《2021年第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载第四节隐函数及由参数方程确定的函数的导数相关变化率教学目的 ： 熟识隐函数的概念;把握隐函数的求导法就； 把握由参数方程所确定的函数的求导方法 .教学重点 ： 隐函数的导数 ;由参数方程所确定的函数的导; 相关变化率 ;对数求导法教学难点 ： 隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容 ：一、隐函数的导数显函数形如 y fx的函数称为显函数例如 y sin xy ln x +e x隐函数由方程 F x y 0 所确定的函数称为隐函数例如 方程 xy31 0 确定的隐函数为yy3 1x假如在方程 Fx y 0 中当 x 取某区间内的任一值时相应地总有满意
2、这方程的唯独的y 值存在那么就说方程Fx y 0 在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不行能的但在实际问题中有时需要运算隐函数的导数因此 我们期望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例 1 求由方程 ey xy e 0 所确定的隐函数 y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得eyxye0即ey yy xy0从而yyx eyx e y 0例 2 求由方程 y5 2y x 3x7 0 所确定的隐函数 y fx在x 0 处的导数 y |x 0解把方程两边分别对x 求导数得5y y2y1 21x 6 0由
3、此得y121x65 y42由于当 x 0 时 从原方程得 y0所以y |121x6 |1x 05 y 42 x 02例 3求椭圆x2y21 在331692, 2处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x 求导 得x2 y y089从而y当 x 2 时9 x16yy332代入上式得所求切线的斜率ky |x 234所求的切线方程为y3323 x24即3x4y8 30解把椭圆方程的两边分别对x 求导 得x 8将 x 212 yy9y3321y0代入上式得043于是k y |x 234所求的切线方程为y3323 x42即 3x4y830例 4 求由方程 x的二阶导数y 1 sin y20 所确定的隐函数
4、y解方程两边对 x 求导 得1dy dx于是dydx21 cos y dy02 dx2cos y上式两边再对 x 求导 得d 2y2sin y dydx4sin ydx22cosy 22cos y3隐函数求导方法小结：（1） 方程两端同时对x 求导数，留意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待.（2） 从求导后的方程中解出y 来.（3） 隐函数求导答应其结果中含有y . 但求某一点的导数时不但要把x 值代进去，仍要把对应的 y 值代进去 .对数求导法这种方法是先在y fx的两边取对数然后再求出 y 的导数设 y fx两边取对数得ln yln fx两边对 x 求导 得1 yln yf xyfx
5、ln fx对数求导法适用于求幂指函数y uxvx的导数及多因子之积和商的导数例 5求 y x sin x x0的导数解法一两边取对数得ln y sin xln x上式两边对 x 求导 得1y于是yycosx ln xycos x ln xsin x 1xsin x 1 xxsin xcos xln xsin x x解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求y x sin x e sin xln xyesin x ln x sin x ln xxsinx cos xln xsin x x例 6求函数 yx 1xx3 x2 的导数4解先在两边取对数 假定 x4得ln y1 ln x 1ln x 2
6、ln x 3ln x 42上式两边对 x 求导 得1 y1 11y2x 1x211x3x4于是yy 112x1x211x3x4当 x1 时y1x2x3x4x当 2 x3 时y x1 x23x4x用同样方法可得与上面相同的结果注严格来说此题应分 x 4 x 1 2 x 3 三种情形争论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设 y 与 x 的函数关系是由参数方程参数方程所确定的函数x ty t 确定的 就称此函数关系所表达的函数为由在实际问题中需要运算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t有时会有困难因此 我们期望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设 xt具
7、有单调连续反函数tx且此反函数能与函数yt 构成复合函数yx 如 xt和 yt都可导 就dydy dtdxdtdxdy1dtdx dttt即dydxdyt 或 dydttdxdxdt如 xt和 yt都可导 就 dydxt t例 7求椭圆x acost 在相应于y bsintt4 点处的切线方程解dy dxbsin t acostbcost asin tb cot t a所求切线的斜率为dybt2dx4a切点的坐标为x0acosa242y0bsin 4b2切线方程为yb22b x aa2 2即bx ay2 ab0xv1t例 8 抛射体运动轨迹的参数方程为yv2t1 gt 22求抛射体在时刻 t
8、的运动速度的大小和方向yv2tg t 2解先求速度的大小速度的水平重量与铅直重量分别为x t v1 y t v2 gt所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为v xt 2 y t 22v2gt2v1再求速度的方向设 是切线的倾角就轨道的切线方向为tandydxy tx tv2gtv1已知 x由 xt t, ydy dxttt如何求二阶导数y .d 2 y dx2d dy dxdxd t dtdtt dxtttt2t 3ttttt1t例 9 运算由摆线的参数方程的函数 y fx的二阶导数x aty a1sint cost所确定解dyy t a1costasin tdxx t atsin t a1
9、costsin t1costcot t2t 2nn 为整数 d 2 y dx2d dy dx dxd cot t dt dt2dxt 2nn 为整数 12sin 2 t2a11cost a11cost2三、相关变化率设 x xt及 y yt 都是可导函数而变量 x 与 y 间存在某种关系从而变化率dx 与dtdy 间dt也存在肯定关系这两个相互依靠的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是争论这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例 10 一气球从离开观看员500f 处离地面铅直上升其速度为 140m/min 分当气球高度为 500m 时观看员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升 t秒后其高度为 h观看员视线的仰角为就tanh500其中 及 h 都是时间 t 的函数 上式两边对 t 求导 得sec2d dt1dh500 dtdh已知 dt140 米/秒又当 h 500米时 tan21 sec2代入上式得所以ddt705002 ddt0.14 弧度 /秒1500140即观看员视线的仰角增加率是每秒0 14 弧度小结 ：本节叙述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题 .摸索 ：对幂指数函数yu x v x u x 0你有几种求导方法？作业 ： 见习题册
