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1、精品资料欢迎下载函数的单调性与最值【学问要点】1. 函数的单调性(1) 单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数 fx的定义域为 I：假如对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1， x2定义当 x1x2 时，都有 f x1fx2， 那么就说函数fx 在区间 D 上是增函数当 x1fx2， 那么就说函数 f x在区间 D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2) 单调区间的定义假如函数 yfx在区间 D 上是增函数或减函数， 那么就说函数y fx在这一区间具有 严格的 单调性，区间D 叫做函数 yfx的单调区间（ 3）判定函数单调性的方法 依据定义； 依
2、据图象； 利用已知函数的增减性； 利用导数； 复合函数单调性判定方法；2. 函数的最值前提设函数 yfx的定义域为 I，假如存在实数 M 满意(1) 对于任意 x I，都有 f x M ；条件(2) 存在 x0 I，使得 fx0 M.(3) 对于任意 x I，都有 f x M；(4) 存在 x0 I，使得 f x0 M.结论M 为最大值M 为最小值求函数最值的方法：如函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；利用函数的单调性求最值：先判定函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值；基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次经常用此法；【复习回忆】一次函数ykxbk0) 具有
3、以下性质：(1) 当 k(2) 当 k0 时，函数 y 随 x 的增大而增大0 时，函数 y 随 x 的增大而减小二次函数 yax2bx ca0具有以下性质：(1) 当 a0 时，函数 y ax2 bxc 图象开口向上， 对称轴为直线xbb ；当 xb 时，2a2ay 随着 x 的增大而减小；当x时， y 随着 x 的增大而增大；2a(2) 当 a0 时，函数 y ax2 bxc 图象开口向下， 对称轴为直线xbb ；当 xb 时，2a2ay 随着 x 的增大而增大；当x时， y 随着 x 的增大而减小；2a提出问题 :如下列图为一次函数y=x ，二次函数y=x 2 和 y=-x 2 的图象
4、,它们的图象有什么变化规律.这反映了相应的函数值的哪些变化规律.这些函数走势是什么？在什么范畴上升，在什么区间下降？ 如何懂得图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？定义：一般地，设函数fx 的定义域为 I，假如对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1、x 2，当 x 1x 2 时，都有 fx 1fx 2，那么就说函数fx 在区间 D 上是增函数 . 简称为：步调一样增函数.几何意义：增函数的从左向右看, 图象是的；定义： 一般地， 设函数 fx 的定义域为 I，假如对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x 1、x 2，当 x
5、 1fx 2，那么就说函数fx 在区间 D 上是减函数 .简称为：步调不一样减函数.几何意义：减函数的从左向右看, 图象是的.例 如图是定义在区间5，5上的函数 y=fx ，依据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数仍是减函数？解：函数 y=fx 的单调区间是 -5,2,-2,1, 1,3, 3,5.其中函数 y=fx 在区间 -5,2, 1,3上是减函数，在区间-2,1, 3,5上是增函数 .点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；其次步：观看图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.【典例精讲】题型一函数单调性的判定与证明(1) 单调性的证明函数单调性的
6、证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下： 第一步：设元，即设x1 ，x2 是该区间内的任意两个值，且x1 x2；其次步：作差，即作差fx1 fx2 ；第三步： 变形，即通过因式分解、 配方、有理化等方法， 向有利于判定差的符号的方向变形； 第四步：判号，即确定fx1 fx2 的符号，当符号不确定时，可以进行分类争论；第五步：定论，即依据单调性的定义作出结论其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式利用单调性定义的等价形式证明：设 x1， x2m，n， x1x2，那么x1x x2 x fx1) fx 0fx1 fx2 0fx在区间 m， n 上
7、是增函数； x12x2fx1 fx2 0fx在区间 m， n 上是减函数12 fx1 fx2 0x1 x2(2) 复合函数 y fgx 的单调性：g xfxf gx增增增增减减减增减减减增复合函数的单调性可简记为“同增异减 ”，即内层函数 gx与外层函数f x的单调性相同时 y f gx是增函数，单调性相反时yfgx是减函数(3) 判定复合函数单调性的步骤：以复合函数y f gx为例可按以下步骤操作： 将复合函数分解成基本初等函数：y ft， t gx； 分别确定各个函数的定义域；分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间； 如两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，就y fgx
8、为增函数；如为一增一减，就y fgx为减函数例 1 用定义法求证函数f xx3 在 R 为增函数变式 1 用定义法求证函数f x2 x1 在 0, 增函数变式 2 证明：函数f xx21x 在定义域上是减函数例 2 求函数 y x2 x 6的单调区间2题型二图像法求函数的单调区间例 3求出以下函数的单调区间：（ 1）f xx3x；（ 2）1f xx.x（ 3）f xx24 x3；（ 4）f xx24x3 .变式 1 用图像法求以下函数的单调区间1f x3x2x22f x| x22 x |3f xx22 | x |1变式 2 求函数 yx 2x35 的单调区间和值域；题型三抽象函数的单调性例 4
9、1 已知函数f x是减函数，就f x2x1 与3 的大小关系是f 4(2) 已知函数f x是减函数，解不等式f 2 x1f x2(3) 已知f x是定义在 0,+ 上的减函数，如f 2 a2a1f 3a 24a1 成立，就a 的取值范畴是.变式函数 fx 对任意的 a,bR，都有 fa+b=fa+fb-1 ，并且当 x 0 时， fx 1.(1) 求证： fx 是 R 上的增函数；2如 f4=5 ，解不等式 f3m 2-m-2 3.题型四已知函数的单调性求参数的取值范畴ax1, x2例 5 已知函数f xx2, x2在 R 上是增函数，就 a 的取值范畴是变式 1 如 f x x2 2a 1x
10、 4 是区间 ，4 上的减函数， 就实数 a 的取值范畴是变式 2 1画出已知函数f xx22 x3 的图象；(2) 证明函数f xx22 x3 在区间 - ,1上是增函数；(3) 当函数 fx 在区间 - ,m上是增函数时，求实数m 的取值范畴 .题型五函数的最值例 6 如下列图，是函数这三个图象的共同特点.yx22x、y2x1, x 1,、yf(x) 的图象 .观看在函数 y=fx的图象上任取一点A x,y，如下列图， x 的范畴是函数的,y 的范畴是函数的；图 1-3-1-12怎样懂得函数图象最高点的.设点 C 的坐标为 x 0,y0，用数学符号说明： 函数 y=fx 的图象有最高点 C？函数最大值的定义？一般地，设函数 y=fx 的定义域为 I，假如存在实数 M 满意：(1) 对于任意的 xI，都有 fx M ；(2) 存在 x0 I，使得 fx0 =M.那么，称 M 是函数 y=fx 的最大值 .函数最大值的定义中f xM 即 fxf x0 ，这个不等式反映了函数
