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1、学习必备精品知识点二次根式的知识点汇总知识点一:二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式。例 1下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x(x0) 、0、42、-2、1xy、xy(x0,y?0) 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“” ;第二,被开方数是正数或0知识点二:取值范围1、二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开
2、方数大于或等于零即可。2、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a0 时,没有意义。例 2当 x 是多少时,31x在实数范围内有意义?例 3当 x 是多少时,23x+11x在实数范围内有意义?知识点三:二次根式()的非负性()表示 a 的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。注:因为二次根式()表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则 a=0,b=0 ;若,则 a=0,b=0 ;若,则 a=0,
3、b=0 。例 4(1)已知 y=2x+2x+5,求xy的值 (2)若1a+1b=0,求 a2004+b2004的值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点知识点四:二次根式()的性质()文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注: 二次根式的性质公式() 是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,. 例 1 计算1 (32)22 ( 35)23 (56)24 (72)2 例 2 在实数范围内分解下列因式: (1)x2-3
4、(2)x4-4 (3) 2x2-3 知识点五:二次根式的性质文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或0,则等于a 本身,即;若 a 是负数,则等于a 的相反数 -a, 即;2、中的 a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,一定有意义;3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。例 1 化简(1)9(2)2( 4)(3)25(4)2( 3)例 2 填空:当a 0 时,2a=_;当 aa,则 a 是什么数?精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -
5、- 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点例 3 当 x2,化简2(2)x-2(1 2 )x知识点六:与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a 的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中 a 可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,而2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的乘除1、 乘法abab(a0,b 0)反过来:ab=ab(a0,b0)2、除法ab=ab(a 0,b0)反过来,ab=ab(a 0,b0)(思考: b 的取值与a 相
6、同吗?为什么?不相同,因为b 在分母,所以不能为0)例 1计算(1)457(2)139(3)927(4)126例 2 化简(1)9 16( 2)1681(3)229x y(4)54例 3判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1)( 4)( 9)49(2)1242525=4122525=4122525=412=83例 4计算:(1)123(2)3128(3)11416(4)648例 5化简:(1)364(2)22649ba(3)2964xy(4)25169xy例 6已知9966xxxx,且 x 为偶数,求(1+x)22541xxx的值精品学习资料 可选择p d f - - - - - -
7、- - - - - - - - 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点3、最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数 不含 分母或分母中不含二次根式;(2)被开方数中 不含 开得尽方的因数或因式(熟记20 以内数的平方;因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或 2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)例 1把下列二次根式化为最简二次根式(1) 5312; (2) 2442x yx y; (3) 238x y4、化简最简二次根式的方法:(1) 把被开方数 (或根
8、号下的代数式)化成积的形式,即分解因式;(2) 化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化;(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式 )开出来(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题)5. 有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类:与;与;与;与说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式:被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必 将各个根式都化为最简二次根式。如8与18知识点八:二次根式的加减1、二次根式的加减法:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。 (合
9、并方法为:将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。例 1计算( 1)8+18(2)16x+64x分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并解: (1)8+18=22+32=(2+3)2=52(2)16x+64x=4x+8x=(4+8)x=12x例 2计算(1)348-913+312(2) (48+20) +(12-5)例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ,求(293xx+y23xy)-(x21x-5xyx)的值2、二次根式的混合运算:先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减3、二次根式的比较: (1)若,则有; (2)若,则有( 3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小例 4比较 312与45的大小精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -