2021-2022年浙江省宁波市九年级上学期数学期中考试试卷附答案解析

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1、九年级级上学期数学期中考试试试试卷一、选选择题择题 每题题 4 分，共 40 分1.在中，C=90，sinA=，那么 tanA= A.B.C. 1D.2.圆 O 的半径为 3，圆心 O 到直线的距离为 4，那么该直线与圆 O 的位置关系是 A. 相切B. 相交3.线段=1，=4，线段是线段C. 相离，的比例中项，那么线段C. 16D. 以上都不对 的长度是 D.A. 2B.4.如图，PA，PB 分别切O 于点A，B，PA12，CD 切O 于点E，交PA，PB 于点C，D 两点，那么PCD的周长是 A. 12B. 18C. 24D. 305.以下说法中：三点确定一个圆；直径所对的圆周角是直角；平

2、分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所A对. 1的 个 弧；相等的圆心角所B.对2 的个弧相等；圆内接四C边. 3形 个 的对角互补.其中正确的D.个4 数个为 6.一个扇形的半径为 R，圆心角为 n，当这个扇形的面积与一个直径为 R 的圆面积相等时，那么 n 等于 A. 1807.如图，在ABC 中，B. 120C. 90，D. 60，点 F 为边 BC 上一点，那么以下条件不能保证FDB 与ADE 相似的是 A. A=BFDB. DF/ACC.D.8.如图，在O 中，E 是直径 AB 延长线上一点，CE 切O 于点E，假设 CE=2BE，那么E 的余弦值为 A.B.C.D.9.如图，ABC 和C

3、DE 都是等边三角形，点 G 在 CA 的延长线上，GB=GE，假设 BE+CG=10，那么 AF 的长为 A. 1B.C.D. 210.如图，四个水平放置正方形的边长都为 4，顶点 A、B、C 是圆上的点，那么此圆的面积为 A.B.二、填空题题每题题 5 分，共 30 分11.为锐角，满足方程C.D.，那么= .12.如图，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，AF 是O 的直径，那么BDF 的度数是 .13.如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB=4，BAC30，那么的长为 .14.如图，点P 是ABC 的重心，过 P 作AB 的平行线 DE，分别交AC，BC 于点D，E.作DF/BC

4、 交AB 于点F， 假设ABC 的面积为 18，那么四边形 BEDF 的面积为.15.如图，在锐角ABC 中，AB=，BC=4，C=45.假设点 D 是 AC 边上的一点，将BCD 沿 BD 所在直线翻折得到BDF，BF 交 AC 于 E，DF/AB，那么 AC=，DE=.16.如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是对角线 AC 上的动点，点 F 是边 BC 上的动点，点 P 是半径为1 的B 上的动点， 那么 PE+EF 的最小值为.三、解答题题(第 17 题题 6 分，第 18、19 题题各 9 分，第 2022 题题各 10 分，第 23 题题 12 分，第24 题题

5、14 分，共 80 分17.计算：18.O 的半径为r=2，弦 AB=，点 B 是的中点， AB 与 CD 交于点 E.1求圆心 O 到弦 AB 的距离；2求AEC 的度数.19.如图，在边长为 1 的 55 的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上.图 11ABC 与DEF 是否相似？请说明理由；2请在空白网格上画出MNPABC，并指出相似比.MNPABC ,相似比为要求MNP三个顶点都在格点上，并与ABC、DEF 都不全等20.如图，某学校体育场看台的顶端 C 到地面的垂直距离 CD 为 2m，看台所在斜坡 CM 的坡比 i1：3，在 点 C 处测得旗杆顶点 A 的仰角为 30，在点

