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1、本资料来源于七彩教育网09年高考理科数学模拟考试试卷 数学试卷 (理科) 2009.04说明:本试卷满分150分,考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸,每道题的解答必须写在答题纸的相应位置,本卷上任何解答都不作评分依据。一、填空题(本大题满分55分)本大题共有11小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分,填错或不填在正确的位置一律得零分.1若复数(是虚数单位),则 . 2. 已知函数,是的反函数,若的图像过点,则 . 第5题图3. 用金属薄板制作一个直径为米,长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗,则需要原材料 平方米(保留3位小数). 4. 设、是平面内一组基向量,且、
2、,则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合,即 . 5. 右图是某算法的程序框图,该算法可表示分段函数,则其输出结果所表示的分段函数为 . 6. 关于x、y的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换,最后得到的矩阵为,则 7. 在极坐标系中,设曲线和相交于点、,则 . 8. 设联结双曲线与(,)的个顶点的四边形面积为,联结其个焦点的四边形面积为,则的最大值为 .9. 将函数的图像向左平移()个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则的最小值为 第10题图10. 园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域. 要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花,相邻区域须用不同颜色的鲜花. 设花
3、圃中布置红色鲜花的区域数量为,则随机变量的数学期望 .11. 已知数列是首项为、公差为1的等差数列,数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是 . 二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分,不选、选错或选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内),或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分.12. 以下向量中,能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是 ( ) A ; B. ; C. ; D. .13. 设数列的首项且前项和为.已知向量,满足,则 ( ) A. ; B. ; C. ; D
4、. .14. 在ABC中,“”是“ABC为钝角三角形”的 ( )A必要非充分条件; B充分非必要条件; C充要条件; D既非充分又非必要条件.15. 现有两个命题:(1) 若,且不等式恒成立,则的取值范围是集合;(2) 若函数,的图像与函数的图像没有交点,则的取值范围是集合;则以下集合关系正确的是 ( )A ; B. ; C. ; D. .三、解答题(本大题满分79分)本大题共有6题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16. (本题满分12分)过抛物线的焦点且方向向量为的直线交该抛物线于、两点,求的值.17. (本题满分14分) 已知复数,(是虚数单位),且.当实数时,试用列
5、举法表示满足条件的的取值集合.18. (本题满分15分,第1小题6分,第2小题9分)若,(、).(1) 求的值;(2)求证:数列各项均为奇数.19. (本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部是矩形,其中米,米.上部是个半圆,固定点为的中点.是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆(和不重合).(1)当和之间的距离为1米时,求此时三角通风窗的通风面积;(2)设与之间的距离为米,试将三角通风窗的通风面积(平方米)表示成关于的函数;(
6、3)当与之间的距离为多少米时,三角通风窗的通风面积最大?并求出这个最大面积.第19题图20. (本题满分22分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题12分)如图,四棱锥中,平面,四边形是直角梯形,其中,. ,(1) 求异面直线与所成角的大小;(2) 若平面内有一经过点的曲线,该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角. 试判断曲线的形状并说明理由;(3)在平面内,设点是(2)题中的曲线在直角梯形内部(包括边界)的一段曲线上的动点,其中为曲线和的交点. 以为圆心,为半径的圆分别与梯形的边、交于、两点. 当点在曲线段上运动时,试提出一个研究有关四面体的问题(如体积、线面、面面关系等)并尝
7、试解决. 第20题图【说明:本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分;本小题的计算结果可以使用近似值,保留3位小数】上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研 数学试卷参考答案及评分标准(文理科) 2009.04一、填空题(每题5分,理科总分55分、文科总分60分):1. ; 2. 理:2;文:; 3. 理:1.885;文:2;4. 理:;文:1.885; 5. 理:;文:4; 6. 理:;文:;7. 理:;文:; 8. 理:;文:6; 9. 理:;文:;10. 理:1; 文:; 11. 理:;文:; 12. 文:;二、选择题(每题4分,总分16分): 题号理12;文13理13
8、;文14理:14;文:15理15;文:16答案ACBC三、解答题: 16.(理,满分12分)解:因为抛物线的焦点的坐标为,设、,由条件,则直线的方程为,代入抛物线方程,可得,则.于是,.2481217.(文,满分12分)解:因为,所以由条件可得,.即数列是公比的等比数列.又,所以,.46812(理)17.(文)18. (满分14分)解:因为所以,即或,或,又由,即当时,或;当时,或.所以,集合.37111418.(理,满分15分,第1小题6分,第2小题9分)解:(1)当时, 故,所以.(2)证:由数学归纳法(i)当时,易知,为奇数;(ii)假设当时,其中为奇数;则当时, 所以,又、,所以是偶数
9、,而由归纳假设知是奇数,故也是奇数.综上(i)、(ii)可知,的值一定是奇数.证法二:因为当为奇数时,则当时,是奇数;当时,因为其中中必能被2整除,所以为偶数,于是,必为奇数;当为偶数时,其中均能被2整除,于是必为奇数.综上可知,各项均为奇数.36810141510141519. (文,满分14分)解:如图,设中点为,联结、.AOCB第19题图D由题意,,所以为等边三角形,故,且.又,所以.而圆锥体的底面圆面积为,所以圆锥体体积.381014(理)19. (文)20. (满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)解:(1)由题意,当和之间的距离为1米时,应位于上方,且此时中边上的高
10、为0.5米. 又因为米,可得米.所以,平方米,即三角通风窗的通风面积为平方米.(2)1如图(1)所示,当在矩形区域滑动,即时,的面积;2如图(2)所示,当在半圆形区域滑动,即时,故可得的面积 ;综合可得:(3)1当在矩形区域滑动时,在区间上单调递减,则有;2当在半圆形区域滑动时,等号成立,.因而当(米)时,每个三角通风窗得到最大通风面积,最大面积为(平方米).24691012151621(文,满分18分,第1小题5分,第2小题6分,第3小题7分)解:(1)设右焦点坐标为().因为双曲线C为等轴双曲线,所以其渐近线必为,由对称性可知,右焦点到两条渐近线距离相等,且.于是可知,为等腰直角三角形,则
11、由,又由等轴双曲线中,.即,等轴双曲线的方程为.(2)设、为双曲线直线的两个交点.因为,直线的方向向量为,直线的方程为.代入双曲线的方程,可得,于是有而 .(3)假设存在定点,使为常数,其中,为直线与双曲线的两个交点的坐标. 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为代入,可得. 由题意可知,则有 , 于是,要使是与无关的常数,当且仅当,此时. 当直线与轴垂直时,可得点,, 若,亦为常数.综上可知,在轴上存在定点,使为常数.3579111316171820(理,满分22分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题12分)解:(1)解法一:由题意,四边形是直角梯形,且,则与所成的角即为. 因为,又平面,所以平面,则有. 因为,,所以,则,即异面直线与所成角的大小为.解法二:如图,以为原点,直线为轴、直线为轴、直线为轴,建立空间直角坐标系.于是有、,则有,又则异面直线与所成角满足, 所以,异面直线与所成角的大小为.(2)解法一:由条件,过作,垂足为,联结. 于是有,故与所成角即为. 在平面中,以为原点,直线为轴,直线为轴,建立平面直角坐标系. 设动点,则有又平面,所以.所以,即.所以,可判定曲线是双曲线.(2)解法二:如图,以为原点,直线为轴、直线为轴、直线为轴,建立空间直角坐标系.设点,点、点、点,则,由,化简整理得到,则曲线是平面内的双曲线.(3)解:在如图所示的的坐标