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1、统计在产品生产和经济管理中的应用数理统计案例分析 统计在产品生产和经济管理中 的应用 班 级： 信计111 学 号： 2011309010109 姓 名： 赵 越 2013年11月 一、问题分析 随着科学技术的发展和计算机技术的普及，统计在自然科学和社会科学及社会生产中的应用越来越广泛。同样，当今统计与经济的关系也是息息相关的，同时，我国经济学界和经济部门也意识到用数学方法来解决经济问题的重要性，开始探索经济问题中应用数学的规律。几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用。例如：实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。本文将利用统计方法解决一些产品生产与经济
2、管理问题，如经济预测、最大经济利润求解、投资风险、经济损失估计、经济管理决策、产品质量管理等。 二、问题求解 例1 某地区1992年-1996年的消费的零售额（亿元）如下： 年份 零售额y 1992 25.10 1993 35.85 1994 36.60 1995 37.26 1996 38.69 (1)求回归直线方程（年份序号t从1至5） (2)预测一下1997年的零售额？ 解：(1)设一元线性回归方程为 y?0?1t 用最小二乘法求?0，?1 ?ti?1?2?3?4?5?15 i?15? ?i?15yi?25.10?35.85?36.60?37.26?28.69?173.50 ?ti?12
3、?22?32?42?52?55 i?15y ?i?152i?25.102?35.852?36.602?37.262?38.692?6140.02 - 1 - ?i?15tiyi?1?25.10?2?35.85?3?36.6?4?37.26?5?38.692 ?549.09?15? L11?ti2?nt?55?5?10 ?5?i?1n15173.5 L1y?t1yi?nty?549.09?5?28.59 55i?12n?173.5? Lyy?y?ny?6140.02?5?119.57 ?5?i?1所以，有 ?L1y28.59?1?2.859L1110 ?173.515?0?y?1?t?2.859
4、?26.12355所以，一元线性回归方程为 y?26.123?2.859t (2)经检验，线性相关关系显著。 2i2n2(3)故，预测1997年的零售额，只需令t=6带入上式，即 y?26.123?2.859?6?43.277 即1997年的零售额为43。277亿元。 例2 假设由自动线加工的某种零件的内径X（mm）服从正态分布N（，1）内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获得利润，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系： ?1,?T=?20,?5,?x?1010?x?12 x?12问：平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大
5、？ 解： 平均利润 E(T)?20P10?x?12?Px?10?5Px?12?20?(12?)?(10?)?(10?)?51?(12?) ?25?(12?)?21?(10?)?5dE(T)?25?(12?)?21?(10?) du- 2 - 其中 ?(x)和?(x)分别为标准正态分布函数和标准正态密度函数， 令上式为0，得： ?252?e?(12?)22?212?e?(10?)22?0 即 25e解此方程，得 125 ?11?ln?10.9 221?(12?)22?21e?(10?)22 由此知当?=10.9mm时，平均利润最大。 例3 设有一笔资金，总量记为1（可以是1万元，也可以是100万
6、元），如今要投资甲、乙两种证券。若将资金x1投资甲证券，将余下的资金1?x1?x2投资乙证券，于是(x1,x2)就形成了一个投资组合。X为投资甲证券的收益率，Y为投资乙证券的收益率，它们都是随机变量。如果已知和的均值（代表平均收益）分别为?1和?2，方差（代表风险）分别为?1和?22，X和Y的相关系数为?。试求该投资组合的平均收益与风险，并求使投资风险最小的x1是多少？ 解：组合收益为 Z?x1X?x2Y?x1X?(1?x1)Y 平均收益为 E(Z)?x1?1?(1?x1)?2 该组合的风险（方差）为： D(Z)?Dx1X?(1?x1)Y?x12?12?(1?x1)2?22?2x1(1?x1)
7、?1?2 求最小组合风险，即求D(Z)关于x1的极小值点， 为此 令 d(D(Z)?0 dx1解得 ?22?1?2* x1?2 2?1?2?2?1?2它与?1,?2无关。D(Z)中x12的系数为正，所以以上的x1*可使组合风险达到最小。 - 3 - 2 例4 某厂制造一种马达锭子，其内径尺寸是一个非常重要的质量特征，它的分布可以假设为正态分布，下面是从现场收集来的200个数据，经过排列分成11个组。并假设同一组内的锭子都取组中值为其内径。比如第一组44个锭子的内径都假设为20mm，整理得频数表如下： 表6 某种马达锭子内径频数表 内径（mm） 17.5-22.5 22.5-27.5 27.5-
8、32.5 32.5-37.5 37.5-42.5 42.5-47.5 频数 44 36 67 16 18 5 内径（mm） 47.5-52.5 52.5-57.5 57.5-62.5 62.5-67.5 67.5-72.5 频数 6 3 3 1 1 根据频数表画直方图，如下图： 图6 某种马达锭子内径直方图8060频率4020017.5-22.5-27.5-32.5-37.5-42.5-47.5-52.5-57.5-62.5-67.5-22.527.532.537.542.547.552.557.562.567.572.5 x 毫米 注：图中有11个小矩形，每个矩形的面积代表锭子位于该组内的频率，当n趋向无限时，组距无限缩小，它们的顶线接近于一条概率密度曲线。 已知在生产中，表现为在一适当长的时间内产品质量稳定，或在统计上，如果画一张直方图，呈现一种有规则的状态。例如，质量指标服从正态分布等，均可判定产品质量处于管理状态。 - 4 - 4 / 4