6、 M 处测得旗杆顶点 A 的仰角为 60，且 B，M，D 三点在同一水 平线上.1求 DM 的长.2求旗杆 AB 的高度.结果保存根号21.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度 AB=60m，拱高 PD=18m.1求圆弧所在的圆的半径 r 的长.2当洪水泛滥到跨度只有 30m 时，要采取紧急措施，假设拱顶离水面只有 4m，即 PE=4m 时，是否要 采取紧急措施？22.如图，在边长为 5 的菱形 OABC 中，sinAOC=，O 为坐标原点，A 点在 x 轴的正半轴上，B，C 两点都在第一象限.点 P 以每秒 1 个单位的速度沿 OABCO 运动一周，设运动时间为 t秒.请解答以下 问题：备用图

7、1当CPOA 时，求t 的值；2以点 P 为圆心，以 OP 为半径画圆，当P 与菱形 OABC 的一边所在直线相切,且切点不在菱形的边上时，求出 t 的值.23.定义：假设一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，那么称这个四边形为“友爱四边 形，这条对角线叫“友爱线.1如图 1，在 44 的正方形网格中，有一个网格 RtABC 和两个网格四边形 ABCD 与四边形 ABCE，其 中是被 AC 分割成的“友爱四边形的是；2如图 2，四边形ABCD 是“友爱四边形，对角线AC 是“友爱线，同时也是BCD 的角平分线，假 设ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求友爱四边形 ABCD

8、的周长；3如图 3，在ABC 中，ABBC，ABC60，ABC 的面积为，点 D 是ABC 的平分线上一点，连接 AD，CD.假设四边形 ABCD 是被 BD 分割成的“友爱四边形，求 BD 的长.24.如图，ABC 内接于O，AB 是直径，CDAB 于D，P 为AB 延长线上一点，BCP=BCD.1求证：PC 是O 的切线；2点E 是O 上一点，ACE=2BCP，延长 CD 交BE 于 F，CF=10.求 CP 的长；假设 BE=9，求O 的半径.答案解析局部一、选择题每题 4 分，共 40 分1.【答案】 D【解析】【解答】解：如图在 RtABC 中，C=90设 BC=4x，那么 AB=5

9、x，.故答案为：D.【分析】利用锐角三角函数的定义可得到 BC 与 AB 的比值，设 BC=4x，那么 AB=5x，利用勾股定理求出AC 的长；然后利用锐角三角函数的定义求出 tanA 的值。2.【答案】 C【解析】【解答】解：圆 O 的半径为 3，圆心 O 到直线的距离为 4，43 即 dr，该直线与圆O 相离. 故答案为：C.3【.【 分 答 析 案】 设圆 A 的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，当d=r 时，直线与圆相切；当dr 时，直线与圆相交；当 dr 时，直线与圆相离；由此可得答案。【解析】【解答】解：线段 a=1，c=4，线段 b 是线段 a，c 的比例中项，b2=acb2=

10、4解之：b=2取正值. 故答案为：A.4【.【 分 答 析 案】 利 C 用线段 b 是线段 a，c 的比例中项，可得到 b2=ac，然后代入求值。【解析】【解答】解：PA，PB 分别切O 于点A，B，CD 切O 于点 E，PA=PB=12，AC=CE，DE=DB，PCD 的周长：PC+CE+PD+DE=PC+AC+PD+DB=PA+PB=12+12=24.故答案为：C.5【.【 分 答 析 案】 利用B 切线长定理可证得 PA=PB=12，AC=CE，DE=DB，再证明PCD 的周长就是 PA+PB 的长，然后 代【入解计析】算。【解答】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故1错误；直径所对

11、的圆周角是直角，故2正确；平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故3错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故4错误；圆内接四边形的对角互补，故5正确；正确的结论的序号为：2和5一共 2 个. 故答案为：B.【分析】利用不在同一直线上的三点确定一个圆，可对1作出判断；利用圆周角定理，可对2作 出判断；利用垂径定理可对3作出判断；利用圆心角，弧，弦之间的关系定理，可对4作出判断；利用圆内接四边形的性质，可对5作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。6.【答案】 C【解析】【解答】解：解之：n=90. 故答案为：C.【分析】利用扇形的面积公式及圆的面积公式，建立方程，解方程求

