排列组合综合应用问题

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1、排列组合综合应用题排列组合综合应用题回顾回顾 引入：引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。和应用问题。和应用问题。 问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？意什么问题？ 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用原理，可用分类法分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘

2、法原；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用理，可用位置法位置法；上述两种称；上述两种称“直接法直接法”,当问题的反面简单当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法明了时，可通过求差排除法,采用采用“间接法间接法”；另外，排列；另外，排列中中“相邻相邻”问题可采用问题可采用捆绑法捆绑法；“分离分离”问题可用问题可用插空法插空法等。等。解排列组合问题，一定要做到解排列组合问题，一定要做到“不重不重”、“不漏不漏”。排列组合、排列组合、不重不漏不重不漏注意问题：注意问题：解题方法：解题方法：互斥分类互斥分类-分类分类法法先后有序先后有序-位置法位置法 反面明了反面明了-排除排除法法相邻排列相邻排列

3、-捆绑捆绑法法分离排列分离排列-插空插空法法2一一. .排列组合综合问题排列组合综合问题 例例1：有：有12 人。按照下列要求分配，求不同的分人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。法种数。分为两组，一组分为两组，一组7人，一组人，一组 5人；人；分为甲、乙两组，甲组分为甲、乙两组，甲组 7人，乙组人，乙组5人；人；分为甲、乙两组，一组分为甲、乙两组，一组 7人，一组人，一组5人；人；分为甲、乙两组，每组分为甲、乙两组，每组6人；人；分为两组，每组分为两组，每组 6人；人；要求：审清题意、仔细分析、周密考虑、防止重漏。要求：审清题意、仔细分析、周密考虑、防止重漏。 分析：分析：把把12 人分成

4、两组，一组人分成两组，一组7人，一组人，一组5人与把人与把12人分成甲、乙两组，甲组人分成甲、乙两组，甲组7人，乙组人，乙组5人，实质上是一样的，人，实质上是一样的，都必须分成两步：第一步从都必须分成两步：第一步从12 人中选出人中选出7人组成一组（或甲人组成一组（或甲组）有组）有C127种方法；第二步，剩余的种方法；第二步，剩余的5人组成一组（或乙组）人组成一组（或乙组）有有C55种方法。所以总的分配种数为种方法。所以总的分配种数为C127.C55种。种。 所以所以、 分配种数都为分配种数都为C127.C55分分 配配 问问 题题 思考思考：把把12 人分为甲、乙两组，一组人分为甲、乙两组，

5、一组7人，一组人，一组5人人,与与 比较比较,有何相同和不同地方有何相同和不同地方? 相同地方都是分成两组相同地方都是分成两组,一组一组7 人人,一组一组5 人人,有有C127.C55种；所不同的种；所不同的是一组是一组7人，一组人，一组5人，并没人，并没有指明甲乙谁是有指明甲乙谁是7人，谁是人，谁是5人，要考虑甲乙的顺序，人，要考虑甲乙的顺序，所以要再乘以所以要再乘以P22 ，所以，所以总的种数为总的种数为C127.C55.A22。 点评：点评：上述问题上述问题是是非平均分配问题非平均分配问题， 没有指出组名没有指出组名给出了组名，而且指明了谁是几个人。这在非平均分给出了组名，而且指明了谁是

6、几个人。这在非平均分配中是一样的。而配中是一样的。而 虽然给出了组名，却没有指明谁是虽然给出了组名，却没有指明谁是几个人，所以这时有顺序问题。几个人，所以这时有顺序问题。 注意：注意： 求求给出了组名，却没有指明哪组多少人的种数给出了组名，却没有指明哪组多少人的种数，可以可以先算未给出组名先算未给出组名（或给出组名并指明哪组多少人）（或给出组名并指明哪组多少人）的的种数，然后乘以组数的阶乘。种数，然后乘以组数的阶乘。分为甲、乙两组，一组分为甲、乙两组，一组 7人，一组人，一组5人；人； 分析：把分析：把12个人分为甲、乙两组，每组个人分为甲、乙两组，每组6人，人，可分成两步，第一步，从可分成两

