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1、学科分类号：本科生毕业论文题目（中文）：整系数多项式的有理根研究（英文）：The Whole Root Of The RationPolynomial Coefficionts学生姓名：彭立平 学号：06415131系 部：数学与应用数学系专业年级：信息与计算科学2006级指导教师：杨涤尘职 称：副教授湖南人文科技学院教务处制湖南人文科技学院本科毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下, 独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经 注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的 作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人
2、和集体均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名:二。年 月曰摘要3关键词3Abstract3Key Words3刖百41整系数多项式基本内容41. 1 整系数多项式41. 2 木原多项式41.3高斯定理41.4不可约多项式的艾森斯坦判别法61.5多项式的复根与其不可约性72整系数多项式有理根的特征83整系数多项式的若干性质93. 1整系数多项式无整数根的充分性103. 2三次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性103. 3 次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性113. 4有连续整数根的整系数多项式值的估计113. 5整系数多项式无复重根的充分性124
3、整系数多项式是否存在有理根的判定125整系数多项式有理根的检验155. 1整系数多项式有理根的检验方法的简化155. 2整系数多项式有理根的检验范围进行缩小的方法16结语18参考文献18致谢18整系数多项式的有理根研究摘要：整系数多项式在多项式的研究中占有越来越重要的地位，其应用价值也越来越被人们认识。 但是整系数多项式的研究工作山于系数的整数性，导致了研究的相对困难，整系数多项式的许多 结论也就很难证明，部分整系数多项式的结论有看重要意义，这些结论的成立有利于其它整系多 项式相关结论证明。本文就这个问题研究诸多方面：如整系数多项式基本内容；整系数多项式有 理根的特征及其若干性质；整系数多项式
4、是否存在有理根的判定；整系数多项式有理根的检验方 法的简化及检验范围进行缩小的方法。关键词：多项式整系数有理根The Whole Root Of The Rational Polynomial CoefficientsAbstrct: Integer Polynomial in the study of polynomial occupies an increasingly important position, its value will become more recognition. But the whole research Polynomial coefficients as i
5、ntegers, leading to the relative difficulty of the whole polynomial coefficients would be difficult for many of the conclusions that some of the conclusions of the Integer Polynomial of great significance, these findings The establishment of the whole system is conducive to other conclusions that po
6、lynomial. In this paper, many aspects of this study: the basic elements such as Integer Polynomial; Integral Coefficient Polynomials and some properties of root characteristics; Integer Polynomial root determination whether there is reasonable; the whole coefficient of Rational Root test methods and
7、 test a simplified method of narrow scope.Keywords： Polynomial; The entire coefficient; Ration Root前言：多项式是代数学的基本研究对象之一，是研究许多数学分支的工具。在多项 式理论中，关于整系数多项式的有理根的研究，一直是人们有兴趣的问题，整系数多 项式在多项式的研究中占有越来越重要的地位,其应用价值也越来越被人们认识，目前 人们对整系数多项式的有理根已有很多研究，也有不少结果。如钱展望、朱华伟在奥 林匹克数学高三分册一书中阐述了整系数多项式的基本内容，席小忠在整系数多项式 的若干性质一文中对其性
