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1、不等式的证明课堂实录 一、不等式证明的常用方法和基本不等式 师：前面我们复习了不等式的性质，现在开头复习不等式的证明.下面我们先来看一个问题：例1求证：(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2如何证明这个不等式呢？我们回忆一下，不等式证明有哪些常用的方法？生：比较法、分析法和综合法.师：什么是比较法？这个不等式能不能用比较法来证明？生：要证明ab，只要证明a-b0，这就是不等式证明的比较法，这个不等式能用比较法证明.证法一(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2=(bc-ad)20(a2+b2)(c2+d2)(a
2、c+bd)2师：用比较法证明不等式的基本步骤有哪些？生：有三步：(1)作差(2)变形(3)确定符号师：什么是分析法？这个不等式能不能用分析法来证明？生：从求证的不等式动身，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题；假如能够确定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法就是不等式证明的分析法.这个不等式能用分析法来证明.证法二要证明(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2只要证明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2a2c2+2abcd+b2d2也就是证明b2c2+a2d22abcd即(bc-ad)20(bc-ad)20成立(a2+b2)(c2
3、+d2)(ac+bd)2成立(老师指出应用分析法证明时要留意书写格式)师：什么是综合法？这个不等式能不能用综合法来证明？生：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式，这种方法是不等式证明的综合法，这个不等式能用综合法来证明.证法三b2c2+a2d22abcda2c2+b2d2+b2c2+a2d2a2c2+2abcd+b2d2即(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2师：应用综合法证明的关键是找出作为基础的已经证明过的不等式.这些不等式大都是基本不等式，主要有：a2+b22ab(a、bR)(a、bR+)这里要留意：(1)不等式成立的条件，字母的允许值范围；
4、(2)当且仅当a=b时，等号成立.这里转变了高三复习课先整理学问，然后讲解例题的传统模式，而是先提出问题让同学思索，创设问题情境，激起同学复习的欲望和要求，唤起同学对旧学问的回忆，引起同学的思维.这样可以提高同学复习的乐观性.在此基础上，通过老师的启发，让同学自己逐步回忆过去所学的学问，应用它们来分析问题和解决问题，最好引导同学自己归纳、整理旧学问，形成比较系统和完整的学问结构.二、不等式证明方法的应用例2已知a、b、c是不全相等的正数.求证：(先让同学谈论，然后由同学起来回答，老师板书.)证明：a、b、c是不全相等的正数中等号不同时成立即(假如同学按上述步骤进行证明，老师应提出：这样证明有没有问题？让同学通过思索后发觉：在证明一开头必需先指出a、b、cR+，否则不能确定、是否成立.)师：在证明不等式时，应留意以下几点：(1)不等式的逆向运用，要证明不等式可以先证明它的逆向不等式.(2)已知条件在不等式证明中的应用.由于a、b、c是三个不全相等的正数，从而得出、中三个等号不同时成立，于是才能证得原不等式成立.(3)同向不等式相加是用综合法证明不等式的常用手段.例3已知a、b、cR+，求证：(师生4