7、步，第一步，从12人中抽出人中抽出6人给甲组，人给甲组，有有C126种，余下的种，余下的6人给乙组有人给乙组有C66种，所以种，所以共有共有C126.C66种种. 由于没有组名，与由于没有组名，与比较，比较，显然显然分成甲、乙两组是有分成甲、乙两组是有顺序的，如顺序的，如123456分在甲组与分在甲组与123456分在乙组是不一样的，而分在乙组是不一样的，而作为分成两组却是一样的。有顺序的多，无顺序的少，作为分成两组却是一样的。有顺序的多，无顺序的少，象非象非平均分配一样，有组名的种数应该是无平均分配一样，有组名的种数应该是无组名的种数的关于组数组名的种数的关于组数的阶乘倍。的阶乘倍。所以在所

8、以在的基础上除以组数的阶乘的基础上除以组数的阶乘，即，即12个人分个人分为两组，为两组，每组每组 6人的种数为人的种数为C126.C66 / A22种。种。 点评点评：上述上述 属于属于平均分配问题平均分配问题，求没有给出求没有给出组名的种数，可以先求组名的种数，可以先求给出组名的种数给出组名的种数，再除以组，再除以组数的阶乘！数的阶乘！分为甲、乙两组，每组分为甲、乙两组，每组6人；人；分为两组，每组分为两组，每组 6人；人；分为三组，一组分为三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，甲组分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组人，乙组4人，人， 丙组丙组3人；人；

9、分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，每组分为甲、乙、丙三组，每组4人；人；分为三组，每组分为三组，每组4人。人。 练习练习1：有：有12 人。按照下列要求分配，求不同的人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。分法种数。答案答案C125.C74.C33 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33C124.C84.C44分成三组，其中一组分成三组，其中一组2人，另外两组都是人，另外两组都是 5人。人。C122.C105.C55 A22 C124.C84.C44 A33 小结小结：例例1与练习与练习1说明了

10、非平均分配、平均说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。分配以及部分平均分配问题。 1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个，可以在而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个）种数的（或给出组名但不指明各组多少个）种数的基础上基础上乘以乘以组数的全排列数。组数的全排列数。 2.平均分配问题中，平均分配问题中，给出组名的分步求；给出组名的分步求；若没给出组名的，若没给出组名的，一定要在给出组名的基础上一定要在给出组名的

11、基础上除以除以组数的全排列数。组数的全排列数。 3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。平均分配。这样分配问题就解决了。结论结论：给出组名：给出组名(非平均中未指明非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶乘。数的基础上，乘以组数的阶乘。例例2：求不同的排法种数。：求不同的排法种数。6男男2女排成一排，女排成一排，2女相邻；女相邻； 6男男2女排成一排，女排成一排，2女不能相邻；女不能相邻；4男男4女排成一排，同性者相邻；女排成一排，同性者相邻；

12、4男男4女排成一排，同性者不能相邻。女排成一排，同性者不能相邻。分析：分析： 由由2女捆绑成一人与女捆绑成一人与6男全排列男全排列,再把再把2女全排列，女全排列， 有有A77.A22种种 “捆绑法捆绑法” 把把6男男2女女8人全排列，扣去人全排列，扣去 2 女女“ 相邻相邻”就是就是2女女“ 不不相邻相邻”，所以有，所以有A88-A77.A22种。种。“排除法排除法” 还可用还可用“插空法插空法”直接求解：先把直接求解：先把6男全排列，再在男全排列，再在6男相邻的男相邻的7个空位中排个空位中排2女，所以共有女，所以共有A66.A72种种.分分 离离 排排 列列 问问 题题思考思考:对于不相邻的

13、分离排列能否都用对于不相邻的分离排列能否都用“排除法排除法”?若改若改5男男3女女排成一列排成一列,3女不相邻女不相邻,用排除法得用排除法得 对吗对吗 ?(反面不明了反面不明了:有有3女相邻，两两相邻等几种情况。女相邻，两两相邻等几种情况。) 4男男4女排成一列，同性者相邻，把女排成一列，同性者相邻，把4男、男、4女女捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所在地共有在地共有A22.A44.A44种。种。“捆绑法捆绑法” 本题可否用排除法得排列总数为：本题可否用排除法得排列总数为：A88- A22.A44.A44；或用简单或用简单插空法插空法得排列总数