12、出 n 的值。7.【答案】 C【解析】【解答】解：A、AC=3AD，AB=3AEA=AABCADE，B=AED当A=BFD 时，FDBADE，故 A 不符合题意；B、当 DFAC 时BDF=A，B=AEDFDBADE，故 B 不符合题意；C、当， 不能证明FDBADE，故 C 符合题意；故答案为：C.【分析】利用可证得ABC 和ADE 的两边对应成比例，再根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得ABCADE，利用相似三角形的性质，可得到B=AED，再由A=BFD，可推出FDBADE，可对 A 作出判断；利用平行线的性质，可证得BDF=A，B=AED，可得到FDBADE，可对 B 作

13、出判断；根据 C 选项不能证明FDBADE，可对 C 作出判断；然后根据两边对应 成比例，且夹角相等的两三角形相似，可知FDBADE，可对 D 作出判断。8.【答案】 B【解析】【解答】解：连接 OC，CE 是圆 O 的切线，OCE=90，CE=2BE设 BE=x，那么 CE=2x，设 OC=OB=r，那么 OE=r+x，OC2+CE2=OE2r2+2x2=r+x2解之：.故答案为：B.9.【答案】 C【分析】连接 OC，利用切线的性质可得到OCE=90，设 BE=x，那么 CE=2x，用含 x，r 小的代数式表示出 OE，利用勾股定理建立方程，就看求出 r 的值，再求出 OE 的长，然后利用

14、锐角三角函数的定义求出E 的余弦值。【解析】【解答】解：过点G 作GHBC 于点 H，GHC=90设 AG=3a，BE=2a，EC=x，ABC 和DEC 是等边三角形，C=DEC=ABC=60，DEABHGC=90-C=90-60=30，GC=2CHGB=GE，GHBC，BH=HE，即解之：x=3aCE=3a.CG=AC+AG=BE+CE+AG=2a+3a+3a=8a.那么 BE+CG=2a+8a=10故答案为：C.【分析】过点G 作GHBC 于点 H，利用条件设AG=3a，BE=2a，EC=x，利用等边三角形的性质，可证得C=DEC=ABC=60，同时可求出HGC=30，利用直角三角形的性质

15、可证得 GC=2CH，利用等腰三角形 的性质，可证得 BH=HE，然后建立关于 a，x 的方程，解方程求出 x 的值，即可得到 CE 的长，从而可求出CG 的长，根据 BE+CG=10，建立关于 a 的方程，解方程求出 a 的值；然后根据平行线分线段成比例定理可10.【答案】 B求出 AF 的长。【解析】【解答】解：过点O 作 OMAB 于点 M，过点 O 作CN 于点N。连接 OC，OA，AM=BM=2，设 OF=x，OA=OC=r，那么 OM=8+x，NC=8-x，ON=2+4=6,在 RtAOM 和 RtONC 中OA2=OM2+AM2， OC2=ON2+NC2,r2=8+x2+22，

16、r2=8-x2+62，解之：r=， x=1圆的面积为.故答案为：B.【分析】 过点 O 作 OMAB 于点 M，过点 O 作CN 于点 N。连接 OC，OA，利用垂径定理求出 AM，BM二、填空题每题 5 分，共 30 分的长，设 OF=x，OA=OC=r，可表示出 OM，NC，ON 的长，在 RtAOM 和 RtONC 中，利用勾股定理建立1关1于.【x 答 ， 案 r 】的方程组，解方程组求出 r，x 的值；然后利用圆的面积公式可求出此圆的面积。【解析】【解答】解：3x-2x-1=03x-2=0 或 x-1=0解之：sin 为锐角是原方程的根，0sin1sin= .故答案为： .【分析】利

