《2021年数列前n项和构成不等式证明方法与技巧》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年数列前n项和构成不等式证明方法与技巧（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载数列前 n 项和构成不等式证明方法与技巧安徽五河一中邢文举、杨梅玲由数列前 n 项和构成的不等式是一种特别重要的题型，常在高考题中显现， 由于不等式证明本身就是一个难点， 再加数列的各种变形应用， 不少同学对该题型束手无策， 不知从何处去分析寻求解题思路， 该题型一般有三种解题思路： 第一，如数列 an是可求和数列，应先求和Sn，再证明不等式；其次，如数列an是不行求和数列，一般先将数列的通项放缩成可求和数列，再求和证明不等式； 第三，如数列是不行求和数列， 对通项的放缩又有肯定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式， 当然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明，下面以例
2、说明；例 1、各项均为正数的等差数列an，a1=3 前 n 项和为 Sn，等比数列bn中，b1=1，且 b2S2=64，ba n是公比为 64 的等比数列；（1） 求 an、bn；（2） 证明 11S1S213Sn4解：（1）设 an的公差为 d， bn的分比为 q（d0,q0）就 an=3+n-1dbn=q n-1ban 1banqan 1 1qan 1qan 1 a nqd 64又 b2S2=q6+d=64可求得： d=2， q=8an=2n+1，bn=8n-1（2）由（ 1）知 Sn=nn+2111 11Snnn22nn2明显 1是可求和数列，先求和，再证明不等式Sn 11S1S2111
3、1 1Sn2321 11 435 11nn2= 1 112211n1n21 11 3224原不等式对 nN 成立例 2、等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 对任意的 nN，点n,Sn均在函数 y=bx+rb0 且 b1,b,r 均为常数 的图象上；（1） 求 r 的值；（2） 当 b=2 时设bnn1 n 4anN ，数列1bn 的前 n 项和为 Tn，证明 Tn2解：（1）由已知有 Sn=bn+r，当 n2 时， Sn-1=bn-1+ran=Sn-Sn-1=b-1 bn-1又 a1=b+ra2=b-1b a2a1b1bb brr=-1（2）由 b=2，故（ 1）有： an=2n- 1b
4、n= n12 n 1由于 bn 是可求和数列，先求和后证明不等式Tn=b1+b2+b3+ +bnTnn1 T2342223242 3nn12n 1n1223242 n 12n 22111n1n234n 1n 222222- 得： 1 T2Tn3 n322n 1 Tn为递增数列TnT131122Tn1 对 n2N成立例 3、证明不等式： 1112312nn11 （ nN）证明（一）数列1是不行求和数列，应先放缩再证明不等式；n 12nnn1112n1n2n1n123n2 2132 43 n1n =2（1n11 ）112312nn11 对nN成立（二）数学归纳法证明（1）当 n=1 时， 1221
5、 ，即 n=1 不等式成立；（2）假设当 n=k nN时不等式成立即： 1112312kk11当 n=k+1 时11123= 2k1111kk122k2k111k111 22=4k1k1412k14 kk1142= 2k111n即 n=k+1 时，不等式成立；由（ 1）（2）知，原不等式对 nN均成立例 4、已知数列a前 n 项和为 Sn，点 n,Sn在函数 y=3x-1 的图象上，bn=nn1 an，b前 n 项和为 Bn，证明： Bnnnn3解：由已知： Sn=3n-1当 n=1 时， a1=3-1=2当 n 2 时， an=Sn-Sn-1=23n-1an=23n-1（ nN） bnnn1
6、23n 1法（一），明显 bn是不行求和数列，先放缩，再证明不等式； bnnn123n 1 =4n 24n3n 12n1 23n 1=2n+1 3n-1Bn=b1+b2+b3+bn31+53+732+ +2n+1 3n-1令 Tn=31+53+732+ +2n+1 3n-1由错位相减法可求得 Tn=n3nBn n 3n注：也可用均值不等式：nn1nn122n1对 bn 进行放缩；2法（二）用数学归纳法证明： Bn n3n当 n=1 时， B1=b1=2222 131=3即 n=1 时，不等式成立k假设当 n=k+1 时，不等式成立，即 Bkk3k当 n=k+1 时kBk+1=Bk+bk+1k3+ （k1） k223 k 3k+ k1k2223k=3k+33k=k+1 3k+1即 n=k+1 时不等式成立由知： Bn n3n 对 nN均成立由以上例题可知，对于由数列an的前 n 项和 Sn 构成的不等式证明，第一考查 an是否可求和，如能求和，先求出Sn 再证明不等式，如不行求和，要么先将 an 进行放缩成可求和数列，再求和证明不等式；要么利用数学归纳法进行证明，当然仍可构造函数来证明，在这就不说了，期望通过本文，对同学们解答这类题有肯定的启示；2021.4.26
