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1、九、函数的综合问题:典型例题: 例 1.设函数/(X)= ax + cosx,xe 0,/r。(1) 讨论/(x)的单调性；(2) 设f (x) 1 + sin x ,求a的取值范围。【答案】解：/，(x) = -sinxo(1) V xg 0,7i, /. 0 sinx 0 , /(兀)在xe7T上为单调递增函数;当aWO时，广50, /)在xg0,为单调递减函数;当 0 vac 1 时，由 /(X)=()得sin x = a ,由广(x) 0得0 Wx arcsina 或；r一arcsin a x7r ；由 v 0 得 arcsin a x 7T-arcsin a。当0 V。v 1时/(x
2、)在0,arcsine和龙-arcsin刃 上为为单调递增函数；在arcsin 6?,-如csin/上为单调递减函数。9(2)由 /(兀)W 1 + sin 兀恒成立可得 /() 1 -1 1 o兀27i2令 g(兀)= sinxx(0 x 0 ,当尢w (arcsin,)时，gx)0。7T71 2jr27t又g(。) = &(一)=()，所以 g(x)0，即一xsinx(0x)27U222故当 a 时，有 /(兀) x + cosx ,7T7TTT2%1 当 OWxW 时，xsinx , cos x 1,所以 f(x) 1 + sin x o27Tjl227T7T%1 当一 W x7T 时，
3、fx) x + cosx = 1 + (x)-sin(x) 1 + sin x 27171122 综上可知故所求。的取值范围为0,且仅当a=l,兀=一1时fU)=Oo /./(x)是增函数。当QV1时，/(%)=0有两个根X=-yj-a o列表如卜:f(x)的增减性(-g,-1-J1-Q)0增函数(-1-Jl-a,-1 + J 0增函数(2)由题设知，石，心是/(%)=()的两个根，a ,且无= 一2兀一66 x/ = -2x2 - a o1 . 1 f =+ 兀+ ax= -x-ci2HCIX3= |(-2x|2 _) + 0兀二(0_1)兀1_|。 同理，于(兀2)=(4_1)兀2_彳。直
4、线I的解析式为y=-(a-)兀巴。a2(1)3、丿 3设肓线/与x轴的交点为(兀, 0),贝U0= (-l)x0,解得x()=代入/(兀)=X3 +x2 + ax 得M-l)2(1)解得，=()或=-或34【考点】函数的单调性和极值，导数的应用。【解析】(1)求出导函数，分区间讨论即可。(2)由西,勺是/()=0的两个根和(1)的结论,得a 0 og(x)在xw /?上单调递增。又V fx) 0 = /Z(O)时,x0,几兀)单调递增;厂(x)v0 二.厂(0)时，xv(), .f(x)单调递减。A /(x)的单调区间为：单调递增区间为(0,+oo),单调递减区间为(-oo,0) 01 9(2
5、) / /(%) x + tzx + /?,*. ex -(a + )x-b0 0令力(兀)=ex (a-V)xb 得/(兀)=“ 一(a + 1)。%1 当G + 1W ()时，/(兀)(),/2(兀)在*/?上单调递增。但兀一 OO 时，h(x) T 一8 与 /?(%) 0 矛盾。%1 当 6/ 4-1 0 时，由 h(x) 0 得 x ln(a + 1)；由 hx) 0 得 x 0)；则 = x(l -21n ji)。由 Fx) 0 得 0 x 4e 0当 x = 4e 时，F(x)max =|当a = 4e -,h = 4e时，(d + l)/?的最大值为寸。【考点】函数和导函数的性
6、质。【解析】(1)由/(%)=厂一 .f (O)x + g求出/()和广即可得到门切的解析式，根据导数的性 质求出单调区间。(2)由f (%) = - x +1 %2 / (x) | x2 + tzx 4- ft ,表示出(a + l)b,根据导函数的性质求解。 例 4设函数f (x) = exax2(I) 求珥只)的单调区间(II) 若a=l, k为整数,且当x0时,(x-k)f(x) + x + l0 ,求k的最大值【答案】解：(I) f(x)的的定义域为(-8, + 8), f(x)= ex-ao若泊0，贝K(x)= “一a0, f(x)在(-8, + 8)上单调递增。若 a 0 ,则
7、当 xg(-, Ina)时，f(x)= exa 0, /-在(-8, Ina)上单调递减,f(x)在(Ina, + )单调递增。(II) Va=l,：(x-k)f(x) + x + l=(x-k)(eX - l) + x + l。当 x0 时，(x-k)(“-l) + x + l0 ,它等价于 k v 丁 1 + x (x0)。ex -x-2人 / X + 1El x 1令g(x)= +x ,则g (x)= +1=-由(I )知，函数h(x)=ex -x-2在(0, + )上单调递增。Vh(l)=e-30, A h(x)在(0, + 8)上存在唯一的零点。g(x)在(0, + 8)上存在唯一的
8、零点,设此零点为a,则aw (1,2)。当 xg (0, a)时，g，(x)v0；当 xg (a, + )时，g,(x)0X +1.g(x) = 一 + X在(0, + 8)上的最小值为g(a) oe 1n + 1又T g(a)=0 ,即 ea=a + 2 , g(a) = + a =a+1 e (2,3)。ea -1因此kvg(a),即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】(I )分a S 0和a 0讨论f (x)的单调区间即可。(II)由于当 x0 时，(x-k)(cx - l) + x + l 00),令g(x)二 * + 】+ x ,丿ex-lex-l求岀导数
9、，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。例 5.已知函数f (x) = ax2+l(a 0),g(x) = x3+bxCD若曲线f(x)与曲线g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线,求a、b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x) + g(x)的单调区间,并求其在区间(一8, -1)上的最大值。【答案】解： T (1, c)为公共切点,；f (l) = a+l=c, g= l+b=c o *. a+1 = 1+b,即 a = b 。又f(x) = 2ax, g,(x) = 3x2+b,*. f(l) = 2a, g,(l) = 3+b0又曲线f(x)与曲线g(x)在它们的交点(1,
10、c)处具有公共切线，；2a = 3+b 。解，得a = b=3 o(2) V a2 =4b ,设h(x)=f (x) + g(x)=x3 +ax2 +a2x+l o1nn贝ij h(x)=3x综上所述：当a2时，f(x) + g(x)最大值为1。【考点】函数的单调区间和最大值，切线的斜率，导数的应用。【解析】(1)由曲线f(x)与曲线g(x)有公共点(1, C)可得f (l) = g(l)；由曲线f (x)与曲线g(x)在它们的交点(I, C)处具有公共切线可得两切线的斜率相等，即r(i)=g,(i)o联立两式即可求出、b的值。(2)由a2=4b得到f(x) + g(x)只含一个参数的方程,求
11、导可得f(x) + g(x)的单调区间;根据 -15|,和-1三种情况讨论f(x) + g(x)的最大值。例 6.已知函数f (x) = ax2+l(a O),g(x) = x3+bx(1)若曲线f(x)与曲线g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线,求a、b的值;(2)当a=3, b=-9时，若函数f(x) + g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围。【答案】解： I (1, c)为公共切点,Af(l) = a+l=c, g(l) = l+b=Co + 2ax + a2 o hf(x)=3x2 + 2ax +a2=0 ,解得 X = _, x2 = - a ae/ a 0 , ： v o2 6又hG)在各区间的情况如下:若-1-| ,即 a 5 2 H寸，f (x) + g(x)最大值为 f (-l) + g(-l)=a-