17、用因式分解法求出一元二次方程的根，再根据 0sin1，可得到 sin 的值。12.【答案】 54【解析】【解答】解：连接 OC，OD，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，AF 是直径，BC=DC，AFCDCBD=CDBBCD=5-21805=108，COD=3605=72COF= COD=36，CDB=180-1082=36弧 CF=弧 CF，CDF= COF= 36=18.BDF=CDF+CDB=18+36=54.故答案为：54.1【3.【分 答析 案】 连 】 接OC，OD，利用五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，AF 是直径，可证得BC=DC，AFCD，利【用解等析】腰三【解角形

18、答】的性解：质可O证C =得OA，C B D =C D B，从而可求出BCD，COD 的度数，由此可求出COF 的度 数 ， A= CD C B = 3 0度的， 数；再利用圆周角定理求出CDF 的度数；然后根据BDF=CDF+CDB，就可求出 BD F C O的B度=数A +。 C=30+30=60，的长为.故答案为：.【分析】利用等腰三角形的性质可求出C 的度数，利用三角形的外角的性质求出COB 的度数；然后利 用弧长公式可求出弧 AC 的长。14.【答案】 8【解析】【解答】解：延长 CP 交 AB 于 M点P 是ABC 的重心，CP：PM2：1，DEAB，CE：BE=CP：PM=AD：

19、CD2：1，AD：CD1：2，CE：CB2：3，AD：AC1：3，EDAB，DFBC，CEDCBA，AFDABC，SCED SABC8，SAFD SABC2， 15.【答案】；S 平行四边形BEDFSABCSCEDSAFD18828定理去证明 CE：CB2：3，AD：AC1：3，同时可证得CEDCBA，AFDABC；然后利用相似三角形的性质可求出CED 和AFD 的面积，由此可求出四边形 BEDF 的面积。【解析】【解答】解：过点B 作 BGAC 于点G，【分析】延长 CP 交 AB 于 M利用三角形的重心定理可证得 CP：PM2：1，利用平行线分线段成比例BGC=90C=45，C=GBC=4

20、5，BG=CG2BG2=BC2 即 2BG2=16解之：BG=CG=.在 RtABG 中;将BCD 沿 BD 所在直线翻折得到BDF，BF 交 AC 于 E，DF/AB，C=F=ABE，FBD=DBCA=AABEACB，即解之：；ABD=ABE+FBD，ADB=C+DBCABD=ADBAB=AD=.故答案为：，.【分析】过点B 作 BGAC 于点 G，利用条件即勾股定理可求出 BG，CG 的长，利用勾股定理求出 AG 的长，由此可得到 AC 的长；再利用折叠的性质，可得到C=F=ABE，FBD=DBC，利用相似三角形的16.【答案】【解析】 【解答】 解：将ABC 沿 AC 折叠，点 B 落在

21、 B1 处，过点 B 作 BHCB1 于点 H，交 AC 于点 E1判定定理证明ABEACB，利用相似三角形的性质求出 AE 的长；然后证明ABD=ADB，利用等角对等过边点可E1求作 出 E1A F1D 的B C 长 于， 点由此F1 可求出 DE 的长。，AC 平分BCB1， 1=2E1F1=E1HPE+EF=P1E+E1H=PH，利用两点之间线段最短，可知此时 PE+EF 的值最小.2+3=90，1+5=90，3=43=5=4AB=BE1=31=1，E1F1C=ABC=90E1F1CABC即设 E1F1=3x，CF1=4xBF1=4-4x， 在 RtBE1F1 中E1F 2221 +BF

22、1 =BE13x2+4-4x2=9解之：x1=1，x2=E1F1=PH=BE1-BP+E1F1=.E1F1BC 于点 F1， 利用角平分线的性质易证 E1F1=E1H，由此可推出 PE+EF=P1E+E1H=PH， 利用垂线段最三、解答题(第 17 题 6 分，第 18、19 题各 9 分，第 2022 题各 10 分，第 23 题 12 分，第 24 题 14 分，共故答案为：. 80 分【分析】将ABC 沿 AC 折叠，点 B 落在 B1 处，过点 B 作 BHCB1 于点 H，交 AC 于点 E1， 过点 E1 作17.【答案】 解：原式=【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入，再利用

