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1、优秀学习资料欢迎下载第一章集合集合及其运算一集合的概念、二分类：三集合元素的特征：三表示方法： 列举法 描述法 图示法四两种关系：从属关系：对象、集合；包含关系：五三种运算：交集：并集：补集：六运算性质：AA， A 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 若BA，则 ABA， ABB 简易逻辑一逻辑联结词：1命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题2逻辑联结词有“或”、“且”、“非”3不含有逻辑联结词的命题， 叫做简单命题， 由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题4真值表：p q 非 p p 且 q P或 q 精品学习资料 可选择p d
2、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载真真假真真真假假真假真真假真假假假假二四种命题：1原命题：若p则 q逆命题：若 P则 q，即交换原命题的条件和结论；否命题：若 q 则 p，即同时否定原命题的条件和结论；逆否命题：若 P则q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定2四个命题的关系： 原命题为真，它的逆命题不一定为真； 原命题为真，它的否命题不一定为真； 原命题为真，它的逆否命题一定为真三充分条件与必要条件1“若 p则 q”是真命题，记做pq ，“若 p则 q”为假命题，记做pq?，2若
3、pq ，则称 p 是 q的充分条件， q是 p 的必要条件3若 pq ，且 pq?，则称 p 是 q的充分非必要条件；若 pq?，且 pq ，则称 p 是 q的必要非充分条件；若 pq ，且 pq ，则称 p是 q 的充要条件；若 pq?，且 pq?，则称 p是 q的既不充分也不必要条件4若 p的充分条件是 q，则 qp ；若 p的必要条件是 q，则 pq 第二章函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载指数与对数运算一分数指数幂与根式：如果nxa，则称x是a的n次
4、方根， 0的n次方根为 0，若0a，则当n为奇数时，a的n次方根有 1 个，记做na；当n为偶数时，负数没有n次方根，正数a的n次方根有 2 个，其中正的n次方根记做na 负的n次方根记做na1负数没有偶次方根；2两个关系式：()nnaa；|nnanaan为奇数为偶数3、正数的正分数指数幂的意义：mnmnaa；正数的负分数指数幂的意义：1mnnmaa4、分数指数幂的运算性质：mnm naaa；mnm naaa；()mnmnaa；()mmma bab；01a，其中 m、 n均为有理数，a，b 均为正整数二对数及其运算1定义：若baN (0a，且1a，0)N，则logabN2两个对数： 常用对数：
5、10a，10loglgbNN； 自然对数：2.71828ae，loglnebNN3三条性质： 1 的对数是 0，即log 10a； 底数的对数是 1，即log1aa； 负数和零没有对数4四条运算法则：log ()loglogaaaMNMN；logloglogaaaMMNN；loglognaaMnM；1loglognaaMMn5其他运算性质： 对数恒等式：logabab；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载 换底公式：logloglogcacabb；logloglo
6、gababcc；loglog1abba；loglogmnaanbbm函数的概念一映射：设 A、B 两个集合，如果按照某中对应法则f，对于集合 A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射二函数：在某种变化过程中的两个变量x、 y ，对于x在某个范围内的每一个确定的值， 按照某个对应法则， y都有唯一确定的值和它对应， 则称 y 是x的函数，记做( )yf x，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定义域，和x对应的 y 的值叫做函数值，函数值y 的变化范围叫做函数的值域三函数( )yfx是由非空数集 A到非空数集 B 的映射四函
7、数的三要素：函数的解析式一根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知xxxf2)1(，求函数)(xf的解析式二已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知( )f x是一次函数，且( )43ff xx，函数)(xf的解析式三由函数)(xf的图像受制约的条件，进而求)(xf的解析式函数的定义域一根据给出函数的解析式求定义域： 整式： xR 分式：分母不等于0 偶次根式：被开方数大于或等于0 含 0 次幂、负指数幂：底数不等于0 对数：底数大于 0，且不等于 1，真数大于 0 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 26 页
8、 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载二根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知( )yfx定义域为5, 2，求(32)yfx定义域；已知(32)yfx定义域为5 ,2，求( )yf x定义域；三实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域函数的值域一基本函数的值域问题：名称解析式值域一次函数ykxbR二次函数2yaxbxc0a时，24,)4acba0a时，24(,4acba反比例函数kyx|yyR，且0y指数函数xya|0y y对数函数logayxR三角函数sinyxcosyx| 11 yytanyxR函数的奇偶性：一定义：对于函数( )f x定义域中的任意一个x，如果
