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1、精品资料欢迎下载学问点分析：一、二重积分1、二重积分的概念：第七讲 多元函数积分学（一）设二元函数f x,y 定义在有界闭区域D 上，就二重积分nf x,Dydlimf i ,i i 0 i 1精确定义求极限问题：f x,y dnnlimf aba i, cdc j badcnDi 1 j 1nnnn先提出 1 1，在凑出i , j ，可以看出i 是 0 到 1 上的 x ， j是 0 到 1 上的 y， 1 是 0 到 1n nnnnnn上的 dx,dy注：二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域D 由一条或几条逐段光滑闭曲线围成， 当f x, y 在 D 上连续时， 或者f
2、 x, y 在 D 上有界， 且在 D 除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，就f x,y 在 D 上可积；极限存在与 D 的分割方式无关； ddx dy几何意义曲顶柱体的体积2、二重积分的性质Vf x, y d；物理意义 D 的质量 mDx, yd；D（1） 区域面积dA，其中 A 为区域 D 的面积；D（2） 可积函数必有界：当f x, y 在闭区域 D 上可积时，就f x, y 在 D 上必有界（3） 线性性质：k1 fx, yk2 gx, y dk1fx, ydk2g x, ydk1, k2 为常数；DDD（4） 可加性：DD1D2 , D1D 2，f x,ydf x, ydf x
3、, yd；DD1D2（5） 保号性：如在 D 上f x, ygx, y ，就f x, ydg x, yd；DD特别的有 |f x, yd|DDf x, y d；（6） 估值定理：设 MmaxDf x, y, mminDf x, y ， D 的面积为, 就有mf x, ydMD（7） 二重积分中值定理：设函数f x,y 在闭区域 D 上连续， D 的面积为，就至少存在一点 ,D 使得3、二重积分的运算f x, ydfD ,；（1） 直角坐标系运算法 X 型： Dx, y1 xy2 x, axb ， 1 x,2 x 在a,b 上连续，就b2 xf x, y ddxf x, ydya1 xD Y 型
4、： D x, y1 yx2 y,cyd ， 1 y,2 y 在c,d 上连续，就d2 y f x, yddyf x, y d xD（2） 极坐标系运算法c1 yD r ,1 r2 ,其中 1 ,2 在,上连续，就2 f x, ydf rcos, rsin rdrdd1 f r cos,rsinrdrDD留意： X 型， Y 型和极坐标的相互转化有时可便利解题x r cos4、二重积分的对称性y r sinf x, yd，记DD1 为其对称区域的一半0, f x,y=f x, y（1） 如 D 关于 x 轴对称，有f x, yd2f x, yd，f x,y=f x, yDD10, f x, y=
5、f x, y（2） 如 D 关于 y轴对称，有f x, ydD2f x, y dD1，f x, y=f x, y0, f x,y=f x, y（3） 如 D 关于原点对称，有f x, yd2f x, yd，f x,y=f x, yDD1（4）（轮换对称性）如 D 关于 yx对称，有f x, ydf y, x dDD如 yx将 D 分成二、三重积分1、三重积分的概念D1 , D 2 两部分，有f x, y dfD1D2 y, x d设三元函数f x,y, z 定义在三维有界空间区域上，就三重积分nf x, y, zd vlimf k ,k ,k vi0 i 1f x,y, zdvnnnlimf
6、aba i, cdc j ,efe k badcfeni 1 j1 k 1nnnnnn方法： 先提出 111，在凑出ijk,，可以看出i 是 0 到 1 上的 x ， j是 0 到 1 上的 y，nnnnn nnnk 是 0 到 1 上的 z，n1 是 0 到 1 上的ndx, dy, dz ；2、三重积分的性质（1） 区域面积dvV ，其中 V 为区域的面积；（2） 可积函数必有界：当f x, y, z 在闭区域上可积时，就f x, y, z 在上必有界（ 3）线性性质：k1 f x, y, zk2 g x, y, zdvk1f x, y, z dvk2g x, y, zdv ，k1, k2
7、 为常数；（4）可加性：12 ,12，f x, y, zdvf x, y, zdvf x, y, zdv ；12（5） 保号性：如在上f x, y, zg x, y, z ，就f x, y, z dvg x, y, zdv ；特别的有 |f x, y, z dv |f x, y, zdv ；（6） 估值定理：设 Mmaxf x, y, z, mminf x, y, z ，的体积为 V , 就有mVf x, y, z dvMV（7） 三重积分中值定理：设函数f x,y) 在闭区域上连续，的体积为 V ，就至少存在一点 ,使得f x, y, zdvf , V ；3、三重积分的运算（1） 坐标平面投
8、影法（二套一）z2 x, y x, y, zz1 x, yzz2 x, y, x, yz2 x, yDxyf x,y, zdvfz1 x , y x, y, zd zd xd yd xd yfz1 x, y x,y, zd zDD（2） 坐标轴投影法（一套二）x, y, z x, ybbDz , azbf x, y, zd vf x, y, zd x d ydzdzf x,y, zdx d yaaDzDz（3）柱面坐标法“直角坐标系+极坐标系”xcos， ysin， zz ，其中 0,02,zf x, y, zd vfcos ,sin,z) dddz（4）球坐标运算法x r sincosy r
9、 sinsinz r cos其中 0r,02,0f x, y, zd vf rsincos , r sinsin, rcosr 2 sind r dd4、三重积分的对称性（1） 如关于 xoy平面对称，就0,f x, y,zf x, y, zf x, y, zd v2f x, y, zd v, f x, y,zf x, y, z,1 为对称区域的一半；1同理与关于 yoz平面对称和 xoz 平面对称（2） 轮换对称性：如关于x, y, z具有轮换对称性（即如x, y, z，将x, y, z意互换后的点也属于），就被积函数中的自变量可以任意轮换而不转变积分值f x, y, zdvf y, x,
10、z dvf y, z, xdv当：f x dvf y dvf zdv ，有 fxf yfz dv3f xdv三、重积分的应用1、曲面的面积设曲面由方程zf x, y 组成，就曲面的面积A1z 2z 2 dxdyxyD如光滑曲面方程为F x, y, z0 ，且 Fz0 ，就zFx ,zFy , x, yDx yF 2F 2F 2xFzyFzxyzAdxdyDFz2、质心（1） 薄片的质心： M x, yd， xD1x x,MD1yd， y1y MD1x, yd如薄片是匀称的，密度为常数，就质心即形心xxd， yyd（2） 空间立体质心： MA DA D x, y, z dv ，就： x1 Mx x, y, zdv ， y1My x, y, z dv ， z1Mz x, y, z dv3、转动惯量（1） 平面薄片 D 的转动惯量，如面密度为 x, y, x,
