培养“会下金蛋母鸡”的数学家

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1、培养“会下金蛋母鸡”的数学家林节费尔马(1601-1665)是数学史上最伟大的业余数学家，他的名字频繁地与数论联系在一 起。他虽然是一名律师，却酷爱数学，把白己所有的业余时间都用于研究数学。由于他思维 敏捷，记忆力强，通晓外语，执着投入，刻苦顽强，坚持不懈，所以获得了丰硕的研究成果, 被誉为“业余数学家Z干-”，并跻身于)7世纪大数学家Z列。费尔马贡献最大的领域当推数论，其中对于素数的研究成果是费尔马在数学许多领域中 最为突岀的，其中最为著名的当数“费尔马大定理”，它与四色定理、哥徳巴赫猜想并称近 代三大数学难题。300多年来“费尔马大定理” 一氏困扰着数学界，无数数学家为此痴迷却 一筹莫展，

2、为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上儿次悬赏征求答案，世界上许 多著名数学家郭精竭虑，有的英至耗尽了毕生精力但都无功而返.值得庆幸的是，所有数学 家为此展开的研究和成果并没有H费，因为他们所做的前期铺垫性工作为这个故事的闘满结 局打下了坚实的基础，英国数学家安徳鲁怀尔斯正是巧妙地综合了前人的成果，最终揭开 了费尔马大定理的神秘面纱，成为这场旷日持久的接力赛中的最后一棒。费尔马大定理的由来与两位相隔1400年的数学家有关，一位是古希腊的丢番图，一位 就是法国的费尔马.古希腊的丢番图写过一木著名的算术，经历中世纪的愚昧黑暗到文 艺复兴的时候，算术的残本重新被发现研究.1637年，30多岁的

3、费尔马在阅读算术 的法文译木时，在书中关于不定方程x2+y2=z2的全部正整数解这页的空白处，用拉丁文写 道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方Z和；任何一个数的四次方，不能分成两 个数的四次方Z和，一般来说，不可能将一个高于二次的幕分成两个同次的幕之和。”这就 是后来享誉世界的著名的费尔马大定理。这个猜想的简单形式实际上就是：当n2时， xn+yn=zn没有正幣数解。特别引人注意的是，费尔马还写道：“我已发现了这个断语的美妙 证法，可惜这里的空白地方太小，写不下!”尽管现在的学者基木认同他当时不可能有正确 的证明的判断，但这个猜想的正确性却得到了当时数学家的公认，唯一欠缺的就是严格的证

4、 明。这正是费尔马大定理给人们带来的巨大挑战和考验之处。猜想提出后，一代代数学家和 大师们都投身到求证费尔马大定理的行列中。起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功.于 是数学家们调整方向从头开始，首先有所突破的是著名数学家欧拉，他用无限下推法证明了 方程x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有正桀数解.因为任何一个大于2的一整数，如果不是4 的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数，因此，只要能证明n=4以及n是任一奇素数时, 方程都没有正整数解，费尔马大定理就得到完全证明。由于n=4的情形己经得到证明，所 以问题就集中在证明，2等于奇素数的一般情形上，而对此

5、证明简直是难于上青天。在欧拉 证明了 n = 3, n=4以后，1823年和1826年勒让徳和狄利克雷各自独立证明了 n = 5的情形, 1839年拉梅证明了 n = 7的情形。也就是说，经欧拉等数代天才数学家的呕心沥血和不懈努 力，200年间也仅仅解决了 n = 3、4、5、7四种情形，费尔马大定理的难度可见一斑。尽管 进展缓慢茯至是举步维艰，但人们毕竟看到了方向和前景,于是有关费尔马大定理证明的“长 征”被延续讲行。这一“长征”式的证法，虽然在不断刷新记录，但这并不意味着定理被证 明，因此数学家的前进脚步显得蹒跚吃力。直到1847年，徳国数学家库默尔创立了 “代数数论”这一现代重要学科，费

6、尔马大定 理证明的征程终于出现了一盏明亮的“航标灯”。库默尔用近枇代数的方法，引入了白己发 明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫做非正则素 数的值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。他还具体证明了对于小于100 的除了 37, 59和67这三个所谓非正则素数以外，费尔马大定理成立。即当*37、59、67 时，方程xn+yn=zn不可能有正整数解，这就把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是 成立的。库默尔由于“成批地”证明了定理的成立，人们视之为一次重大突破.1857年， 他获得巴黎科学院的金质奖章。需要指出的是，在这一证明过稈中，库默尔的最重要贡

