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1、数值积分与数值微分学习小结姓名 班级 学号一、本章学习体会1. 我的感受：在函数积分中，我们总会遇到难求原函数或者求得原函数后计算量极其庞大的复杂积分，学习了本章数值积分与数值微分后，我知道了可以利用简单函数对这些 复杂积分进行逼近，求出它的近似值，并且根据精度可以无限逼近真实值，将我 们需要求的困难的积分进行替换，得出积分的值，这对简化计算有很大的帮助。2. 我的困惑：经过了这一章数值积分与数值微分的学习，我们主要学习了插值型求积公式和牛顿-科特斯求积公式，求了它们的代数精度和误差范围。根据求积公式的优缺点， 我们乂学习了改进的复化求积公式和龙贝格积分，以及Guess公式。针对不同的 问题，
2、这些经典的求积公式我们该如何选择？（困惑解答在小结思考题处）二、本章知识梳理（一）、数值积分概论1. 数值积分的基本思想：依据积分中值定理，对于连续函数/（X），在Q,切内存在一点S，使得 rb./（/）= I /公=（。一。）/（）,称/（g）为区间,仞的平均高度。Ja2. 求积公式的一般形式:eb3 f (x) dx - A(xQ3. 代数精度的概念:如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多 项式就不能准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。ch4. 插值型求积公式：插值函数为Lagrange函数，求积系数为& = 4（x）dx,k = 0,1,刀Ja5.
3、 求积公式余项:Rn（X）=-一抒wn+（x）,其中叫+1（X）=（Xx）（xX） （XXn ）（n + 1）!（二）、牛顿一柯特斯（Newton-Cote）公式（等距节点的求积公式）b a1 .梯形公式：/u.f(a) + f(b)2.辛普森(Simpson)公式：S = lf(a4f()+f(b)62b - ciC = -7f(xo)4-32f(x1) + 12f(x2)4-32f(xO + 7f(x4)3 .柯特斯(Cote)公式：如其中 h=-g.=Q + kh(k = 0,1,2,3,4)（三）、复合求积公式hn-11. 复合梯形公式：Ttl=-lf(a) + 2工 f(x k) +
4、 f(b)2k=lLjn-1n-12. 复合辛普森(Simpson)公式：S= f(a)+4 f(xk(y) + 2 f(xk) + f(b)6k=0处k=l（四）、龙贝格（Romberg）求积公式1Lj *1uyt律g宓)An)1T/ =K%, k = 1,2,等）万(0)二”0)矿（五）、高斯（Gauss）求积公式1 .插值型求积公式2. 特点：代数精度最高3. 高斯点：高斯-勒让德求积公式高斯-切比雪夫求积公式4. 无穷区间的高斯求积公式：2%1 问斯-拉盖小求积公式：Ak = yk = 0,1,/?XkLn+|（Xk）%1 高斯-埃尔米特求积公式：& =22（n + l）!丑1Hn+i
5、（xk）-（六）、多重积分f dy f(x,y)dx=/(Q,c) + /(o,d) + /0,c)+ /(/?,)Jc Ja4（七）、数值微分/仅尾叫)*。)当修)1 .两点公式：h2广(xj = ；f(xf(x).?尸(g)h21h2r(x0) = -3f(x0) + 4f(x1)-f(x2)_y(0)2h3I122 .三点公式：-f(x0) + f(x2)-4：/，(1)2h6I12广(X2)= kf(x)-4f(X) + 3f(X2)-!广(亳) 2h33. 外推法求导数：G(h) = / (。) + cih2 + ci2hA HF ah21 + h 4%,.心)-GS) GN)=q
6、i三、本章思考题思考题：针对不同的问题，这些经典的求积公式我们该如何选择? 思考：通过查阅资料，我知道了：梯形求积公式对所有次数不超过1的多项式是准确成立的;辛普森求积公式对所有次数不超过3的多项式是准确成立的;牛顿求积公式对所有次数不超过3的多项式是准确成立的；柯特斯求积公式对所有次数不超过5的多项式是准确成立的.此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.由于龙格现象存在，不难得知，牛顿柯特斯求积公式不一定具有收敛性.稳定性和收敛性可知，数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式.四、本章测验题ri (1-e x)2测试题：用梯形公式和辛普森公式计算积分：- dx.n = 10Jo x考察知识点：数值积分的定义；%1 梯形求积公式的计算方法；%1 辛普森求积公式的计算方法。1( _ -x ) 2解：由题,/? = 10, = 0, /? = 1, /? = , /(x)=10xL9复化梯形公式为 =?顷。)+ 27(从)+ /(人)=L391482人=1n99复化辛普森公式为So = f(G + 4N.f(x .) + 2/(%,)4-/(&) = 1.454716A=o七 A=1