14、为：得排列总数为：A44.A54? 错！错！用排除法时，反面要明了，而这里反面不明了，还用排除法时，反面要明了，而这里反面不明了，还有有2人或人或3人人相邻的相邻的。用简单插空法可能出现两男或两女相邻。用简单插空法可能出现两男或两女相邻的情况。如的情况。如“女男男女男女男女女男男女男女男女” 。 同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，女偶数位，或者对调。女偶数位，或者对调。 总排列数为总排列数为A22.A44.A44种。种。 由此可见，分离排列问题，不能简单地用插空法或排除法由此可见，分离排列问题，不能简单地用插空法或排除法要根据具体的情况具体分析。要根据

15、具体的情况具体分析。 例例3：某乒乓球队有：某乒乓球队有8男男7女共女共15名队员，现进名队员，现进行混合双打训练，两边都必须要行混合双打训练，两边都必须要1男男1女，共有多女，共有多少种不同的搭配方法。少种不同的搭配方法。 分析：每一种搭配都需要分析：每一种搭配都需要2男男2女，所以先要选出女，所以先要选出2男男2女，有女，有C82.C72种；种； 然后考虑然后考虑2男男2女搭配，有多少种方法？女搭配，有多少种方法？男女男女-男女男女 Aa-Bb Ab-Ba Bb-Aa Ba-Ab 显然：显然： 与与； 与与在搭配在搭配上是一样的。所以上是一样的。所以只有只有2种方法，种方法，所以总的搭配方

16、法有所以总的搭配方法有2 C82.C72种。种。搭搭 配配 问问 题题先组后排先组后排 例例4:高二某班要从高二某班要从7名运动员出名运动员出4名组成名组成4100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人都不跑中米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？间两棒的安排方法有多少种？ 分析：从分析：从7人中选出人中选出4人分别安排在第一、二、三、四棒这人分别安排在第一、二、三、四棒这个事，与组合和排列都有关，这里对甲、乙又有特殊的要求，个事，与组合和排列都有关，这里对甲、乙又有特殊的要求，这就有几种不同的情况，所以要分类考虑，先考虑这就有几种不同的情况，所以要分类考虑，先考

17、虑4人的选人的选取有几类？取有几类？再考虑谁跑哪棒。再考虑谁跑哪棒。 直接法：直接法：先组：先组： 分三类。第一类，没有甲、乙，有分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种；种；第二类，有甲无乙或有乙无甲，有第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲种；第三类，既有甲又有乙。有又有乙。有C52种。种。分分 离离 排排 列列 问问 题题 引例引例（曾经作过的题）：（曾经作过的题）： 4名运动员出组成名运动员出组成4100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？ 第一类无甲乙情况：可

18、把第一类无甲乙情况：可把4人全排列，有人全排列，有A44 种；种；第二类甲乙只有一人情况：甲或乙第二类甲乙只有一人情况：甲或乙 先考虑有先考虑有A21种余下的三人全排列有种余下的三人全排列有A33种；第三类甲乙都有的种；第三类甲乙都有的情况：先考虑甲乙有情况：先考虑甲乙有A22种，余下的有种，余下的有A22种。种。 所以，第一类有所以，第一类有C54.A44种种,第二类有第二类有2C53.A21.A32种种,第三类有第三类有C52.A22.A22种。由加法原理；总的安排方法有种。由加法原理；总的安排方法有 N= C54.A44+ 2C53.A21.A33+ C52.A22.A22（种）（种）

19、注意注意：排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，理解其思路和方法是认真体会，理解其思路和方法是先组后排。先组后排。再考虑每一类中要如何安排棒数？再考虑每一类中要如何安排棒数？本例很难象引例那样用间接法解本例很难象引例那样用间接法解。课堂小结课堂小结 本节课，对几个例子的分析讨论，总结了分配问本节课，对几个例子的分析讨论，总结了分配问题，分离排列问题，以及排列组合综合题的解法。题，分离排列问题，以及排列组合综合题的解法。 解排列组合综合题一般应遵循：解排列组合综合题一般应遵循：“先组后排先组后排”的的原则。解题时一定要注意原则。解题时一

