《【总结】大学高等数学等价无穷小教学总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【总结】大学高等数学等价无穷小教学总结（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除这个问题许多人都搞不明白，许多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行 ”，包括不少高校老师；其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论；1. 做乘除法的时候肯定可以替换，这个大家都知道；假如 fx ux ， gx vx ，那么 lim fx/gx = lim ux/vx；关键要记住道理 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. lim fx/gx = lim fx/ux * ux/vx * vx/gx其中两项的极限是1 ，所以就顺当替换掉了；2.
2、加减法的时候也可以替换！但是留意保留余项；fx ux 不能推出fx+gx ux+gx ，这个是许多人说不能替换的缘由，但是假如你这样看：fx ux 等价于 fx=ux+ofx，那么 fx+gx=ux+gx+ofx，留意这里是等号，所以肯定是成立的！问题就出在ux+gx 可能由于相消变成高阶的无穷小量，此时余项ofx 成为主导，所以不能忽视掉；当ux+gx 的阶没有提高时，ofx 仍旧是可以忽视的；比如你的例子，ln1+x+x是可以替换的，由于ln1+x+x=x+ox+x=2x+ox，所以 ln1+x+x和 2x 是等价无穷小量；但是假如遇到ln1+x-x ，那么 ln1+x+x=x+ox-x=
3、ox，此时发生了相消，余项 ox 成为了主导项；此时这个式子仍旧是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已；遇到这种情形也不是说就不能替换，假如你换一个高阶近似：ln1+x=x-x2/2+ox2那么ln1+x-x=-x2/2+ox2这个和前面ln1+x-x=ox是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项ox2 可以忽视；也就是说用x-x2/2作为 ln1+x 的等价无穷小量得到的结果更好；只供学习与沟通第 1 页，共 7 页此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除从上面的例子就可以看出来，余项很重要， 不能直接扔掉， 由于余项当中包含了肯定的 信息；而且
4、只要保留余项，那么所做的就是恒等变换留意上面我写的都是等式而不是近似，这种方法永久是可行的，即使得到不定型也不行能得出错误的结论；等你学过带余项的Taylor 公式之后对这一点就会有更好的熟悉；高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中使 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 用，而不能在加减的情形下使用的条件感到有些疑问，于是找了一些资料， 认真的争论了这个问题，整理如下：等价无穷小的定义及常用的等价无穷小无穷小量是指某变化过程中极限为0 的变量；而等价无穷小量是指在某变化过程中比值极限为 1
5、的两个无穷小量；常用的等价无穷小有：sinx tanxarctanxarcsinxln1+xxx 0sin . xtan . x arctan . x arcsin . xln . 1+x xx 01-cosxx2 2,1+x-n- 1 xnx 01-cos . xx22,1+xn-1xnx 0等价无穷小量在求极限问题中特别重要；恰当的使用等价无穷小量代换经常使极限问题大大简化；但是有时却不能使用等价无穷小量代换；等价无穷小替换原理定理 1：设 , 1 , , 1 , 1, 是, 某1一变化过程中的无穷小量，且1 , 1 1, 1，如 lim lim存在，就lim =lim1 1 lim=li
6、m； 1 1例 1：只供学习与沟通第 2 页，共 7 页此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除lim x 0ln1+3xsin2x.limx 0ln . 1+3xsin . 2x.解：lim x0ln1+3xsin2x=limx 03x2x=32.limx 0ln . 1+3xsin . 2x=lim x03x2x=32. |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 例 2 ：lim x 0tanx- sinxx 3 .limx 0tan . x-sin. xx3.错误会法：lim x0tanx- sinxx 3 =l
7、imx 0x- xx 3 =0. limx 0tan . x-sin . xx3=limx0x-xx3=0.正确解法：lim x0tanx- sinxx 3 =limx 0sinx 1-cosxx 3 .cosx=limx 01-cosxx 2 .c osx=limx012cosx=12.limx 0tan . x-sin . xx3=limx 0sin . x1-cos . xx3 . cos. x=limx 01-cos . xx2 . cos. x=limx 012cos. x=12.从上面的解法可以看出， 该题分子不能直接用等价无穷小量替代来做，下面我们分析产生错误的缘由： 等价无穷小
8、之间本身一般并不相等，它们之间一般相差一个较它们高阶的无穷小， 由函数 fx fx 在点 x=0 x=0 处的泰勒公式， 即麦克劳林公式：fx=f0+f0x+f” 02.x2 +.+f n 0n.xn +ox n fx=f0+f 0x+f” 02. x2+ . +fn0n.xn+oxn很简单有：tanx=x+x3 3+2x5 15+ox5 .x 0tan . x=x+x33+2x515+ox5.x0只供学习与沟通第 3 页，共 7 页此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除sinx=x+x3 3.+x 5 5.+x 7 7.+ .+-1m - 1 x2m - 1 2m- 1.+ox2m -
9、 1 .x 0sin. x=x+x33.+x55.+x77.+. +-1m-1x2m-12m-1.+ox2m-1.x0由此可知， sinx与tanx相差一个较 x x 的三阶无穷小，此三阶无穷小与分母 x3 x3 相比不行忽视，由于把上述结论代入原式得 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. lim x 0tanx- sinxx 3 =limx0x33 + x33. +ox 3 x 3 =12.limx 0tan . x-sin. xx3=limx0x33+x33.+ox3x3=12. 由此，我们可以得出：加减情形下不能
10、任凭使用等价无穷小；下面我们给出一个在加减情形下使用等价无穷小的定理并加以证明；在这里我们只争论减的情形，由于我们知道加上一个数可以看成减去这个数的负数；为便利，第一说明下面的定理及推论中的无穷小量其自变量都是x x，其趋近过程都相同：x0x0 ，在有关的极限中都省去了极限的趋近过程；定理 2 ：设 ,1 , ,1 , 1, 是, 某1一变化过程中的无穷小量，且1 , 1 1,1，就 -1 - 1 - 1-的充1分必要条件是lim =k 1lim；=k1证明：1 1 充分性：又1 , 1 .lim 1 =lim1 =1 1,1. lim1=lim1=1就lim =k 1,lim1 1=k 1l
11、im=k 1,lim1 1=k1只供学习与沟通第 4 页，共 7 页此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除lim - 1 -1 =lim1 - 1 1 1 - 1=k - 1k - 1=1lim - 1- 1=lim1-1 1 1-1=k-1k-1=1即 - 1 1 . - 1 1. |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 2 2必要性：, 1 1 .lim - 1 -1 =1 ,11. lim - 1- 1=1即lim - 1 -1 - 1=0lim - 1- 1-1=0通分得lim - 1 1 - 1 - lim -1 1 - 1 =0 lim - 1 1- 1-lim - 1 1-所以lim 1