7、献不 在于费尔马大定理木身，而是发明了一种全新的概念一一理想数，这是一种特别有用的涉及 范I韦1极广的概念,他将引出一个更一般的概念理想，以及報个新的数学分支理想论, 后者的基本原理现在已经成为大学一般数学系学生的必修课。尽管费尔马大定理仍没有得到彻底攻克，但其在数学史上的这段历程已经可以说是跌宕 起伏，高潮迭起，传奇不断，令人神往。在普通人的心目中，费尔马大定理已经成为一则极 具吸引力的献身科学的动人励志故事，加上费尔马大定理形式简捷明了，连小学生部能听懂 题意，于是，不仅专搞数学这一行的人，就连很多丁稈师、牧师、教师、学生、银行职员等 都纷纷加入到钻研的行列。英至在很短时间内，各种刊物公布

8、的未经证实的证明就有上千个 Z多。当时，徳国有个名叫数学和物理文献实录的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定, 到1911年初为止，共审查了 111个“证明”，全祁是错的。示來实在受不了沉重的审稿负担, 该杂志终于宣布停止审杏鉴定工作。但是，证明的浪潮仍汹涌澎湃，经久不息，其惊人的魅 力，最具说服力的事例就是，曾在最后时刻挽救H杀青年，他就是徳国实业家、数学爱好者 沃尔夫斯克尔。他在1908年逝世的时候，将他的10万马克赠给了徳国哥庭根科学会，作为 费尔马大定理的解答奖金，这在当时是一笔很大的财富(相当于现在16()多力美元)。哥庭根 科学会宣布，奖金在19082007这100年内有效，但哥庭根科

9、学会不负责审杏稿件。其实 早在费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费尔马大定理的人, 布鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果。随着科学技术的进步，最现代的电脑加数学技巧, 验证了 400万以内的n,但这对最终证明仍无济于事，无数人耗尽心力却劳而无功。经过前人的努力，费尔马大定理的证明取得了许多成果，但离定理的最终证明还很遥远, 于是历经挫折的数学家开始思考，尝试采用传统转化法解决问题。首先他们把丢番图方稈的 解与代数曲线上的某种点联系起来，成为一种代数几何学的转化，而费尔马问题不过是丢番 图方程的一个特例。在黎曼的工作基础上，1922年，英国数学家莫徳尔提出一个重要的猜 想

10、：“设F(x, y)是两个变数x、y的有理系数多项式,那么当曲线F(x, y)=0的亏格(一种与 曲线有关的量)大于1时,方程F(x, y)=0至多只有有限组有理数o 1983年，29岁的徳国 数学家G.法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫徳尔猜想，即 证明了：对于每一个大于2的指数n,费尔马方程xn+yn=zn至多有有限多个解，这一证明 使他赢得了 1986年的菲尔兹奖(数学界最高奖)。他把存在无穷多个解的可能性降低到最多 只可能有有限多个解，这确实是费尔马大定理证明中的又一次重大突破，难怪世界数坛为Z 震动。而更为重大的转机则发生在1985年，徳国数学家费雷证明了费尔

11、马大定理包含在“谷 III一志村猜想” Z中，这源于费雷对口木数学家谷山丰、志村五郎于1955年关于椭圆函数 一个猜想的研究。但是，费雷的证明还有些漏洞，他希望其他数学家帮助他填补。不久，法 国著名数学家塞尔(Serre)提出了 “一个关于模伽罗瓦表示的水平化的猜想”，可以填补费雷 证明中的漏洞，但塞尔没有对白己的猜想给出证明。1986年美国数学家里们特(Ribet)用一 种“美妙的方法”，对塞尔的猜想给出了证明。于是，要证明费尔马猜想，就只要证明“谷 山一志村猜想”。这条崭新迂冋的证明路径的出现，就像一块石了扔进了湖心，最终引发了 石破夭惊的辉煌结果，而打开这扇神秘之门的人就是英国数学家安徳