20、定要注意“不重、不漏不重、不漏”。解题方法：解题方法：互斥分类互斥分类-分类法分类法先后有序先后有序-位置法位置法 反面明了反面明了-排除法排除法相邻排列相邻排列-捆绑法捆绑法分离排列分离排列-插空法插空法练练 习习 1. 某班有某班有23男男37女共女共60名学生，拟派出名学生，拟派出2个个辩论队，每队辩论队，每队3人，各人，各1男男2女，共有多少种不女，共有多少种不同的搭配方法。同的搭配方法。 2. 高二要从全级高二要从全级10名独唱选手中选出名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演，名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有

21、多少种？练练 习习 3. 15 人按照下列要求分配，求不同的人按照下列要求分配，求不同的分法种数。分法种数。(1)分为三组，每组分为三组，每组5人人,共有共有_ 种不同的分法。种不同的分法。（2）分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各人，另两组各4人，共有人，共有_种不同的分法。种不同的分法。（3）分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组人，一组5人，一组人，一组4人，共有人，共有_种不同的分法。种不同的分法。4. 8名同学选出名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都名站成一排照相，其中甲、乙两人都不站中间两位的排法有不站中间两位的排法有_种。种。

22、 5. 某班有某班有27名男生名男生13女生，要各选女生，要各选3人组成人组成班委会和团支部每队班委会和团支部每队3人，人，3人中人中2男男1女，共有女，共有_ 种不同的选法。种不同的选法。（一）（一）.有条件限制的排列问题有条件限制的排列问题 例例1：5个不同的元素个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。每次取全排列。a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？必须排在首位或末位，有多少种排法？a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？既不在首位也不在末位，有多少种排法？ a,e排在一起多少种排法？排在一起多少种排法？ a,e不相邻有多少种排法？不相邻有多少种排法？ a在在e的左边（可不相

23、邻）有多少种排法？的左边（可不相邻）有多少种排法？ 解：解： （解题思路）分两步完成，把（解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两端有排在首末两端有A22种，再把其余种，再把其余3个元素排在中间个元素排在中间3个位置有个位置有A33种。由乘法种。由乘法共有共有A22. A33=12(种种)排法。排法。要求：开动脑筋，积极思维，不同解法，大胆说出。要求：开动脑筋，积极思维，不同解法，大胆说出。 点评：问题点评：问题是排列问题中某几个元素必须是排列问题中某几个元素必须“在在”某些位置某些位置的问题，处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置的问题，处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置优先

24、考虑优先考虑 。(优限法优限法)二二. .排列组合应用问题排列组合应用问题 解：解： （解题思路（解题思路1）先从）先从b,c,d三个选其中两个三个选其中两个排在首末两位，有排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与种，然后把剩下的一个与a,e排在中间三个位置有排在中间三个位置有A33种，由乘法原理种，由乘法原理: 共有共有A32. A33=36种排列种排列. 点评点评：上述运用了：上述运用了“优限法优限法”，既有条件限制的位，既有条件限制的位置优先考虑的原则，这种解法是置优先考虑的原则，这种解法是直接法直接法。 （解题思路（解题思路2）从反面考虑）从反面考虑“排除法排除法”，既，既间接法间

25、接法。 A55是是5 个元素的全排列数，减去个元素的全排列数，减去a,e分别在排头、排尾的分别在排头、排尾的4种情况有种情况有4A44种。但种。但A55- 4A44=24种。种。上述解法哪个对，哪个错？错在哪里？上述解法哪个对，哪个错？错在哪里？ 分析分析：减去减去a,e分别在排头、排尾的分别在排头、排尾的4种情况用图种情况用图示表示即：示表示即：a;减去减去a排头排头 a;减去减去a排尾排尾e;减去减去e排头排头 e;减去减去e排尾排尾 由图示可看出：四种情况中由图示可看出：四种情况中a排头排头e排尾；排尾； e 排头排头a 排尾各排尾各多减了一次。（遗漏）必须补回，既加上多减了一次。（遗漏