9、满足()( )fxf x，则称函数( )f x为奇函数；如果满足()( )fxf x，则称函数( )f x为偶函数二判断函数( )f x奇偶性的步骤：1判断函数( )fx的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2验证( )f x与()fx的关系，若满足()( )fxf x，则为奇函数，若满足()( )fxf x，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数二奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称五若奇函数( )f x的定义域包含 0 ，则(0)0f精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 -
10、 - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载函数的周期性：一定义：对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()( )f xTf x，则)(xf为周期函数， T 为这个函数的一个周期2如果函数)(xf所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期如果函数( )f x的最小正周期为 T ，则函数()f ax的最小正周期为|Ta函数的单调性一定义：一般的，对于给定区间上的函数( )f x，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值1x，2x，当12xx时满足：12()()f xf x，则称函数( )f x在该区间上是增函数；1
11、2()()f xf x，则称函数( )f x在该区间上是减函数二判断函数单调性的常用方法：1定义法： 取值； 作差、变形； 判断： 定论：4奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同第三章数列数列的基本概念一数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项二如果数列na中的第n项na与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式三数列的分类：按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -
12、 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载按项数可分为有穷数列和无穷数列四数列的前n项和：1231nnnSaaaaanS与na的关系：1112nnnSnaSSn五如果已知数列na的第 1 项(或前几项 )，且任一项na与它的前一项1na(或前几项 )间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法如：在数列na中，11a，1112nnaa，其中1112nnaa即为数列na的递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列的前几项推断出数列na的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数学归纳
13、法进行证明如上述数列na，根据递推公式可以得到：232a，374a，4158a，53116a，进一步可猜测1212nnna等差数列一定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列 ， 这个常数叫做等差数列的公差， 通常用字母 d表示二通项公式：若已知1a、 d ，则1(1)naand；若已知ma、 d ，则()nmaanm d三前 n项和公式：若已知1a，na，则12nnaaSn；若已知1a、d ，则1(1)2nn nSnad注： 前n项和公式nS的推导使用的是倒序相加法的方法 在数列na中，通项公式na，前n项和公式nS均是关于项数n的函数，在等
14、差数列na通项公式na是关于n的一次函数关系，前n项和公式nS是关于n的没有常数项的二次函数关系 在等差数列中包含1a、 d 、n、na、nS这五个基本量，上述的公式中均含有 4 基本量， 因此在数列运算中， 只需知道其中任意3 个，可以求精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载出其余基本量四如果a、 b、c成等差数列，则称 b 为a与c的等差中项，且2acb五证明数列na是等差数列的方法：1利用定义证明：1nnaad (2)n2利用等差中项证明：2acb3利用通项公
15、式证明：naanb4利用前n项和公式证明：2nSanbn六性质：在等差数列na中，1若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，即：若若2mnk，则2mnkaaa2若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等，即：若mnkl，则mnklaaaa3依次相邻每 k 项的和仍成等差数列，即：kS，2kkSS，32kkSS成等差数列4na，1na，2na，2a，1a仍成等差数列，其公差为d 三等比数列一定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列就叫做 等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母 q(0)q表示二通项公式：若已知1a、q，则
16、na11na q；若已知ma、q，则nan mma q三前 n项和公式：当公比1q时，1nSna当公比1q时，若已知1a、na、 q，则nS11naa qq若已知1a、q、n，则1(1)1nnaqSq注： 等比数列前n项和公式nS的推导使用的是错位相减的方法精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载 在等比数列中包含1a、q、n、na、nS这五个基本量，上述的公式中均含有 4 基本量，因此在数列运算中， 只需知道其中任意3 个，可以求出其余基本量四若a、b 、c成等比数列，则称 b 为a与c的等比中项，且a、 b 、c满足关系式bac五证明数列na是等比数列的方法：1利用定义证明：1nnaqa(2)n2利用等比中项证明：2bac3利用通项公式证明：nnaaq六性质：在等比数列na中，1若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列，即：若2mnk，则2mnkaaa2若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等，即：若mnkl，则mnklaaaa3若数
