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1、学习必备欢迎下载三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知 D 为 ABC 内任一点，求证：BDC BAC 证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E， BDC 是 EDC 的外角， BDC DEC 同理： DEC BAC BDC BAC 证法（二）：连结 AD ，并延长交BC 于 F BDF 是 ABD 的外角， BDF BAD 同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即： BDC BAC 2.
2、有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线且 1 = 2， 3 = 4，求证： BECFEF 证明：在 DA 上截取 DN = DB ，连结 NE、NF，则 DN = DC 在 BDE 和 NDE 中，DN = DB 1 = 2 ED = ED BDE NDE BE = NE 同理可证： CF = NF 在 EFN 中， ENFNEF BECFEF 3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线，且1 = 2， 3 = 4，求证： BECFEF 证明：延长ED 到 M，使 DM
3、= DE ，连结 CM 、FM BDE 和 CDM 中，BD = CD 1 = 5 ED = MD BDE CDM CM = BE 又 1 = 2， 3 = 4 1 2 3 4 = 180oFABCDEDCBA4321NFEDCBA精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 3 2 = 90o即 EDF = 90o FDM = EDF = 90oEDF 和 MDF 中ED = MD FDM = EDF DF = DF EDF MDF EF = MF 在 CMF 中， CFC
4、M MF BECFEF （此题也可加倍FD，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线，求证：AB AC 2AD 证明：延长AD 至 E，使 DE = AD ，连结 BE AD 为 ABC 的中线BD = CD 在 ACD 和 EBD 中BD = CD 1 = 2 AD = ED ACD EBD ABE 中有 ABBEAE AB AC 2AD 5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d 有下列情
5、况之一时用此种方法：aba b = ca b = c d例：已知，如图，在ABC 中， ABAC ， 1 = 2，P 为 AD 上任一点，求证： AB AC PBPC 证明： 截长法： 在 AB 上截取 AN = AC ，连结 PN 在 APN 和 APC 中，AN = AC 1 = 2 AP = AP APN APC PC = PN BPN 中有 PBPCBN MABCDEF1234512EDCBAP12NDCBA精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载PBPCAB A
6、C 补短法： 延长 AC 至 M，使 AM = AB ，连结 PM 在 ABP 和 AMP 中AB = AM 1 = 2 AP = AP ABP AMP PB = PM 又在 PCM 中有 CM PMPC AB AC PBPC 练习 ：1.已知，在 ABC 中， B = 60o,AD 、CE 是 ABC 的角平分线 ,并且它们交于点O 求证： AC = AE CD 2.已知，如图， AB CD1 = 2 ,3 = 4. 求证： BC = AB CD 6.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代
7、换，再证它们所在的三角形全等. 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知， BE、CD 相交于 F， B = C， 1 = 2，求证： DF = EF 证明： ADF = B 3 AEF = C 4 又 3 = 4 B = C ADF = AEF 在 ADF 和 AEF 中 ADF = AEF 1 = 2 AF = AF ADF AEF DF = EF 7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知， 如图 RtABC 中，AB = AC ，BAC = 90o，过 A 作任一条直线AN ，作 BD AN于 D，CE AN
8、 于 E，求证： DE = BD CE 证明： BAC = 90o, BD AN 1 2 = 90o1 3 = 90o 2 = 3 BD AN CEAN BDA = AEC = 90o 在 ABD 和 CAE 中，BDA = AEC ABCD21PM4321FEDCBA321NEDCBA4321EDCBA精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2 = 3 AB = AC ABD CAE BD = AE 且 AD = CE AEAD = BD CE DE = BD CE 8
9、.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例： AD 为 ABC 的中线，且CFAD 于 F，BEAD 的延长线于E 求证： BE = CF 证明： （略）9.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知 AC = BD ，AD AC 于 A，BCBD 于 B 求证： AD = BC 证明：分别延长DA 、CB 交于点 E AD AC BC BD CAE = DBE = 90o 在 DBE 和 CAE 中DBE = CAE BD = AC E =E DBE CAE ED = EC ， EB = EA EDEA = EC EB AD = BC 10.连接四边形的对角线，把四边形问题转