26、）必须补回，既加上2A33种。种。所以间接法的正确答案为：所以间接法的正确答案为： A55- 4A44+2A33（种）排法。（种）排法。 说明说明：在解题过程中，有时用在解题过程中，有时用“排一排排一排”会使思路更清楚。会使思路更清楚。“具体排具体排”是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思 维方法维方法 解：解： （解题思路）（解题思路）a,e排在一起，可以将排在一起，可以将a,e看成看成一个整体一个整体,作为一个元素与其它作为一个元素与其它3个元素全排列，有个元素全排列，有A44种；种； a,e两个元素的全排列数为两个元素的全排列数为A22种，由

27、乘法原种，由乘法原理共有理共有A44. A22(种种)排列。排列。 说明说明：相邻元素排在一起，相当捆绑起来，既相邻元素排在一起，相当捆绑起来，既“捆绑法捆绑法”，捆绑的元素还必须进行全排列。捆绑的元素还必须进行全排列。 解：解：（解题思路）（解题思路）a,e不相邻的反面是不相邻的反面是a,e相邻，反面明了，相邻，反面明了，可利用可利用“排除法排除法”，即用，即用5个元素的全排列数个元素的全排列数A55，扣除，扣除a,e排在一排在一起排列数起排列数A44. A22，则，则a,e不相邻的排列总数为不相邻的排列总数为A55- A44. A22（种）（种） 对不相邻元素的排列问题，一般的还可以利用对

28、不相邻元素的排列问题，一般的还可以利用“插插空法空法”解决。即把解决。即把a,e以外的三个元素全排列有以外的三个元素全排列有A32种，种，再把再把a,e插入三个元素排定后形成的插入三个元素排定后形成的4个空位上有个空位上有A42种，由乘法原理共有种，由乘法原理共有A32. A42 (种种) 说明说明:对不相邻元素的排列问题对不相邻元素的排列问题,一般采用一般采用“插空法插空法”对反面明了的对反面明了的,可用可用“排除法排除法” 解解: :（解题思路）（解题思路） a在在e的左边的左边(可不相邻可不相邻)，这，这表明表明a,e只有一种顺序，但只有一种顺序，但a,e间的排列数为间的排列数为A22，

29、所，所以，可把以，可把5个元素全排列得排列数个元素全排列得排列数A55，然后再除以，然后再除以a,e的排的排列数列数A22。所以共有排列总数为。所以共有排列总数为A55 / A22（种）（种） 注意：若是注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数个元素按一定顺序，则必须除以排列数 P33。 点评点评：排列应用题是实际问题的一种，其指导思想：弄排列应用题是实际问题的一种，其指导思想：弄清题意，联系实际，合理设计，调动相关知识和方法。本清题意，联系实际，合理设计，调动相关知识和方法。本 例是排列的典型问题，解题方法可例是排列的典型问题，解题方法可 借鉴。排列问题思考比较抽象，借鉴。排列问题思考

30、比较抽象， “具体排具体排”是一种把抽象转化具体是一种把抽象转化具体 的好方法。的好方法。 例例2：已知集合：已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9求含有求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。集的个数。（二）有条件限制的组合问题：（二）有条件限制的组合问题： 解法解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类：个元素中至少有两个是偶数可分成三类：2个偶数，个偶数，3个奇数；个奇数；3个偶数，个偶数，2个奇数；个奇数；4个偶数，个偶数，1个奇数。所以共有子集个数为个奇数。所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=10

31、5 解法解法2：从反面考虑，全部子集个数为：从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件，而不符合条件的有两类：的有两类： 5 个都是奇数；个都是奇数；4个奇数，个奇数，1个偶数。所以个偶数。所以共有子集个数为共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105下面解法错在哪里下面解法错在哪里? 例例2：已知集合：已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9求含有求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。集的个数。 至少有两个偶数，可先由至少有两个偶数，可先由4个偶数中取个偶数中取2个偶数，个偶数，然后再由剩下的然后再由剩下的7个数中选个数中选3

