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1、数学文化数学逻辑思维和数学直觉思维的不同点及其在数学解题中的运用关于数学能力，我国长期流行的提法是“三大能力”：数学运算能力，空间想象能力和 逻辑思维能力。这一提法有很强的概括力。但是，它同样忽视应用，突出逻辑的地位，哄至 认为“数学能力的核心是逻辑思维能力”。中学数学教学大纲（试验修订本）将“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然只是去掉 两个字，但是概念的内涵却更加丰富，说明人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在注 重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、肓觉力、想彖力的培养。特别是真觉思维 能力的培养由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数 学是枯燥乏味
2、的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴 趣。数学逻辑思维和数学直觉思维就在进行数学思维时是否遵循明确的逻辑形式和逻供规则而言，数学思维可分为数学逻 辑思维和数学直觉思维。数学逻辑思维就是对命题的分析、推理和证明的过程，从已知前提 导岀结论，从具体对象抽象概括出一定的木质属性，将结论进行推广。数学直觉思维是指对 数学对象（结构及关系）进行某种右接的领悟和洞察。数学逻辑思维和数学直觉思维的关系是辩证的，他们既互相联系,互相补充,又互相对 立。通常地，数学肓觉思维产生的想法，要经过数学逻笹思维进行检验证明；而有的时候, 一步步的分析推理很难解决某些数学问题，或许灵感会带
3、给我们意想不到的惊喜，这就是突 然的顿悟，就是数学育觉思维的结果。数学直觉思维是数学逻辑思维长期积累的结果。同时, 两者还互相对立，即有很明显的不同点。首先表现在：数学逻辑思维是一步步地分析推理,最终得出数学结论；而数学直觉思维 是一瞬间的思维火花，它来自灵感，会使思维者直接得出数学结论。因此，简单地说，数学 逻辑思维是顺序的，数学直觉思维是跳跃的。其次，数学逻辑思维是一部分一部分地检验、证明，从而得出数学结论；而由于直觉思 维是无意识的，发散的，所以数学直觉思维不会专注某个细节，而是从報体上对所研究的数 学对彖做出结论性的判断。因此，可以说，数学逻笹思维是部分的，数学貞觉思维是整体的。还有，
4、数学逻辑思维是经过严密的推理证明而得岀结论的，因此，通过数学逻辑思维而 得出的数学结论应该是正确的，但是，由数学直觉思维产生的结果是不可靠的，它有可能是 正确的，也有可能是错误的。因此，数学逻辑思维是必然的，数学直觉思维是偶然的。二.数学逻辑思维和数学直觉思维在数学解题中的运用下面，我们通过一些具体的数学题目，来体验数学肓觉思维与数学逻辑思维的重要性及 不同点。例_已知数歹ljaj中，a=4, an+1 =(neN),求该数列的通项公式。%+22a?a数学逻辑思维解法：因为己知a. =4,aI1+1 = 二，因此，将1带入an+1 =，叫+2叫+22“42“4从而得出a.=继续计算a3 =从而
5、可以猜想出通项公式为an = -a, +2 3a2+2 54,然后用数学归纳法进行证明验证。2n-l数学直觉思维解法：我们由a胡=丄山很容易联想到物理中并联电阻公式R =an+2R Ri I i11|,它的前身又是一=因此可得出此题中 =+丄，于是就有R+R?RRR，2an+l an 2丄是等差数列，从而有丄=丄+丄5-1),故an=一，然后用数学归纳法进行证 久422n-l明验证。例二已知a0, b0, c0o则以Jf+b? , Va2+4b2 , 妬订匚7的长为边长的 三角形的面积是多少？若用数学逻辑思维方法解答，可用海伦公式及三角形面积公式进行计算。下面，我们试用数学直觉思维方法进行计算
6、。由已知Jatb7, 7a2+4b2 , 74a2+b2 ,我们不难联想到它们分别是三个育角三角形的三条斜边，如图1。凭直觉，我们就可以将他们组成图2。 因此，所求三角形的面积就肓观地表达为矩形与三个肓角三角形的面积Z差的问题了。即1113s = 2a 2b a b 2a b a 2b= ab2 2 2 2图29 Y例三.函数的值域为多少？1 + x2此题若用数学逻辑思维解法，即可用“判别式法”求解。将已知化为y X2 2x + y二0若使x有解，则A=4-4y2 0,从而解得一lWySl。若通过数学肓觉思维，并通过深入观察分析，我们可以发现己知解析式酷似正弦万能公x 942tan 式，因此可
7、用换元法解答：令x = t an ,x g R,则y= =sin&,因为一2 1,21 + tan 22x lsinl,所以一lWyWl,即函数的值域为1, 1。例四.证明恒等式：ax - b)(x -c) + 护(X -c)(x - a) + c2(X - a)(x -b) = x2(a 一 b)(a -c)(b- c)(b - a) (c - a)(c - b)用数学逻辑思维来证明，就是按部就班地，左边通分，得左边_ a2(x -b)(x -c)(c-b) + b2(x -c)(x -a)(a-c) + c2(x -a)(x -b)(a-b)(a-b)(b-c)(c-a)_ (a2c-a2
8、b + ab2 -b2c + bc2 -ac2)x2(a-b)(b-c)(c-a)_ (abc-abc + a2c-a2b4-ab2 -b2c + bc2 -ac2)x2(a-b)(b-c)(c-a)Ja-b)(b-c)(c-a)x2=x2=右边。(a-b)(b-c)(c-a)利用数学直觉思维,我们会发现已知式是一元二次方程,所以最多只有两个根,但当x =a, x = b, x=c代入已知时等式均成立，即此方程有三个根，所以原式为恒等式。例五.一个五位数32541,能否改变备个数字的位置，把它变成五位素数？这道题如果用数学逻辑思维来考虑，也就是着眼于细节分析，就要一一排除，首先排除 个位数是2
9、, 4, 5的情况，然后在逐一考察个位数是1和3的48种情形。若用数学直觉思 维来思考，我们可以从整体上把握，由3 + 2+5+4+1 = 15,我们可以一眼看出，不会变成 索数。由以上几道题可以看出，数学直觉思维和数学逻辑思维在数学解题中部发挥了 El己的特 点，数学逻辑思维按部就班，分析严谨，不易出错；数学育觉思维活跃，积极，有创造性, 尤其在解一些填空、选择题时更能发挥其作用。因此，在数学学习过稈中，应注重培养数学 直觉思维能力。但是，数学直觉思维能力需要以渊博的知识和扎实的数学功底作为基础，即 只有在提高数学逻辑思维能力的基础上，才能提高数学直觉思维能力。因此，数学逻辑思维 和数学肓觉思维两者缺一不可，在数学学习过程中，要注意全面提高数学思维素质。
