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1、高中数学竞赛讲义(十四)极限与导数一、基础知识1极限定义:( 1)若数列 un满足,对任意给定的正数,总存在正数 m ,当 nm且 nN时,恒有 |un-A|f(a) 且 f(c)=m ,则 c(a,b) ,且 f(c) 为最大值,故,综上得证。14 Lagrange 中值定理:若 f(x) 在a,b 上连续,在(a,b) 上可导,则存在 (a,b) ,使 证明 令F(x)=f(x)-, 则 F(x) 在a,b 上连续,在(a,b) 上可导, 且 F(a)=F(b) , 所以由 13知存在 (a,b) 使=0,即15曲线凸性的充分条件:设函数f(x) 在开区间 I 内具有二阶导数, (1)如果
2、对任意 xI, 则曲线 y=f(x) 在 I 内是下凸的;精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - -(2)如果对任意 xI, 则 y=f(x) 在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。16琴生不等式:设 1, 2, , nR+,1+2+n=1。(1)若 f(x) 是a,b 上的凸函数,则x1,x2, ,xna,b 有 f(a1x1+a2x2+anxn)? a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn). 二、方法与例题1极限的求法。例 1 求下列极限: (1); (2
3、);(3);(4) 解 (1)=;(2)当 a1 时,当 0a1时,当 a=1 时,(3)因为而所以精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - -(4)例2 求 下 列 极 限 : ( 1 )(1+x)(1+x2)(1+) (1+)(|x|0 且)。 解 (1)3cos(3x+1). (2)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - -(3)(4)(5)5用导数讨论函数的单调性。例 6 设 a
4、0,求函数 f(x)=-ln(x+a)(x(0,+ ) 的单调区间。 解 ,因为x0,a0,所以x2+(2a-4)x+a20;x2+(2a-4)x+a+1 时, 对所有 x0, 有 x2+(2a-4)x+a20, 即(x)0,f(x)在(0,+ )上单调递增;(2)当 a=1 时,对 x1, 有 x2+(2a-4)x+a20,即,所以 f(x) 在(0,1)内单调递增,在( 1,+)内递增,又 f(x) 在 x=1 处连续,因此f(x) 在(0,+ ) 内递增;( 3)当 0a0 , 解 得x2-a+, 因 此 , f(x)在 (0,2-a-) 内 单 调 递 增 , 在(2-a+,+ )内也
5、单调递增,而当2-a-x2-a+时,x2+(2a-4)x+a22x. 证明 设 f(x)=sinx+tanx-2x,则=cosx+sec2x-2 ,当时,(因为 0cosxf(0)=0,即 sinx+tanx2x. 7. 利用导数讨论极值。例 8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求a与 b 的值,并指出这时f(x) 在 x1与 x2处是取得极大值还是极小值。 解 因为 f(x) 在(0,+ )上连续,可导,又f(x) 在 x1=1,x2=2处 取 得 极 值 , 所 以, 又+2bx+1, 所 以解得所以. 所以当 x(0,1) 时,所以 f(x
6、) 在(0,1 上递减;当 x(1,2) 时,所以 f(x) 在1 ,2 上递增;当 x(2,+ )时,所以 f(x) 在2 ,+)上递减。综上可知 f(x) 在 x1=1 处取得极小值,在x2=2处取得极大值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 13 页 - - - - - - - - -例9 设x 0, ,y 0,1, 试 求函 数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 解 首先,当 x0, ,y 0,1 时,f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2
7、x=(1-y)2x,令g(x)=, 当时,因为 cosx0,tanxx ,所以;当时,因为 cosx0,tanx0,所以;又因为 g(x) 在(0, )上连续,所以 g(x) 在(0, )上单调递减。又 因 为0(1-y)xxg(x), 即,又因为, 所以当 x(0, ),y (0,1) 时, f(x,y)0. 其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)? 0. 当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx? 0. 综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=且 y=1 时,f(x,y)取最小值
8、 0。三、基础训练题1=_. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - -2已知,则 a-b=_. 3_. 4_. 5计算_. 6 若 f(x) 是定义在 (- ,+)上的偶函数,且存在,则_. 7 函 数f(x)在 (- ,+ ) 上 可 导 , 且, 则_. 8若曲线 f(x)=x4-x 在点 P处的切线平行于直线3x-y=0 ,则点 P坐标为 _. 9函数 f(x)=x-2sinx的单调递增区间是 _. 10函数的导数为 _. 11若曲线在点处的切线的斜率为,求实数a. 12. 求 s
9、in290的近似值。13设 0ba0 时,比较大小: ln(x+1) _x. 9. 函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x -1,2的最大值为 _, 最小值为_. 10曲线 y=e-x(x ? 0) 在点 M(t,e-t) 处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S(t) ,则 S(t) 的最大值为 _. 11若 x0,求证: (x2-1)lnx ? (x-1)2. 12函数y=f(x) 在区间 (0,+ )内可导。导函数是减函数,且0,x0(0,+ ).y=kx+m 是曲线 y=f(x) 在点(x0,f(x0) 处的切线方程,另设g(x)=kx+m,(1)用 x0,f(x0
10、),表示 m ;(2)证明:当 x(0,+ ) 时,g(x) ? f(x) ;(3)若关于 x 的不等式 x2+1?精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - -ax+b?在(0,+ )上恒成立,其中a,b 为实数,求 b 的取值范围及 a,b 所满足的关系。13. 设各项为正的无穷数列 xn 满足 lnxn+, 证明: xn? 1(nN+). 五、联赛一试水平训练题1设Mn= (十进制) n 位纯小数0?只取0 或 1(i=1,2, ,n-1 ),an=1,Tn是 Mn中元素的个数, Sn
11、是 Mn中所有元素的和,则_. 2若 (1-2x)9展开式的第3 项为288,则_. 3 设 f(x),g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数, 当 x0 时,且 g(-3)=0 ,则不等式 f(x)g(x)0) ,若对任意xln(3a),ln(4a),不等 式|m-f-1(x)|+ln0恒 成 立 ,则 实 数 m 取 值 范围 是_. 9. 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x) 的最大值;( 2)设 0ab,证明: 0g(a)+g(b)-(b-a)ln2. 10.(1) 设函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0 x
12、1),求 f(x) 的最小值;( 2)设正数p1,p2, ,满足 p1+p2+p3+=1,求证:p1log2p1+p2 log2p2+log2? -n. 11. 若函数 gA(x) 的定义域 A=a,b) ,且 gA(x)=, 其中 a,b 为任意的正实数,且ab,(1)求 gA(x) 的最小值;(2)讨论 gA(x) 的单调性;(3)若x1Ik=k2,(k+1)2,x2Ik+1=(k+1)2,(k+2)2 ,证明:六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式:( 1);(2)。2当 01. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 13 页 - - - - - - - - -