32、个组成个组成5个元素集合且满足至个元素集合且满足至少有少有2个是偶数。成以共有子集个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个个) 用用“具体排具体排”来看一看是否重复，如来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选中的一种选法是：选4个偶数中的个偶数中的2，4，又，又C73中选剩下的中选剩下的3个元素不个元素不6，1，3组成集组成集合合2，4，6，1，3，；再看另一种选法：由；再看另一种选法：由C42 中选中选4个偶数中个偶数中的的4，6，又，又C73中选剩下的中选剩下的3个元素不个元素不2，1，3组成集合组成集合4，6，2，1，3。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原。显然这是

33、两个相同和子集，所以重复了。重复的原因是分类不独立。因是分类不独立。（三）排列组合混合问题：（三）排列组合混合问题： 例例3：从：从6名男同学和名男同学和4名女同学中，选出名女同学中，选出3名男同名男同学和学和2名女同学分别承担名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。项工作。一共有多少种分配方案。一共有多少种分配方案。 解解1：分三步完成，：分三步完成，1.选选3名男同学有名男同学有C63种，种，2.选选2名女同学名女同学有有C42种，种，3.对选出的对选出的5人分配人分配5种不同的工作有种不同的工作有A55种，根据乘种，根据乘法原理共有法原理共有C63.C42. A55=14400(种种

34、).那么下列的解法错在哪里那么下列的解法错在哪里? 从从6名男的选出名男的选出3名排列有名排列有A63种种,又从又从4名女的选出名女的选出2名排列名排列,有有A42种种,所以有所以有A63. A63=1440(种种).显然少了显然少了,错在哪错在哪?错在错在A63中排在哪中排在哪3个位置个位置,不明确不明确.同理同理A42中排在哪中排在哪2位位亦不明确亦不明确,所以产生了遗漏现象所以产生了遗漏现象. 例例3：从：从6名男同学和名男同学和4名女同学中，选出名女同学中，选出3名男同名男同学和学和2名女同学分别承担名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。项工作。一共有多少种分配方案。一共有多少种

35、分配方案。 解解2：把工作当作元素，同学看作位置，：把工作当作元素，同学看作位置，1.从从5种种工作中任选工作中任选3种（组合问题）分给种（组合问题）分给6个男同学中的个男同学中的3人（排列人（排列问题）有问题）有C53.A63种种,第二步第二步,将余下的将余下的2个工作分给个工作分给4个女同学个女同学中的中的2人有人有A42种种.根据乘法原理共有根据乘法原理共有C53.A63. A42=14400(种种). 亦可先分配给女同学工作亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作再给男同学分配工作,分配方案分配方案有有C52 . A42.A63=14400(种种). 点评点评:对排列组合的混合问题，

36、解题的关键是要合理分步：对排列组合的混合问题，解题的关键是要合理分步：在分步时一般先组合后排列，这样才能做到不重不漏。在分步时一般先组合后排列，这样才能做到不重不漏。课堂小结课堂小结 排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象。考起来又比较抽象。“具体排具体排”是抽象转化为是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。“具体排具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗漏可以帮助思考，可以找出重复，遗漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方法的原因。有同学总结解排列组合应用题的方法是是“ 想透，排够不重不漏想

37、透，排够不重不漏” 是很有道理的。是很有道理的。 解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。广泛运用。典典 型型 题题 1. 4名优等生被保送到名优等生被保送到3所学校，每所学校，每所学校至少所学校至少得得1名，则不同的保送方案总数为（名，则不同的保送方案总数为（ ）。）。 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 2.若把英语单词若把英语单词“

38、error”中字母的拼写顺序写错了，则可能中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（出现的错误的种数是（ ） （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 3.小于小于50000且含有两个且含有两个5，而其它数字不重复的五位数，而其它数字不重复的五位数有（有（ ）个。）个。 （A) (B) (C) (D) ABB互斥分类互斥分类-分类法分类法先后有序先后有序-位置法位置法 反面明了反面明了-排除法排除法相邻排列相邻排列-捆绑法捆绑法分离排列分离排列-插空法插空法 解排列组合综合应用题一般应遵循：解排列组合综合应用题一般应遵循：“先组后先组后排排”的原则。解题时一定要注意的原则。解题时一定要注意“不重、不漏不重、不漏”。解题方法：解题方法：