23、二次根式的乘法法那么进行计算，然后利用合并同 类二次根式。18.【答案】 1解：过点 O 作 OGAB 于点 G，连接 OB 交CD 于点 F，.在 RtBGO 中.圆心 O 到弦AB 的距离为 1.2解：连接 OB 交 CD 于点 F， 在 RtOBG 中，OB=2，OG=1OG= OBB=30， 点 B 是的中点，OBCD【解析】【分析】1过点 O 作 OGAB 于点 G，连接 OB 交CD 于点 F，利用垂径定理可求出 BG 的长，再 利E用F B勾= 9股0定理求出 OG 的长。2连接 OB 交CD 于点 F，在 RtOBG 中，可求出B=30，再利用垂径定理可证得EFB=90，然后利

24、AEC=FEB=90-B=90-30=60.用三角形的内角和定理求出AEC 的度数。19.【答案】 1结论：ABCDEF，ABCDEF.2【解析】【解答】解：2如图MNPABC .故答案为：.【分析】1利用勾股定理分别求出 DE，DF，FE，AB，CB，AC 的长，然后求出两个三角形对应的三边 之比，由此可证得这两个三角形的三边对应成比例，由此可作出判断。2根据ABC 的形状画出MNP，再利用勾股定理求出MNP 的三边长；然后证明这两个三角形的三 边对应成比例，由此可证得结论。20.【答案】 1解：斜坡 CM 的坡比 i1：3，CD=2MD=23=6.答:DM 的长为 6m.2解：过点C 作

25、CFAB 于点 F，由题意可知AMB=60，ACF=30，BAM=30，设 BM=xm，那么 AM=2x，BD=x+6在 RtABM 中AF=CDM=B=CFB=90，四边形BDCF 是矩形，BF=CD=2，CF=BD=x+6在 RtACF 中即解之：x=.【解析】【分析】1利用坡度的定义可求出 MD 的长。 答：旗杆 AB 的高度为 m.2过点 C 作 CFAB 于点 F，由题意可知AMB=60，ACF=30，利用直角三角形的性质，可证得AM=2BM，设 BM=xm，那么 AM=2x，BD=x+6 ，利用勾股定理用含 x 的代数式表示出 AB 的长，由此可得 到 AF 的长；再证明四边形 B

26、DCF 是矩形，利用矩形的性质可推出 BF=CD=2，CF=BD=x+6，在 RtACF 中，利用解直角三角形求出 x 的值，即可得到 AB 的长。21.【答案】 1解：连接 OA，设圆弧的半径为 r，由题意得：AD AB30米，ODr18.在 RtADO 中，由勾股定理得：r2302r182， 解之：r34.2解：连结 OA，OEOPPE34-4=30，在 RtAEO 中，AE2AO2OE2 即 AE2342302， 解之：AE16AB=2AE32AB3230，不需要采取紧急措施【解析】 【分析】 1 连接 OA，利用垂径定理求出 AD 的长，用含 r 的代数式表示出 OD 的长，在 RtA

27、DO中，利用勾股定理建立关于 r 的方程，解方程求出 r 的长。2连结 OA，可求出 OE 的长，在 RtAEO 中，利用勾股定理求出 AE 的长，利用垂径定理求出 AB的长，据此可作出判断。22.【答案】 1解：过点P 作 CPx 轴于点 P,CP=4.在 RtOCP 中.点P 的运动速度为每秒 1 个单位。t=31=3.2解：设切点为 G，连接 PG， 当P 在 OA 上时，P 与直线AB 相切，PGAB点P 以每秒 1 个单位的速度沿 OABCO 运动一周，设运动时间为t秒，OP=PG=t，那么PA=5-t，OCAB，AOCOAG，；当P 与直线 BC 相切时，如图，PGBC，BCAO，

