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1、本资料来源于七彩教育网09年高考理科数学模拟考试试卷 数学试卷 （理科） 2009.04说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1若复数（是虚数单位），则 . 2. 已知函数，是的反函数，若的图像过点，则 . 第5题图3. 用金属薄板制作一个直径为米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料 平方米（保留3位小数）. 4. 设、是平面内一组基向量，且、
2、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即 . 5. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为 . 6. 关于x、y的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则 7. 在极坐标系中，设曲线和相交于点、，则 . 8. 设联结双曲线与（，）的个顶点的四边形面积为，联结其个焦点的四边形面积为，则的最大值为 .9. 将函数的图像向左平移（）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 第10题图10. 园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域. 要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花，相邻区域须用不同颜色的鲜花. 设花
3、圃中布置红色鲜花的区域数量为，则随机变量的数学期望 .11. 已知数列是首项为、公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是 . 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.12. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是 （ ） A ； B. ； C. ; D. .13. 设数列的首项且前项和为.已知向量，满足，则 （ ） A. ； B. ; C. ; D
4、. .14. 在ABC中，“”是“ABC为钝角三角形”的 （ ）A必要非充分条件； B充分非必要条件； C充要条件； D既非充分又非必要条件.15. 现有两个命题：（1） 若，且不等式恒成立，则的取值范围是集合；（2） 若函数，的图像与函数的图像没有交点，则的取值范围是集合；则以下集合关系正确的是 （ ）A ； B. ； C. ； D. .三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16. （本题满分12分）过抛物线的焦点且方向向量为的直线交该抛物线于、两点，求的值.17. （本题满分14分） 已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列
5、举法表示满足条件的的取值集合.18. （本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）若，（、）.(1) 求的值；（2）求证：数列各项均为奇数.19. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部是矩形，其中米，米.上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆（和不重合）.（1）当和之间的距离为1米时，求此时三角通风窗的通风面积；（2）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；（
6、3）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积.第19题图20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，. ，（1） 求异面直线与所成角的大小；（2） 若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角. 试判断曲线的形状并说明理由；（3）在平面内，设点是（2）题中的曲线在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中为曲线和的交点. 以为圆心，为半径的圆分别与梯形的边、交于、两点. 当点在曲线段上运动时，试提出一个研究有关四面体的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝
7、试解决. 第20题图【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数】上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研 数学试卷参考答案及评分标准（文理科） 2009.04一、填空题（每题5分，理科总分55分、文科总分60分）：1. ； 2. 理：2；文：； 3. 理：1.885；文：2；4. 理：；文：1.885； 5. 理：；文：4； 6. 理：；文：；7. 理：；文：； 8. 理：；文：6； 9. 理：；文：；10. 理：1； 文：； 11. 理：；文：； 12. 文：；二、选择题（每题4分，总分16分）： 题号理12；文13理13
8、；文14理：14；文：15理15；文：16答案ACBC三、解答题： 16.（理，满分12分）解：因为抛物线的焦点的坐标为，设、，由条件，则直线的方程为，代入抛物线方程，可得，则.于是，.2481217.（文，满分12分）解：因为，所以由条件可得，.即数列是公比的等比数列.又，所以，.46812（理）17.（文）18. （满分14分）解：因为所以，即或，或，又由，即当时，或；当时，或.所以，集合.37111418.(理，满分15分，第1小题6分，第2小题9分）解：（1）当时， 故，所以.（2）证：由数学归纳法（i）当时，易知，为奇数；（ii）假设当时，其中为奇数；则当时， 所以，又、，所以是偶数
9、，而由归纳假设知是奇数，故也是奇数.综上（i）、（ii）可知，的值一定是奇数.证法二：因为当为奇数时，则当时，是奇数；当时，因为其中中必能被2整除，所以为偶数，于是，必为奇数；当为偶数时，其中均能被2整除，于是必为奇数.综上可知，各项均为奇数.36810141510141519. （文，满分14分）解：如图，设中点为，联结、.AOCB第19题图D由题意，,所以为等边三角形，故，且.又，所以.而圆锥体的底面圆面积为,所以圆锥体体积.381014（理）19. （文）20. （满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）解：（1）由题意，当和之间的距离为1米时，应位于上方，且此时中边上的高
10、为0.5米. 又因为米，可得米.所以，平方米，即三角通风窗的通风面积为平方米.（2）1如图（1）所示，当在矩形区域滑动，即时，的面积；2如图（2）所示，当在半圆形区域滑动，即时，故可得的面积 ；综合可得：（3）1当在矩形区域滑动时，在区间上单调递减，则有；2当在半圆形区域滑动时，等号成立，.因而当（米）时，每个三角通风窗得到最大通风面积，最大面积为（平方米）.24691012151621（文，满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）解：（1）设右焦点坐标为（）.因为双曲线C为等轴双曲线，所以其渐近线必为，由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且.于是可知，为等腰直角三角形，则
11、由，又由等轴双曲线中，.即，等轴双曲线的方程为.（2）设、为双曲线直线的两个交点.因为，直线的方向向量为，直线的方程为.代入双曲线的方程，可得，于是有而 .（3）假设存在定点，使为常数，其中，为直线与双曲线的两个交点的坐标. 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为代入，可得. 由题意可知，则有 ， 于是，要使是与无关的常数，当且仅当，此时. 当直线与轴垂直时，可得点,， 若，亦为常数.综上可知，在轴上存在定点，使为常数.3579111316171820（理，满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）解：（1）解法一：由题意，四边形是直角梯形，且，则与所成的角即为. 因为，又平面，所以平面，则有. 因为，,所以，则，即异面直线与所成角的大小为.解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，建立空间直角坐标系.于是有、，则有，又则异面直线与所成角满足, 所以，异面直线与所成角的大小为.（2）解法一：由条件，过作，垂足为，联结. 于是有，故与所成角即为. 在平面中，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系. 设动点，则有又平面，所以.所以，即.所以，可判定曲线是双曲线.（2）解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，建立空间直角坐标系.设点，点、点、点，则，由，化简整理得到，则曲线是平面内的双曲线.（3）解：在如图所示的的坐标
