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1、上高中生公益平台：，找学长学姐聊天第二讲数形结合思想1 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确2 数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数
2、特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围3 实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义如等式(x2)2(y1)24，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆1(2013重庆)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|P
3、M|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.答案A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，那么|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.而|PM|PC1|1，|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|454.2 (2011大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2 C. D.答案C解析如图，设a，b，c，则ac，bc.由题意知，O、A、C、B四点共圆当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.3 (2013山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则
4、直线OM斜率的最小值为()A2 B1 C D答案C解析如图，由得A(3，1)此时直线OM的斜率最小，且为.4 (2013课标全国)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案D解析函数y|f(x)|的图象如图当a0时，|f(x)|ax显然成立当a0时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0时，只需在x0时，x22xax成立即ax2成立，a2.综上所述：2a0.故选D.5 (2012天津)已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_
5、答案(0,1)(1,4)解析根据绝对值的意义，y在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0k1或1k4时有两个交点题型一数形结合解决方程的根的个数问题例1(2012福建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_审题破题本题以新定义为背景，要先写出f(x)的解析式，然后将方程f(x)m根的个数转化为函数yf(x)的图象和直线ym的交点个数答案解析由定义可知，f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知，当0m时，f(x)m(mR)恰有三个互
6、不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x20，且x2x321，x2x3.令解得x.x10，x1x2x30.反思归纳研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法一般地，方程f(x)0的根，就是函数f(x)的零点，方程f(x)g(x)的根，就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标变式训练1已知：函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2， 则方程f(x)lg x解的个数是()A5 B7 C9 D10答案C解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0,1的函数又f(x)lg x，则x(0,10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可
7、知共9个交点题型二数形结合解不等式问题例2设有函数f(x)a和g(x)x1，已知x4,0时恒有f(x)g(x)，求实数a的取值范围审题破题x4,0时恒有f(x)g(x)，可以转化为x4,0时，函数f(x)的图象都在函数g(x)的图象下方或者两图象有交点解f(x)g(x)，即ax1，变形得x1a，令y，yx1a. 变形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；表示斜率为，纵截距为1a的平行直线系设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：yxb(b0)，则圆心(2,0)到AT的距离为d，由2得，b6或(舍去)当1a6即a5时，f(x)g(x)反思归纳解决含参数的不
8、等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围变式训练2已知不等式x2ax2a20的解集为P，不等式|x1|3的解集为Q，若PQ，求实数a的取值范围解x2ax2a2(x2a)(xa)0.|x1|3Qx|4x2当2a0时，Px|2axaPQ，解得0a，即a0时，Px|ax2a，PQ，解得1a0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则的取值范围为()A(，1) B(，1C(2,1 D(2,1)审题破题先根据图象确定a，b满足的条件，然后利用的几何意义两点(a，b)，(1,0)连线斜率求范围答案D解析因为a0，所以二次函数
9、f(x)的图象开口向上又f(0)1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内，则有即如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子表示平面区域内的点P(a，b)与点Q(1,0)连线的斜率而直线QA的斜率k1，直线4a2b10的斜率为2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为(2,1)故选D.反思归纳如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1)(a，b)、(m，n)连线的斜率；(2)(a，b)、(m，n)之间的距离；(3)a2b2c2a、b、c为直角三角形的三边；(4
10、)f(ax)f(bx)f(x)图象的对称轴为x.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法变式训练3已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2y26x9的取值范围是()A2,4 B2,16 C4,10 D4,16答案B解析画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，最大值为|QA|216.d22()22.取值范围是2,16题型四数形结合解几何问题例4已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小
11、值时，点P的坐标为()A(，1) B(，1)C(1,2) D(1，2)审题破题本题可以结合图形将抛物线上的点P到焦点的距离转化为到准线的距离，再探求最值答案A解析定点Q(2，1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q的距离和点P到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y1和抛物线y24x的交点时，两距离之和取最小值，解得这个点的坐标是(，1)反思归纳在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值变式训练4已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两
12、条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值解从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPAC|PA|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2.(S四边形PACB)min 2|PA|AC|2.典例(12分)已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围规范解答解(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)；单调减区间为(，)4分(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.6分
