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1、高中数学竞赛讲义（十四）极限与导数一、基础知识1极限定义：（ 1）若数列 un满足，对任意给定的正数，总存在正数 m ，当 nm且 nN时，恒有 |un-A|f(a) 且 f(c)=m ，则 c(a,b) ，且 f(c) 为最大值，故，综上得证。14 Lagrange 中值定理：若 f(x) 在a,b 上连续，在(a,b) 上可导，则存在 (a,b) ，使 证明 令F(x)=f(x)-, 则 F(x) 在a,b 上连续，在(a,b) 上可导， 且 F(a)=F(b) ， 所以由 13知存在 (a,b) 使=0，即15曲线凸性的充分条件：设函数f(x) 在开区间 I 内具有二阶导数， （1）如果
2、对任意 xI, 则曲线 y=f(x) 在 I 内是下凸的；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -（2）如果对任意 xI, 则 y=f(x) 在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设 1, 2, , nR+，1+2+n=1。（1）若 f(x) 是a,b 上的凸函数，则x1,x2, ,xna,b 有 f(a1x1+a2x2+anxn)? a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn). 二、方法与例题1极限的求法。例 1 求下列极限： （1）； （2
3、）；（3）；（4） 解 （1）=；（2）当 a1 时，当 0a1时，当 a=1 时，（3）因为而所以精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -（4）例2 求 下 列 极 限 ： （ 1 ）(1+x)(1+x2)(1+) (1+)(|x|0 且)。 解 （1）3cos(3x+1). (2)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -（3）（4）（5）5用导数讨论函数的单调性。例 6 设 a
4、0，求函数 f(x)=-ln(x+a)(x(0,+ ) 的单调区间。 解 ，因为x0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+1 时， 对所有 x0， 有 x2+(2a-4)x+a20， 即(x)0,f(x)在(0,+ )上单调递增；（2）当 a=1 时，对 x1, 有 x2+(2a-4)x+a20，即，所以 f(x) 在（0，1）内单调递增，在（ 1，+）内递增，又 f(x) 在 x=1 处连续，因此f(x) 在(0,+ ) 内递增；（ 3）当 0a0 ， 解 得x2-a+， 因 此 ， f(x)在 (0,2-a-) 内 单 调 递 增 ， 在(2-a+,+ )内也
5、单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+(2a-4)x+a22x. 证明 设 f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2 ，当时，（因为 0cosxf(0)=0，即 sinx+tanx2x. 7. 利用导数讨论极值。例 8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值，试求a与 b 的值，并指出这时f(x) 在 x1与 x2处是取得极大值还是极小值。 解 因为 f(x) 在(0,+ )上连续，可导，又f(x) 在 x1=1，x2=2处 取 得 极 值 ， 所 以， 又+2bx+1， 所 以解得所以. 所以当 x(0,1) 时，所以 f(x
6、) 在(0,1 上递减；当 x(1,2) 时，所以 f(x) 在1 ，2 上递增；当 x(2,+ )时，所以 f(x) 在2 ，+）上递减。综上可知 f(x) 在 x1=1 处取得极小值，在x2=2处取得极大值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -例9 设x 0, ,y 0,1， 试 求函 数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 解 首先，当 x0, ,y 0,1 时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2
7、x=(1-y)2x，令g(x)=, 当时，因为 cosx0,tanxx ，所以；当时，因为 cosx0,tanx0，所以；又因为 g(x) 在(0, )上连续，所以 g(x) 在(0, )上单调递减。又 因 为0(1-y)xxg(x)， 即，又因为， 所以当 x(0, ),y (0,1) 时， f(x,y)0. 其次，当 x=0 时，f(x,y)=0；当 x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)? 0. 当 y=1 时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当 y=1 时，f(x,y)=sinx? 0. 综上，当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=且 y=1 时，f(x,y)取最小值
8、 0。三、基础训练题1=_. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -2已知，则 a-b=_. 3_. 4_. 5计算_. 6 若 f(x) 是定义在 (- ,+)上的偶函数，且存在，则_. 7 函 数f(x)在 (- ,+ ) 上 可 导 ， 且， 则_. 8若曲线 f(x)=x4-x 在点 P处的切线平行于直线3x-y=0 ，则点 P坐标为 _. 9函数 f(x)=x-2sinx的单调递增区间是 _. 10函数的导数为 _. 11若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a. 12. 求 s
9、in290的近似值。13设 0ba0 时，比较大小： ln(x+1) _x. 9. 函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x -1,2的最大值为 _， 最小值为_. 10曲线 y=e-x(x ? 0) 在点 M(t,e-t) 处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S(t) ，则 S(t) 的最大值为 _. 11若 x0，求证： (x2-1)lnx ? (x-1)2. 12函数y=f(x) 在区间 (0,+ )内可导。导函数是减函数，且0，x0(0,+ ).y=kx+m 是曲线 y=f(x) 在点(x0,f(x0) 处的切线方程，另设g(x)=kx+m，（1）用 x0,f(x0
10、),表示 m ；（2）证明：当 x(0,+ ) 时，g(x) ? f(x) ；（3）若关于 x 的不等式 x2+1?精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -ax+b?在(0,+ )上恒成立，其中a,b 为实数，求 b 的取值范围及 a,b 所满足的关系。13. 设各项为正的无穷数列 xn 满足 lnxn+, 证明： xn? 1(nN+). 五、联赛一试水平训练题1设Mn= （十进制） n 位纯小数0?只取0 或 1（i=1,2, ,n-1 ），an=1，Tn是 Mn中元素的个数， Sn
11、是 Mn中所有元素的和，则_. 2若 (1-2x)9展开式的第3 项为288，则_. 3 设 f(x),g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数， 当 x0 时，且 g(-3)=0 ，则不等式 f(x)g(x)0) ，若对任意xln(3a),ln(4a)，不等 式|m-f-1(x)|+ln0恒 成 立 ，则 实 数 m 取 值 范围 是_. 9. 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函数 f(x) 的最大值；（ 2）设 0ab，证明： 0g(a)+g(b)-(b-a)ln2. 10.(1) 设函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0 x
12、1)，求 f(x) 的最小值；（ 2）设正数p1,p2, ,满足 p1+p2+p3+=1，求证：p1log2p1+p2 log2p2+log2? -n. 11. 若函数 gA(x) 的定义域 A=a,b) ，且 gA(x)=, 其中 a,b 为任意的正实数，且ab，（1）求 gA(x) 的最小值；（2）讨论 gA(x) 的单调性；（3）若x1Ik=k2,(k+1)2,x2Ik+1=(k+1)2,(k+2)2 ，证明：六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式：（ 1）；（2）。2当 01. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -
