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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -第七章无穷级数一.本章的教学目标及基本要求：（ 1）懂得常数项级数收敛.发散以及收敛级数的和的概念,把握级数的基本性质和收敛的必要条件；（ 2）把握几何级数与p级数的收敛性；（ 3）会用正项级数的比较审敛法.比值审敛法和根值审敛法,把握正项级数的比值审敛法；（ 4）会用交叉级数的莱布尼茨定理；（ 5）明白无穷级数确定收敛与条件收敛的概念,以及确定收敛与条件收敛的关系；（ 6）明白函数项级数的收敛域及和函数的概念；（ 7）把握幂级数的收敛半径.收敛区间及收敛域的求法；（ 8）明白幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,会求一
2、些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和；（ 9）明白函数开放为泰勒级数的充分必要条件；（ 10）把握函数ex .sin x. cos x. ln1x. 1x的麦克劳林开放式,会用它们将一些简洁函数间接开放成幂级数；（ 11）明白傅氏级数的概念以及函数开放成傅氏级数的狄利克雷定理,会将定义在 l . l 上的函数开放成傅氏级数,会将定义在0.l 上的函数开放成正弦级数与余弦级数,会写出傅氏级数的和的表达式；二.本章教学内容的重点和难点：重点 ：无穷级数的收敛与发散,正项级数的审敛法,幂级数的收敛半径与收敛区间的求法难点 ：正项级数的审敛法,幂级数开放,傅立叶级数开放7.1常数
3、项级数的概念及性质一.内容要点1.常数项级数概念：常数项级数.部分和.级数的收敛与发散.余项；2.收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：性质 1：如级数u n 收敛于和s,就级数n 1ku nn 1也收敛,且其和为ks 证明 性质 2：如级数n和为 s 证明 u n .1nvn 分别收敛于和s. ,就级数1u nvnn 1也收敛,且其性质 3：在级数中去掉.加上或转变有限项,不会转变级数的收敛性证明 性质 4：如级数n不变 证明 ；u n 收敛,就对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛,且其和1第 1 页,共 25 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - -
4、 - - - - - - - - - -性质5 级数收敛的必要条件 ：如级数u n 收敛,就它的一般项un 趋于零,即n 1lim un n0 证明 ；一.概念定义 : 设已给定数列u1 .u2 .un. 称形式加法u1 + u2 +u n +为无穷项数项级数.简称数项级数. 又称级数 . 记为u n .即n 1u n = u1 + u 2 + un +.其中称n 1un 为一般项 .将其前 n 项的和 :Sn = u1 + u 2 + un 称为级数的前n 项的部分和 . 或简称部分和 .注 1:由上我们便得到一个数列S1 .S2 .Sn . 从形式上不难知道u n =limn 1nSn .
5、以前我们学过数列的收敛与发散. 进而就不难得出级数的收敛与发散的概念. 换而言之 . 有限个数相加为一数. 无穷多个数相加为否仍为一个数呢.定义 :当 n时 . 如部分和数列Sn有极限S . 即S = limnSn . 就称常数项级数u n 收敛 . 且称 S 为其和 . 并记为 :S = u1 + u2 + unn 1+.如数列Sn没有极限 . 就称u n 发散 .n 1注1:当 级 数 收 敛 时 . 其 部 分 和Sn 又 可 看 成 为 S 的 近 似 值 .两 者 之 差rnSSn = u n1 + un2 +称为级数un 的余项 . 用n 1Sn 代替 S 所产生的误差就为它的绝对
6、值 . 即rn .注 2:到目前为止. 已明白的级数的基本概念. 特别明白了级数u n 的收敛与发散性n 1 敛散性 为由其部分和数列Sn的敛散性所准备的. 精确地说 . 两者敛散性为相同的. 为此 .可 把 级 数 看 成为 数 列 的 一 种 表 现 形 式 .如 设Sn为 一 数列 .令u1 = S1 .u 2 = S2S1 .un = SnSn 1 .n1.2n.就u kSnk 1这样就由一数列产生第 2 页,共 25 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -一个级数 . 可见数列与级数可以相互转化. 例 1
7、争辩一个简洁级数几何级数 等比级数 :aaqaq2aq n 1的敛散性 .其中 a0解:我们先考虑其部分和:Sn = aaqaq2aqn 1利用中学学问. 得Sn =a11q n qq1 时(I) 当 q1 时. 由于lim1Sn = lim aq na=.故几何级数收敛. 且收敛于nn1q1qa.1q(II) 当 q1时. 由于lim1Sn = lim aqn不存在 . 故此时几何级数发散.nn1q(III) 当q1时.此时几何级数为:aaaa.Sn = na n 此时级数发散.(IV) 当 q1 时. 级数为aaaa.Sn = 1n11a .limnSn 不存在. 故此时级数发散.综上所述
8、 . 几何级数在q1 时收敛 . 在 q1时发散 . 例 2证明级数1111收敛 .1 32 43 5n n2证:第一 . 由于1nn21112nn211111 32 435nn2111+ 111+ 111213224235Sn =11112231 11n34+ 121511nn21n2=1112211n1n21 121 = 324第 3 页,共 25 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3原级数收敛 . 且收敛于.4 例 3证明调和级数111231发散 .n111证:Sn =123n23 1=dx +n 1 1
9、dx+dx12 22 1 dx +n3 1dx +nn 1 1dx1 x2 xnxn 1 1n=dx = ln x n1 = ln n11x当 n时. Sn一.性质. 明显limnSn 不存在 .故原级数发散.性质 1: 收敛的必要条件收敛的级数的一般项极限为0. 即un 收敛 . 就n 1lim un0 .n证:设nun 收敛于 S .即 lim1nSn = S .lim unnlim SnnSn lim SnnlimnSn 1SS0注 1:如反之 . 就不愿定成立. 即lim unn0 .原级数un 不愿定收敛.如调和级数n 11n 1 n发散 . 但 lim 10.nn注 2:收敛的必要
10、条件常用来证明级数发散. 即如lim unn0 . 就原级数un 确定不收敛 .n 1性质2:在级数前增加或去掉有限项. 不转变级数的敛散性. 但在级数收敛时. 其和可能转变.证:u1 + u2 +u n +的部分和序列为Snuk 1 + uk2 +u kn +的部分和序列为n.就nSk nSk .由于 k 为有限数 . 就 Sk 为一个有限数 .就limnn 与 lim Sknn 同敛散 .如原级数收敛 . 就 lim Sknn = limnSn = S .就n收敛 .即 u k1 + uk2 + u kn +收敛如 原 级 数 发 散 . 就lim Snn不 存 在 .故limnn 也 不 存 在 .就n发 散 .即第 4 页,共 25 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -uk 1 +u k2 + ukn +发散 .性质 3:如级数un 收敛于 S . 就它的各项都乘以一常数k 所得的级数n 1kun
