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1、从高考答卷的错误反思教学缺失带格式的：缩进：首行缩进：1.96 摘要 在近两年关于“曲线与方程有关的高考试题答卷中出现了普遍性的错误反思教学的现状，就 |字符会发现存在着教学的缺失，以题型训练和代数演算代替对核心概念本质的理解，忽视数学思想的渗透，学生没有领会概念的内涵.因此用课标引领教学，消除认识上的误区，不断渗透数形结合思想，循序渐进地让学生理解曲线与方程的本质涵义，加强推理运算能力是解决问题的根本之法.一亠_带格式的：缩进：首行缩进：1.46关置词高考答卷错误反思教学缺失* 丫符1问题背景先看看近两年关于“曲线与方程”的两道高考试题，了解学生答卷情况.兀2第一题：已知一条双曲线y-y2
2、= 1的左、右顶点分别为人,人2,点P（yJ，e（x,-y,）是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线Af与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）若过点的两条直线人和厶与轨迹E都只有一个交点，且厶丄/2,求力的值（本题为2010年高考数学广东卷理科第20题）从高考阅卷的悄况来看，绝大多数考生在解答（1）时分析条件不仔细，运算中推理不严谨，没能发现的曲线的限制条件,找出方程中变量的取值范围，造成所求的轨迹不具备完备性,也就不能排出椭圆的 四个顶点，也就引起（2）解题失误.从高考阅卷的统计结果來看,该题得分率不足0.08,而且只有两个 考主全对，不足十万之一.从对优生学生的访谈來看也因没有正确地求得曲线的
3、范围，引起了（2）的失 蟆.由此可见，在教学中只注重求轨迹方程的解题技巧，而不重视对本质的揭示是一个普遍存在的严重问 题，必须引起我们的警示和反思.第二题：在平而直角坐标系xOy |,直线l ;x = -2交兀轴于点设P是/上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足ZMPO = ZAOP .（1）当点P在/上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）己知厂（1,一1）.设丹是E上动点,求HO + HT的最小值,并给出此时点H的坐标;（3）过点厂（1,-1）且不平行于）轴的直线人与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线A的斜率R的 取值范用.（本题为2011年高考数学广东卷文科第21题）题目的所有条
4、件都是以儿何方式呈现的，自然就要利用儿何直观进行分析，画出图形后，容易由平面 儿何知识转化条件得到轨迹的方程，但观察要全面，不小心会漏掉射线部分而使得求得轨迹方程缺少纯粹 性；只要观察到0恰为抛物线的焦点，（2）的解答便是水到渠成，利用儿何直观，（3）则更是显而易见.可 见这个问题并不难，但阅卷的结果出人意外，得分率不足0.05,最高分X分，全省只有两人.看到这一 严酷的现实后來反思教学现状,则乂在悄理Z中.这是一道原牛态的轨迹问题，需要考生能够从儿何条件 出发,分析出等最关系化简得轨迹方程,在平时多于题型练习，少于基本原理的理解，遇到这类问题教学 的缺陷就暴露无遗了.从这现两年的高考答卷中可
5、以看出，对同一类型的问題都发生了全省性的普遍错谋，反映出了一个严 重的问题，“曲线与方程”的教学存在严重的缺失.2答卷错误及原因分析对于第一题，笔者参加了 2010年广东省的高考评卷，了解考生该题的答卷情况：（1）出现了大量的 空口卷；（2）有不少考生虽有作答，但不明确轨迹方程的本质是什么，因而不知道求轨迹方法要解决什么 问题，表现在卷面上就是列出直线AP与A2Q方程,不明确所得两条直线与所求轨迹的关系，因而没冇设 玄消参得动点的坐标Z间的关系；（3）冇部分考牛虽然知道消参，但推理运算能力太差，不能正确地消去 参数求普通方程；（4）能够求出轨迹方程的考生中，大多不淸楚轨迹方程包括方程和范阖两部
6、分，表现在 答卷上就是虽然消去了参数，但不能求出限制条件，即曲线的范围.（5）只有极少数考生，明确求轨迹方 程的准确含义，但在推理的过程中不注意分析曲线与方程的等价性，不注意运算的严谨性，因而不能正确 地求得曲线的范閘.答卷案例：在能够较完整解答的考生中，下而解法具有代表性（根据考生答卷整理）.解：（1）由题设知人（-血,0）, A2（V2,0）,则直线和人的方程分别为：与相乘得_y2 =三匕（x2-2） 兀一 Z由于点P（兀I, x）在双曲线y2 = I上上，所以今y,=,且|册|血将代入得轨迹E的方程为斗+尸=1 , |x|o方程为：y = y0 (2),将(2)代入(1)得，y02 =4
