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1、用非线性电路研究混沌现象摘要：本文主要讨论了用非线性屯阻产生混沌现象，运用运算放大器实现了非 线性电阻，测量了菲线性电阻的伏安特性曲线,研究了在不同参数下的混沌图象。 最后乂给出了一个用非线性电容实现混沌的实例。关键字：混沌，非线性电阻，吸引子1. 引言：混沌(Chaos)研究是20世纪物理学的重大事件。混沌研究最先起源 于Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程。后来的研究表明，无论是复杂 系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着 内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象。现在混沌 研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、
2、经济学及工程技术 的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响。混沌包含的物理内容非常广 泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分 形几何学等等。目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时 空混沌、混沌的同步及控制等方面。本实验将借助非线性电阻屯路，从实验上对 这一现象进行一番探索。2. 实验原理1.非线性电阻：实验所用屯路原理图如图1所示。电路中电感力和电容C、G并联构成一个振 荡电路。方程如下：图2非线性兀件尺的r-zft性图1电路泵理图这里，弘、仏是电容c；、G上的电压，几是电感厶上的电流，&二1/凡是电导，g为 砒伏安特性函数。如果斤是线性的
3、，g是常数，电路就是一般的振荡电路，得 到的解是正弦函数。电阻侃的作用是调节C和G的位相差，把C和G两端的电压 分别输入到示波器的x, y轴，则显示的图形是椭圆。如果馄非线性的，会看到 什么现象呢？电路中的斤是非线性元件，它的伏安特性如图2所示，是一个分段 线性的电阻，整体呈现出非线性。g花是一个分段线性函数。由于g总体是非线 性函数，所以以上三元非线性方程组没有解析解。非线性电阻是实现混沌电路的关键。该电路通过一个双运算放大器和六个屯阻组 合来实现的。电路中，LC并联构成振荡电路，局的作用是分相，使A, B两处输入 示波器的信号产生位相差，可得到x, y两个信号的合成图形。双运放TL082的
4、前 级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值用/兄，虑/%有关，负反馈 的强弱与比值兄/召，尿仏有关。当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。 若调节心 正反馈就发生变化，TL082处于振荡状态，表现出非线性，从C, D两 点看，TL082与六个电阻等效于一个非线性电阻。元件参数如下：/?. = 3. 3 k Q,疋二凡二22 kQ,允= 22kQ,虑二虑= 220 Q,理论上它 的伏安特性如图(2)所示。用以上电路可以测量非线性电路的伏安特性曲线，数据和绘制的伏安特性曲 线如下：电压(V) 电流(mA)电压(V) 电流(mA)电压(V) 电流(mA)电压(V) 电流(mA)0.2
5、0.1526-3.0660.20.1526-3.0660.4-0.3037 3.474-0.40.30373.4740.6-0.4558-3.883-0.60.45583.8830.8 0.6069-4.2920.80.60694.2921-0.758104710.758-104.71.2-0.90911 5.1091.20.909115.1091.4-1.0612-5.517-1.41.06-125.5171.6-1.21213-2.181-1.61.212-132811.7-1.28813.2-1.265-1.71.28813.21.2651.81.34613.4-0.346-1.81.3
6、46-13.40.3462-1.4313.45 0.11721.4313.450.1172.2-1.51313.50.1142.21.513-13.5 0.1143-1.83913.60.57231.839-13.6-0.5724-2.24813.81.4942.248-13.8-1.495 2.657142.41152.657-14-2.411由此可见，第一个拐点出现在电压为17伏，第二个拐点出现在电压为12伏 时，电压为13. 5时电流近似为零。观察混沌现象的电路图为:混沌现象表现了非周期有序性，看起来似乎是无序状态，但呈现一定的统计 规律，其基本判据有：（1）频谱分析：局很小时，系统只有
7、一个稳定的状态（对应一个解），随凡的变 化系统由一个稳定状态变成在两个稳定状态之间跳跃（两个解），即由一周期变为二周期，进而两个稳定状态分裂为四个稳定状态（四周期，四个解），八个稳 定状态（八周期，八个解） 直至分裂进入无穷周期，即为连续频谱，接着 进入混沌，系统的状态无法确定；分岔是进入混沌的途径。（2）无穷周期后，由于产生轨道排斥，系统出现局部不稳定；（3）奇异吸引子存在 奇异吸引子有一个复杂但明确的边界，这个边界保证了 在整体上的稳定，在边界内部具有无穷嵌套的自相似结构，运动是混合和随机的, 它对初始条件十分敏感。具体实现方法为：将电容G，G上的电压输入到示波器的X, Y轴，先把局 调到
8、最小，示波器屏上可观察到一条直线，调节心直线变成椭圆，到某一位置, 图形缩成一点。增大示波器的倍率，反向微调侃，可见曲线作倍周期变化，曲线 由一周期增为二周期，由二周期倍增至四周，直至一系列难以计数的无首 尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集。再细微调节局，单吸引子突然变成了 双吸引子，只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是 混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种奇怪吸引子，它的特点是整体 上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在。利用这个电路，还可以观察到周期性 窗口，仔细调节局，有时原先的混沌吸引子不是倍周期变化，却突然出现了一个 三周期图像，再微调兄，乂出现混沌吸
9、引子，这一现象称为出现了周期性窗口。 混沌现象的另一个特征是对于初值的敏感性。观察并记录不同倍周期时Uct图 和局的值。局二2050 Q凶Oscilloscope-XSC 1Channel AChannel BSaveGNOrChannel A Channel BT1创T2刪T2-T1厂 Timebase Scale |?0 rr.X positionI Y/T|AM|ACj 0 I DC ( | AC| 0 foTR G |$ing|Nor A9. 55稳定平衡点R二9. 55分岔点8. 85R9. 55周期一8.6 R8. 85周期二8. 55R8. 60周期四8. 22R8. 52单涡卷
10、混沌周期八及更高分岔8. 17R8. 22周期三周期窗7. 45R8. 17单涡卷混沌R7. 45双涡卷混沌及周期窗3. 结论：在混沌屯路的实现中，非线性元件的实现是一个关键。在本实验中, 成功的实现了非线性电阻和非线性电容，并观察到了混沌现象。4. 参考文献1 刘孝贤K王英龙K等.低阶混沌屯路非线性动力学特性的数学模型与仿真山东科学K2001K14; 4GP529.2 郝柏林 分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它物理学进展，19833 赵凯华从单摆到混沌现代物理知识，19944 郝柏林 从抛物线谈起一一混沌动力学引论 上海：上海科技教育出版社， 19935 张连芳等非线性电路中混沌现象的模拟实验工科物理增刊北京：清华 大学出版社，19986 E.H.洛伦兹 混沌的本质 北京：气象出版社，19977 P.R. Hobson and A. NLansbury. A simple electronic circuit todemonstrate bi furcation and chaos. Physics Education, 1997