10、化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，ABCD，AD BC 求证： AB = CD 证明：连结AC（或 BD）AB CD，AD BC 1 = 2 在 ABC 和 CDA 中，1 = 2 AC = CA 3 = 4 ABC CDA AB = CD 练习 ：已知，如图，AB = DC ，AD = BC ，DE = BF ，21DCBAFEOEDCBA4321DCBAEFDCBA精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载求证： BE = DF 11.有和角平分线垂直的线段时，通
11、常把这条线段延长。可归结为“ 角分垂等腰归”.例：已知，如图，在RtABC 中， AB = AC ， BAC = 90o， 1 = 2 ，CEBD 的延长线于 E 求证： BD = 2CE 证明：分别延长BA、 CE 交于 F BECF BEF = BEC = 90o在 BEF 和 BEC 中1 = 2 BE = BE BEF =BEC BEF BEC CE = FE =12CF BAC = 90o , BECF BAC = CAF = 90o1 BDA = 90o1 BFC = 90oBDA = BFC 在 ABD 和 ACF 中BAC = CAF BDA = BFC AB = AC ABD
12、 ACF BD = CF BD = 2CE 练习：已知，如图，ACB = 3 B， 1 =2,CDAD 于 D，求证： AB AC = 2CD 12.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC ，AC = BD ，求证： A = D 证明： （连结 BC，过程略）13.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC ， A = D 21EFDCBAOABDC21DCBA精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第
13、 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载求证： ABC = DCB 证明：分别取AD 、 BC 中点 N、M，连结 NB、NM 、NC（过程略）14.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题. 例：已知，如图，1 = 2 ，P 为 BN 上一点，且PDBC 于 D，AB BC = 2BD ，求证： BAP BCP = 180o证明：过 P 作 PEBA 于 E PDBC， 1 = 2 PE = PD 在 RtBPE 和 RtBPD 中BP = BP PE = PD RtBPERtBPD BE = BD AB BC
14、= 2BD ，BC = CD BD ，AB = BE AE AE = CD PEBE，PDBC PEB =PDC = 90o 在 PEA 和 PDC 中PE = PD PEB =PDC AE =CD PEA PDC PCB = EAP BAP EAP = 180o BAP BCP = 180o练习： 1.已知，如图， PA、PC 分别是 ABC 外角 MAC 与 NCA 的平分线，它们交于P，PD BM 于 M，PF BN 于 F，求证： BP 为 MBN 的平分线2. 已知，如图，在 ABC 中， ABC =100o，ACB = 20o，CE 是 ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若C
15、BD = 20o，求 CED 的度数。BADCFMNPBADCEDCBANPEDCBA21精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载15.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC ，BD AC 于 D，求证： BAC = 2 DBC 证明： （方法一）作BAC 的平分线AE，交 BC 于 E，则 1 = 2 = 12BAC 又 AB = AC AEBC 2 ACB = 90o BD AC DBC ACB = 90o 2 =
16、DBC BAC = 2 DBC （方法二）过A 作 AEBC 于 E（过程略）（方法三）取BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中， AB = AC ，D 为 BC 中点， DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证： DE = DF 证明：连结AD. D 为 BC 中点，BD = CD 又 AB =AC AD 平分 BAC DEAB， DFAC DE = DF 将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中， AB = AC ，在 BA 延长线和AC 上各取一点E、F，使 AE = AF，求证： EFBC 证明：延长BE 到 N，使 AN = AB, 连结 CN,则 AB = AN = AC B = ACB, ACN = ANC B ACB ACN ANC = 180o2BCA 2ACN = 180o BCA ACN = 90o即 BCN = 90o NCBC AE = AF AEF = AFE 又 BAC = AEF AFE BAC = ACN ANC BAC =2 AEF = 2 ANC AEF = ANC EF NC 2
