反函数的步骤：求原函数)(xfy，)(Ax的值域 B 把)(xfy看作方程，解出)(yx；x，y 互换的)(xfy的反函数为)(1xfy，)(Bx。4.2 、函数与反函数之间的一个有用的结论：abfbaf)()(1 4.3 、原函数)(xfy在区间,aa上单调递增（减），则一定存在反函数，且反函数)(1xfy也单调递增（减） ；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。5、函数、方程与不等式 5.1 、 “实系数一元二次方程02cbxax有实数解”转化为“042acb” ，你是否注意到必须0a；当a=0 时
10、， “方程有解”不能转化为042acb。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？5.2 、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。设21,xx为方程)0( ,0)(axf的两个实根。若,21mxmx则0)(mf；3120 xyx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 32 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 32 页 - - - - - - - - -8 当在区间),(
11、nm内有且只有一个实根时，当在区间),(nm内有且只有两个实根时，若qxpnxm21时注意：根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。注意端点，验证端点。第三章 基本初等函数（）我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a): 不论 x 为何值 ,y 总为正数 ; b): 当 x=0 时,y=1.考虑端点，验证端点。)2(0)()()1 (nfmf0)(0)(20nfmfnabm0)()(0)()(qfpfnfmf精品学习资料 可选择p d f - - - -
12、- - - - - - - - - - 第 8 页，共 32 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 32 页 - - - - - - - - -9 对数函数a): 其图形总位于y 轴右侧 , 并过(1,0)点b): 当 a1 时, 在区间 (0,1) 的值为负；在区间(- ,+ )的值为正；在定义域内单调增.幂函数a 为任意实数这里只画出部分函数图形的一部分。令 a=m/n a): 当 m为偶数 n 为奇数时 ,y 是偶函数 ; b): 当 m,n 都是奇数时 ,y 是奇函数; c): 当
13、m奇 n 偶时 ,y 在(- ,0)无意义 .精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 32 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 32 页 - - - - - - - - -10 三角函数( 正弦函数 ) 这里只写出了正弦函数a): 正弦函数是以2 为周期的周期函数b): 正弦函数是奇函数且反三角函数( 反正弦函数 )这里只写出了反正弦函数a): 由于此函数为多值函数, 因此我们此函数值限制在- /2, /2 上 , 并称其为反
14、正弦函数的 主值 .初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数 . 有关运算性质1.指数运算：，aaaaapp01010()aaaaaamnmnmnmn(010)，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - -11 2. 对数运算：，logloglogaaaMNMN MN00
15、logloglogloglogaaaanaMNMNMnM，1对数恒等式：axaxlog对数换底公式：logloglogloglogaccanabbabnmbm第四章 基本初等函数（）1、角的换算(1)换算关系 :8157)180(1)(180弧度弧度(2)弧长公式 :rl扇形面积公式:22121rlrS2、特殊角的三角函数值0 03004506009001800270sin0 2122231 0 1cos1 2322210 10 tan0 331 3不存在0 不存在cot不存在31 330 不存在0 3、任意角的三角函数rysin，rxcos，xytan，yxcot，xrsec，yrcsc三角
16、函数值的符号规律：“一全二正弦，三切四余弦”4、诱导公式：“2k，奇变偶不变，符号看象限”k2222正弦sinsinsinsinsincoscos余弦coscoscoscoscossinsin正切tantantantantancotcot余切cotcotcotcotcottantan212( 1) sin,()sin()2( 1)s ,()nnnncon为偶数为奇数，212( 1)s,()s()2( 1)sin,()nnconncon为偶数为奇数5、同角三角函数的基本关系式：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 32 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 32 页 - - - - - - - - -12 平方关系1cossin22；22sectan1；22csccot1商式关系tancossin；cotsincos倒数关系1cottan；1seccos; 1cscsin。记忆方法：上弦，中切，下割，左正，右余，中间
