《2021年数列前n项和构成不等式证明方法与技巧》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021年数列前n项和构成不等式证明方法与技巧(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载数列前 n 项和构成不等式证明方法与技巧安徽五河一中邢文举、杨梅玲由数列前 n 项和构成的不等式是一种特别重要的题型,常在高考题中显现, 由于不等式证明本身就是一个难点, 再加数列的各种变形应用, 不少同学对该题型束手无策, 不知从何处去分析寻求解题思路, 该题型一般有三种解题思路: 第一,如数列 an是可求和数列,应先求和Sn,再证明不等式;其次,如数列an是不行求和数列,一般先将数列的通项放缩成可求和数列,再求和证明不等式; 第三,如数列是不行求和数列, 对通项的放缩又有肯定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式, 当然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明,下面以例
2、说明;例 1、各项均为正数的等差数列an,a1=3 前 n 项和为 Sn,等比数列bn中,b1=1,且 b2S2=64,ba n是公比为 64 的等比数列;(1) 求 an、bn;(2) 证明 11S1S213Sn4解:(1)设 an的公差为 d, bn的分比为 q(d0,q0)就 an=3+n-1dbn=q n-1ban 1banqan 1 1qan 1qan 1 a nqd 64又 b2S2=q6+d=64可求得: d=2, q=8an=2n+1,bn=8n-1(2)由( 1)知 Sn=nn+2111 11Snnn22nn2明显 1是可求和数列,先求和,再证明不等式Sn 11S1S2111
3、1 1Sn2321 11 435 11nn2= 1 112211n1n21 11 3224原不等式对 nN 成立例 2、等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 对任意的 nN,点n,Sn均在函数 y=bx+rb0 且 b1,b,r 均为常数 的图象上;(1) 求 r 的值;(2) 当 b=2 时设bnn1 n 4anN ,数列1bn 的前 n 项和为 Tn,证明 Tn2解:(1)由已知有 Sn=bn+r,当 n2 时, Sn-1=bn-1+ran=Sn-Sn-1=b-1 bn-1又 a1=b+ra2=b-1b a2a1b1bb brr=-1(2)由 b=2,故( 1)有: an=2n- 1b
4、n= n12 n 1由于 bn 是可求和数列,先求和后证明不等式Tn=b1+b2+b3+ +bnTnn1 T2342223242 3nn12n 1n1223242 n 12n 22111n1n234n 1n 222222- 得: 1 T2Tn3 n322n 1 Tn为递增数列TnT131122Tn1 对 n2N成立例 3、证明不等式: 1112312nn11 ( nN)证明(一)数列1是不行求和数列,应先放缩再证明不等式;n 12nnn1112n1n2n1n123n2 2132 43 n1n =2(1n11 )112312nn11 对nN成立(二)数学归纳法证明(1)当 n=1 时, 1221
5、 ,即 n=1 不等式成立;(2)假设当 n=k nN时不等式成立即: 1112312kk11当 n=k+1 时11123= 2k1111kk122k2k111k111 22=4k1k1412k14 kk1142= 2k111n即 n=k+1 时,不等式成立;由( 1)(2)知,原不等式对 nN均成立例 4、已知数列a前 n 项和为 Sn,点 n,Sn在函数 y=3x-1 的图象上,bn=nn1 an,b前 n 项和为 Bn,证明: Bnnnn3解:由已知: Sn=3n-1当 n=1 时, a1=3-1=2当 n 2 时, an=Sn-Sn-1=23n-1an=23n-1( nN) bnnn1
6、23n 1法(一),明显 bn是不行求和数列,先放缩,再证明不等式; bnnn123n 1 =4n 24n3n 12n1 23n 1=2n+1 3n-1Bn=b1+b2+b3+bn31+53+732+ +2n+1 3n-1令 Tn=31+53+732+ +2n+1 3n-1由错位相减法可求得 Tn=n3nBn n 3n注:也可用均值不等式:nn1nn122n1对 bn 进行放缩;2法(二)用数学归纳法证明: Bn n3n当 n=1 时, B1=b1=2222 131=3即 n=1 时,不等式成立k假设当 n=k+1 时,不等式成立,即 Bkk3k当 n=k+1 时kBk+1=Bk+bk+1k3+ (k1) k223 k 3k+ k1k2223k=3k+33k=k+1 3k+1即 n=k+1 时不等式成立由知: Bn n3n 对 nN均成立由以上例题可知,对于由数列an的前 n 项和 Sn 构成的不等式证明,第一考查 an是否可求和,如能求和,先求出Sn 再证明不等式,如不行求和,要么先将 an 进行放缩成可求和数列,再求和证明不等式;要么利用数学归纳法进行证明,当然仍可构造函数来证明,在这就不说了,期望通过本文,对同学们解答这类题有肯定的启示;2021.4.26