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1、一、选择题(共20分，每小题5分)1.设某数兀，那么X的有五位有效数字且绝对误差限是 0.5x105的近似值是()(A ) 0.00693(B) 0.06930(C) 6.9301(D) 0.693012迭代法柿产0(兀)收敛的充分条件是()(A) (x*) 1(B ) 97 (x*)| 1(D)0 (x*) 13经过点 A(0,l),B(l,3),C(2,5)的插值多项式 PC0 =()(A) x (B) x + 2 (C) 2兀+ 1(D) x2 + 4.下面方法中运算量最多的是()(A)高斯消元法(B)高斯全主元消元二、填空题(共20分，每小题5分)1. 为避免相近两数相减，式子(1)
2、y =77,(2)In - In y (x 与 y 很接近)(3)sin( x + ) - sin x (其中 很 小)可化成：(1 )=二(3)=2 已矢 FI f(x) = ax2 +bx-c , 满足 15 /(l) 3 , 2 /(2)4 , -1(3)51/(4)的取值范围3. (p(x) = a(x2 -5)-x要使疋+i =(p(xk)局部收敛到 F = V5 ,a的取值范围是（卩二1, 2, g）则有:阀=岡“H广4计算A = po的三种范数|札8 1 三、解答题（共60分，每小题15分）1.若/（X）在0,3上有四阶连续导数,且已矢口/在0,3有：012于（心）011于S）1
3、试求满足上面插值条件的多项式H，并证明多项式H（x）是唯一的。2 在区间0,1上给定函数/(x) = VI，求其在O=spanl, x中关于/7(x) = 1的最佳平方逼近多项式。3.用迭代法求方程/(x) = x3-2x-5 = 0在区间2,3上的 根，把方程写成三种不同的等价形式，并建立对应的迭 代函数如下：(1 ) x =劲2兀 + 5(2) x = 2 + (3)3x = x 尤一5试讨论根的存在性并写出迭代格式，分析迭代格式(1),(3)的敛散性。4.用直接三角分解法（A = U/）解方程组AX=b：2 4 21 44 9 642 6 9_x3. 13.1. 求出分解式A = LU2
4、. 利用上述分解求d AX =h的解参考答案:一、选择题l.D2.A3. C4.B二、填空题J 无 + 1 + y/X-14 /(4) 0XE In92cos(x + )sin y222.3.4. hlL =10 llll2 = 2VnIIL - 9三、解答题i解答:由给定的4个插值条件，显然可确定一个次数不超过3次 的埃尔米特差值多项式丹，又由H应满足插值条件H(Xj) = f(Xj) ( i=0, 1, 2),而节点x0,x1,x2_h的二次插值 函数“2也满足插值条件N2(xi) = f(xi) , (i=0, 1, 2), 故可设H(x)的形式为：H(x) = N2(x) + A(x-
5、Xq)(x-xl)(x-x2)(其中 A 为待定系数)由条件知：kxk心)一阶差商二阶差商0001111-1/22210NO = - x2 + x2 2 2.3H = x+2 + A(X一 DI 习 + (“0)(x- 2) + (a-0)(x- D 解得：A=-,则H(X)= _丄兀3 +兀2 +丄兀2 2 2再证明多项式H是唯一的(用反证法)设另有一个三次多项式HM也满足插值条件 /Hg = fg (i=0, 1, 2),和片(石)=厂(石)(i=l), 于是函数(p(x) = H(x)-H(X)也是次数不超过三次的多项 式，且有：(p(xi) = H(xi)-H(xi) = fi-fi=
6、O. (1=0, 1, 2),(pxi) = Hxi)-Hxi) = fi-fi =0 (i二 1),即廡兀)至少有4个零点，但0(力是次数不超过三次的多项 式，所以，只能O)三0,即H(x)三H(x),唯一性得证。2解答：已知0o(x) = 1,0(兀)=x ,所求的最佳平方逼近多 项式形如Pl(x) = a0+alx先计算六个内积：(00,00)=加 i ，(00，0)=(000)=卜=，(0，0)二卜彳足的法方程为:(f，0)=卜仮则得到。0卫1应满I - 2 I - 32-32-5一=解得4_1512Cl =15即一次多项式片(兀)=丄无+殳为/(x) = V7在区间0,1上关于p(x) = 1的1 1最佳平方逼近多项式。3解答：由于f(x) = x3-2x-5在区间2,3上连续，且/(2) = -10,所以，方程在2,3上有根。由三种迭代函数可写出三种迭代格式：心+1=xk(k=0, 1,2, 3,)迭代格式（1）, （3）的敛散性：（1）对于迭代格式（1）,其迭代函数为朋）二疝丐， 则WXG 2,3时，有0（x）w2,3,满足条件，且0（兀）0,max2x 1，从而迭代格式（3）但X。工册时，迭代发散。4.解答：(1)分解A = LU得,14=211 2(2)有公式可得:Y二(4, -4, -9)2 4 2 4 _1 2-4，解得 X二(1, 2, -3)3兀3-9