12、鲁怀尔斯。怀尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，10岁时在图书馆的一木书中看到费尔马大定理 就心驰神往，这条美妙的定理引导他进入了数学的殿堂.在大学里他就开始花费大量时间和 精力试图实现童年的梦想，而学校的教师一再劝他不要H费时间，但费尔马大定理已经深深 印入他的脑海，立志攻克它成为他不变的追求。于是他在进行主流数学研究的同时，还极其 秘密地进行费尔马大定理的研究，导口如瓶，不透半点风声。怀尔斯仍采用代数儿何的方法 去攀登，他把别人的成果奇妙地联系起来，并且吸取了走过这条道路的攻克者的经验教训.a 里伯特用一种“美妙的方法”证明了 “水平化猜想” z后，极大地激发了怀尔斯的工作和想 象力。他说：“

13、当我听到费雷和里伯特的结果时，我知道数学的全景已经变了费雷和里 伯特所做的事情已经使费尔马猜想成为数学不能不管的一个问题的推论。”他深居简出，潜 心研究，全情投入，1111折卓绝，穷七年的锲而不舍，汇集了 20世纪数论所有的突破性成果, 终于获得了决定性成果。1993年6月23 LI,星期三，英国剑桥大学牛顿研究所的大厅里正在讲行例行的学术报 告会.报告人怀尔斯将他的研究成果做了长达两个半小时的发言，10点30分，在他结束报 告时，他平静地宣布：“因此，我证明了费尔马大定理”这旬话像一声惊雷，大厅顿时鸦雀 无声，半分钟后，雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶，英国学者顾不得他们优雅的绅士风 度，忘

14、情地欢腾着。消息很快轰动了全世界，各种大众传媒纷纷报道，并称Z为“世纪性的 成就”。人们欣喜地庆祝怀尔斯最终证明了费尔马大定理，并把此列入1993年世界科技十大 成就2。但在不久，传媒又迅速地报道了一个“爆炸性”新闻：怀尔斯的长达200页的论 文送交审查时，却被发现证明存在漏洞。1993年12月4 II,怀尔斯给他的同行们发出了一 封电了邮件，承认他的证明中确有漏洞。由此可见，数学家对待科学的态度十分严肃慎重, 不容半点含糊，而且更为可贵的是，怀尔斯在如此重大的挫折血前并没有消沉和止步，他用 一年多时河修改论文，补正漏洞，这几乎等同于在毫无出路的绝境中独自战斗。因为这个证 明体系是T力个深奥的

15、数学推理连接成T力个最现代的定理、事实和计算所组成的千冋百转 的逻辑网络，任何一个环节的不慎都会导致前功尽弃，其中难度Z大可想而知。1994年9月19U,星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：解 答原来就在废墟中!热泪夺眶而岀的他重新写岀了一篇长达108页的历史性论文模椭圆曲 线和费尔马大定理，寄往美国.这次论文顺利通过审杳，于1995年5月在美国数学年刊 杂志第142卷发表，姗姗来迟的证明终究以完美的姿态在数学史上定格，一切终于水落石出, 尘埃落定。因为圆满解决“费尔马大定理”，实现了数学领域中的一个梦想，安徳鲁怀尔 斯于1996年3月获得沃尔夫数学奖，于1996年6月获得

16、美国国家科学家院奖，于1997年 6月27口，获得沃尔夫斯克尔10万马克悬赏大奖，于1998年8月荣获菲尔兹特别奖。无 数荣誉和奖项伴随着鲜花掌声接踵而至，这是创造了数学传奇的怀尔斯理所当然得到的.当 然，这也是数学家们共同的成就和荣誉。经过300多年的不断奋战，数学家们世代的努力，围绕费尔马大定理做出了许多重大的 发现，并促进了一些数学分支的发展，尤其是代数数论的进展。美国数学家马tfl尔说：“这 一次证明的东西远远超过了费尔马猜想木身，它产生了一种新的技巧，它是很有用的, 用它还可以证明更多的东西.”这是20世纪最伟大的数学成就2，难怪大数学家希尔伯特 称赞费尔马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”。冋顾“费尔马大定理”的证明历程，我们不 禁对这场“长征”中的数学家们肃然起敬，他们功不可没，应该也必须得到人们的足够尊重, 因为他们都是培育了 “会下金蛋母鸡”的人。摘自中学数学教学参考2009o 12 （6567）