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1、浅谈，-5语言的应用摘要： f 语言在某些重要概念，例如极限，连续，一致连续，黎曼积分中的 运用，以及 f 语言在求函数极限，证明函数连续，一致连续，求黎曼积分中 的运用。关键词：f 极限连续一致连续黎曼积分 引言：在数学分析中，极限是研究函数的有效工具，连续是函数最重要的一种性 态。我们在函数极限的基础上给出了函数连续性的概念，用-5语言来描述函 数极限的概念，函数连续的概念及二者的区别，使深奥的数学逻辑更容易理解;用语言来证明，是抽象的问题变得具体。我们首先接触是在数列极限的概念中:定义1：设%为数列，a为定数。若对任给的正数总存在正整数N, 使得当nN时有I a-a | N时有|%广口0
2、,存在正数如，,使得汽(K|x-% 时，有|f(x)-A| x0)Xf 0对函数极限-$定义应能体会到以下几点：1. 定义2中的正数，相当于数列极限定义中的N,他依赖于，但 也不是由所谓一确定。一般来说，越小，S也相应的要小一些，而且 把5取得更小也无妨。2. 定义2种植要求函数f在心的某一空心邻域内有意义，而一般不考虑函 数f (x)在点。出的函数知是否有定义，或取什么值。这是因为，对于 函数极限我们所研究的适汽X趋于X。过程中函数值得变化趋势。3. 定义2利|的不等式O|x-xo|0,存在正数5使得当x0xx() +J (或X()-J x x()时有| f(x)-A | A(xt万).右极
3、限与 左极限又分别记为 f( a0 +0)= Lim f (x)与 f(、o-0)= Lim f (x).与数列极限相似的是-5在函数极限存在的柯西准则中也有很好的体现。柯西准则：设函数f在(x()； 3)内有定义。Lim f (x) Lim f (x)存在的 充要条件是任给o,存在正数3 (),使得对任何王，x2g (x0, x0+) 有 I f 3)f(尤2)I X()。一0证明：设Lim f (x) =A，则对任给的 0,存在正数3，当 0 I X-Xo I J 时有 I f(X)- A | 6- o当 0 | h | 时有 0 |(Xo+h)- x0 | J于是 I f (xQ +h)
4、 - A | ()反之，设Lim f ( a0 +h) =A,则任给0,则存在正数当(X I h-0 | 哲有 | f(x0+h) - A | 8 当 h= x-x0 , 0 | x-x0 I 时有 0 | h | J ,从而I f(x) A | = | f (x0 +h) - A | x0h0(二)函数连续中的$定义4：设函数f在心的某邻域内有定义。若L/m f (x)= f (x0) (1), lx。则称f(x)在点X。连续。由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而可直接用 M述：f(X) 在心的某邻域内有定义，对任给的0,存在50,使得当I X-XO I 时有I f (x)- f
5、(x0) I (2)o 此定义极作 5。我们如果仔细观察定义5和定义2,可得出函极限于函f(x)在气连续这两 个概念的联系与区别。f(X)在点心有极限是f(X)在点心连续的必要条件；进一步说，f(x)在点气 连续不仅要求f(x)在点X。有极限，而且极限值应等于f(x)在点X。的函数值。(1) 在讨论极限时，我们假定f(x)在点X。的某空心邻域内有定义(f在点互 可以没有定义)，而f(X)在点X。连续则要求f(X)在点心的某邻域内(包括乩) 有定义。由于式当x二%时总成立，所以极限定义中的0|x-x0 | J换成了连续定 义中的|x-A0 |0, J = J()0,似 的对任何Xj, x2 G
6、, n要I Xx-X2 I，有I f(M任f(、2)I ,成函数f(x)在区 间I上一致连续。直观的说，f(x)在区III I 致连续意味着不论两点玉，巧在区间I上处 于什么位置，只要他们的距离小于就可使|f(l)-f(、2)I O函数f(x)在区间I上连续，是指对任给的0,对每一点XGI,都存在正 8=3(8 , X),只要工0 E I 且 |x-X0 o,存在 8 = *,互)，当 Ix-XoIvS 有 |f(x)= f (xo) | .关键 是找8 = 8 (e , X。)。(2) 按一致连续的定义，为证明函数在区间上不一致连续，只需证明存在 某&0对任何正数3(不论它多么小)，存在叫，
7、x2eT,尽管|玉f I况有I f (玉)一”工2)I N&0具体步骤(1) f (x) = -在1=(0, 1)内每一点连续X, x0 el 有 | f (x)-f (x0) I = I I =t | 有三角不等式 I X I 二 I x0+x-x0 I N I X() | - | X-X() I ,故X-x0 I0,则Sv | x0 I所以当 x cl 且|x-x()|v$,有 I f (x)-f (xo) I =|- I X %可见f(x)在心连续。由心的任意性知f(x) = l在1=(0, 1)内每一点连续。(2) f(x)二！在I =(0, 1)内不一致连续 X取勺二1,无论S多么小
8、，AT小于;取 X = 3 ,xo= 属有 I 工广工2 I 二3,但有 | -1- I = 即 f (x)=-22x2 ox在T=(0, 1)内不一致连续。评：本例体现了 f语言在证明函数连续性时的运用，其中3 = 5(八A0)= M说明了 3的取值除依赖于外，还与x有关。在证明函数在区间上 1 + 境不一致连续时，对函数的一致连续的定义的表述加以改变很容易证明不一致连 续。另外，用 f 语言还可以描述f(x)在点集上的连续性。定义7:任给XoWE,对任意0,存在正数，当xeU(x0;J)nE：有I f (x) - f (xo) | 0,取3=!，任意xQ eE, U(x0;)nE= (x0即 | f(x)-f(x0) | = I f (x0) -f (x() I =o.(三)黎曼积分中的项定义8:设f(x)时定义在金,用上的一个函数，J是一个确定的实数。若对任给 的正数,总存在某-正数，使得对。的的任何分割T,及在其上任意选取的点 集比,只要仔|0,对。,司的任一*分割 T:a=xn_ 0,0,在U(x； 3)有无理点玉，有I f(x)-f( I = I Xo-O | = ,即f(x)在心处间断，又由于心取值的 任意性，f(x)在0, 1中的有理点处间断。(2) 当心为0 ,1中的无理点，|