28、AOCGCP，OPPG20t，【 解析】【，分析】1过点 P 作 CPx 轴于点 P,利用解直角三角形求出 CP 的长，再利用勾股定理求出OP 的长，然后根据点 P 的运动速度，就可求出 t 的值。t 的值为或2 设切点为 G，连接 PG，根据当P 与菱形 OABC 的一边所在直线相切,且切点不在菱形的边上时，分情况讨论：当P 在 OA 上时，利用切线的性质可知 PGAB，利用平行线的性质可求出PAG 的度数，利用点 P 的运动速度及方向，可用含 t 的代数式表示出 PG，PA 的长；利用解直角三角形建立关于 t 的方程，PG，PC 的长；再利用解直角三角形建立关于 t 的方程，解方程求出 t

29、 的值。23.【答案】 1四边形 ABCE解方程求出 t 的值； 当P 与直线 BC 相切时，如图，同理可证AOCGCP，用含 t 的代数式表示出2解：AC 是BCD 的角平分线，ACD=ACB四边形ABCD 是“友爱四边形，对角线 AC 是“友爱线 ，ACDBCA即,解之：四边形ABCD 的周长为：.3解：过点A 作 AMBC 于M，在 RtABM 中，ABC=60，AMABsinABC=ABsin60AB，ABC 的面积为，即BCAB12，四边形ABCD 是被 BD 分割成的“友好四边形，且ABBC，ABDDBCBD2ABBC12，【 解 解 之 析 ： 】【解答】解：1AB=2，BC=1

30、，AD=4. 答：BD 的长为.,ABCEAC，四边形ABCE 是“友爱四边形四边形ABCD 不是“友爱四边形. 故答案为：四边形 ABCE.【分析】 1利用勾股定理分别求出 AC，CD，AB，CE 的长，再证明ABC 和EAC 的三边对应成比例，由此可证得ABCEAC，据此可证得结论；可得到四边形 ABCD 不是“友爱四边形。2利用角平分线的定义可证得ACD=ACB，再根据“友爱四边形的定义可证得ACDBCA；再利用相似三角形的三边对应成比例，就可求出 AD，CD 的长；然后求出四边形 ABCD 的周长。3过点 A 作 AMBC 于 M，利用解直角三角形求出 AM 和AB 之间的数量关系，再

31、利用ABC 的面积公式可求出 BCAB 的值；再根据“友好四边形可知ABDDBC，利用相似三角形的性质可求出 BD 的24.【答案】 1证明：连接 OC， 长。CDABCDB=90，BCD+CDB=90OC=OB，BCP=BCDOCB=CDBBCP+OCB=90即OCP=90OCCP，OC 是半径，PC 是圆 O 的切线.2解：AB 是直径，ACB=90，A+ABC=90，ABC+BCF=90A=BCF=BCP=x，A=E=x，ACE=ABE=2xCDAB，BDF=CDB=90 连接 AE，COP=A+ACO=2xCOP=ABEAB 是直径，AEB=OCP=90AEBPCO设圆的半径为 r【解

32、析】【分析】1连接 OC，利用垂直的定义可证得BCD+CDB=90，OCB=CDB；结合推出 解之：r=7.5取正值OCP=90，然后利用切线的判定定理可证得结论。圆的半径为 7.5.2利用圆周角定理可得到ACB=90，利用余角的性质可证得A=BCF=BCP=x，利用同弧所对的圆周角相等，可得到A=E=x，ACE=ABE=2x；再证明P=CFB，利用 AAS 证明PCBFCB，利用 全等三角形的对应角相等，可求出 CP 的长； 连接 AE，易证COP=ABE，利用圆周角定理可得到AEB=OCP，由此可证得AEBPCO，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于 r 的方程，解方程 求出 r 的值。