8、质进行了整理，罗永超整理出了整系数多项式是否存在有理 根的判定方法。邓勇解决了整系数多项式有理根检验法的简化，李庆淮解决了整系数 多项式有理根检验范围的压缩，但是整系数多项式的研究工作由于系数的整数性，导致 了研究的相对困难,整系数多项式的许多结论也就很难证明。木文主要有五大部分：第一部分概述了整系数多项式基本内容；第二部分主要讲 整系数多项式有理根的特征；第三部分讲述整系数多项式的若干性质；第四部分讲述 整系数多项式是否存在有理根的判定；第五部分讲述整系数多项式有理根的检验；但 多项式这一传统课题的继续研究，意义重大，尚存在“处女地”可供探索开发。无论 是对多项式理论知识的完善，还是对学生对
9、多项式知识的进一步理解深化，都具有一 定的意义。1、整系数多项式基本内容本节简要地阐述整系数多项式的基本内容，包括本原多项式及高斯(Gauss)引理, 不可约多项式的艾森斯坦(Eisenstein)判别法等1. 1整系数多项式定义1. 1. 1如果一个多项式f(x) = anx +an_lx +. + %的所有系数。0，。1，an都是整数，就称此多项式为整系数多项式。1.2本原多项式定义 1. 1. 2 设 Jx) = anx +all_lxn + . + aAx + a(i eZx,且/壬0。我f|j 将。,%,atJ的最大公约数(，称为J、(x)的容度。容度为1的多项式称为本原多项式。下面
10、的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。1.3高斯引理定理1. 3.1 ZE中两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。反证法，设有两个本原多项式+%广+.+砂+ %与 g(x)=如/ +如_1广+. + b/ +,使得f(x)g(x)不是本原的，则有素数P整除的容度，从而P整除f(x)g(x)的 所有系数。因/仃)是本原的，故P不能整除所有的q，设，是最小的小标，使G.不 被P整除。设s是最小的下标，使仅不被整除。/(x)g(x)中T+s的系数为： Ms +%+1奴一1+外+2奴2+弓一也+1+弓-2奴+2+这个和当然是P的倍数。但另一方面, 因对ir-lj1o如果/在Z上仅有平凡
11、的分解，即不能分解为 牛中两个正次数多项式的积，则称/为Zx中不可约多项式。否则称/在平上 可约(或可分解)。例如，2x + 2是不可约的，而2亍-2在Z上可约。研究/V)在Z上是否可约，显然只需考虑/()是本原多项式的情形。我们注意到, 如果/)在Z上可分解，因ZuQ,则它在Q上当然是可约的。下面的结果表明，反过 来的结论也成立。因此，ZX中的多项式在Z上不可约，与它(看作。同)中多项式)在 Q上不可约是一回事。定理1. 3. 4设/(a) g Zx是本原多项式，如果/(刀)在。上可约，则/(x)在Z上也可约。确切地说，设 /(x) = g(x)h(x),这里 (x),/2(x) G Qx,
12、且 degg,deg/?Zl ,则存在有理 数0使得：/ (x) = ag(x) h(x) ,.1-1.og(x),L/?(x) e Zxaa事实上,由定理1.3.2知，存在有理数a.b , O ag(x) = gl(x)和沥(尤)=仲)都 是本原多项式。于是abf (x) = g3)Cx)由高斯引理，g(Q4(x)是本原多项式，而f也是本原多项式，故0人必须是整数,且没有素因子，即ab = l Q因此，og(x)和上/心)都是(本原的)整系数多项式，证 a毕。由定理1. 3. 3及QLd中的唯一分解定理难证明Zx中的唯一分解定理：ZE中任一非常数的多项式可分解为一个整数与有限个(首项系数为正
13、的)本原不 可约多项式的积；并且，如不计乘积中因式的次序，这些不可约多项式是唯一确定的.由唯一分解定理，便不难定义两个多项式的最大公因式，并建立其基本性质。由 于本文不需要这些内容，因此不作讨论。1.4不可约多项式的艾森斯坦判别法判别一个整系数多项式是否不可约，是一件极其困难和复杂的事情。下面的结果, 给出了多项式为不可约的一个充分条件，用处相当广泛。定理1.4.1 (艾森斯坦判别法)设+ . + /%是一个整系数多项式，其中nlo如果存在一个素数，使得十, 1 = 0,1,2,，-1),但在Z上不可约(从而在Q上也不可约)。这里的证明类似于中的论证。设 有两个(非常数)整系数多项式：g(x) = bkxk + 妃f +. + 姒 + 如 及 h(x) = CjX1 +._广 +. + qx + Co使fCv) = ga)/2(W。因0 = boco被整除，但不被/整除，故/%与中恰有一个被P整除，无妨设po, an = bkc.t x不被P整除。故PM现在可取最小的下标丫使“m， 显然小0 , 乂ar = b()c + + Z?矿因Pty,而和式中其余项都被整除，故pUir,这与定理中条件矛盾，证毕。由定理1.4.1推出，对任意正整数，尸+2都是