7、(a + I),所以点M的轨迹E的方程为j2=4(x + 1).错误剖析：(D求动点M的轨迹首先要设出其坐标(x,y),这样就为后面的推理指明了方向：找坐标间的数量关系即方程；(2)本解法中选择了动点设P的纵坐标儿为 参数来描述线段PO的垂点平分线和立线PM的方程，通过消去参数y来求得点M的轨迹E的方程，但 条件AMPO = AAOP与直线PM的方程为：y = y0不等价，后者只是前者的一种悄况，因而引起了不全 面(3)当儿=0时，线段PO的垂直平分线的斜率不存在，故要另行考虑，因而不严谨；(4)轨迹即为 曲线，问題要求的是轨迹方程，即曲线方程，首先要考虑曲线的几何属性，特别是本題的条件均以几
8、何的 方式呈现，就可由利用线段垂直平分线的性质，简化运算，同时在容易发现角相等的两种悄形.由前面的分析可以看出,学牛的问题主要聚集在没冇理解求轨迹方程的本质含义，反映在试卷上就是 不设动点坐标，消参不考虑取值范閑，不讨论曲线与方程的对应关系，表现为缺少范鬧，或范围有错，或方程不完整.人面枳出现这样的现彖，说明并非是个别学生对知识理解掌握不好，而是课堂教学有缺失,必须回到课堂中去发现问题，寻找原因3反思教学缺失先看下面的教学片断（求轨迹方程）：问题：设圆C的方程为（41 2 +）,2=1,过原点0做恻的任慧弦，求所做弦的中点M轨迹方程. 教师一共总结了四种了解法.解1（直接法）：设为过0点的一条
9、弦，M （a-, y）为其中点，闘心C所以,当 SH0时，kCM-k0M=-l,即（I, 0）,则 CM 丄 OPn综上所述，M轨迹方程为x2-.r+/ =0（0xy0）,儿=2)I 2（2x-1）2+（2y=1,即：x2-%4-/ =0（0xl）.解3 （参数法）：由己知动弦0P的斜率存在，设直线0P的方程为），=kx，代入圆的方程得，（x-1）+心2 =, 即（+ k2）x2-2x = 0 ,1+WX把x = U代入消去可得：（2x l）+（2y）所以 x2-x+y2=O(Oxl).解4：（定义法）v ZOMC=90,设阿点为，加 MN = -OC = -2 2动点胚以为侏径的圆上，関心为
10、半径为运因此动点就I轨迹方程为:小结：（1）直接法 直接法是将动点满足的儿何条件或者等量关系，直接坐标化,列出等式化简即得 动点轨迹方程.（2）定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如#M、双曲线、抛物线、圆等）, 可用定义直接探求.（3）相关点法（代入法）根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. 参数法 若动点的坐标（尢，），）啲分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立 轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是 两个不同的概念.3.1重视知识记忆与题型训练，缺失“思”时间与“悟”的空间这个教学片断在爲
11、三复习课上随处可见,教师教学设计的出发点是给学生总结穷举求轨迹方程的所有 方法，揭示求曲线方程的观律，给学牛提供一种思维的范式，让学牛自己在做題时只要按教师所讲的范式 对号入座就可,遇到同类问题学生就可以依葫芦画瓢,这种“记题型、套类型、练技巧”的学习方法，导 致学生思维能力的下降和弱化,面对新情境就不知所措，唯一办法就是照着做，全是凭着感觉走，对错全 然不知，这就是为什么在考试中频繁出现的“会而不对、对而不全”这种奇怪而教师乂不能理解的现彖， 考试后当问学生做的怎样，学生总叵I答感觉可以，具体说不淸.正是由于这种穷举填鸭式的教学方式，没 冇从学主的认知出发，设计合理的问题串，留给学生充分的时
12、间去思考问题中涉及的概念内涵，知识间的 联系，解决问题应选择的方法，没冇留给学生空间去感悟探究问题解决的关键，寻找解决问题的途径，理 淸什么是解决问题的通法，其它方法与通法的关联,换句话没能让知识能够融会贯通.在教学片断中,解 法1是基础，直接法是体现“曲线与方程”这一核心概念解法，在这一基础上教师若能引导学生并给学 生充分的时间在解法1中，去思考“动点为弦的中点这一儿何条件怎样转化为可以坐标化的条件”，如“动 点与恻心的连线与弦垂直”等,“这两个条件是否等价”，有了这些设问引导，学生经过思考自然会感悟到 求曲线方程就是将儿何关系化为代数关系，但要确保两者等价，有了这样感悟，也就明口了为什么要
13、求范 围，怎样求范围，这就是在高考答卷中学生范鬧出错的根本原因.在教学片断中，解1中将儿何条件“弦 0P的中点M ”等价于条件“CM丄0P”是不严谨的，这里有前提户点不能在x轴上，有了这样的分析学 生才会明口为什么后面讨论，经常进行这样分析，学生才能养成好的习惯，在解题时自觉地考思条件转化 是否等价，因而会不会多解或漏解,在窩考答卷中第2趣就是源于没右考虑等价性而引起的.由此可见，正是由于这种“思”与“悟”的缺失，导致学生皿然知道多解方法,但没有学握方法要领， 实施解题时就错谋百出.3.2重视解题方法的总结，缺失用核心思檳对解题的指导求轨迹方程的方法总体来说分类两大类，分别是教材中所讲的直接法和参数法，直接方法紧密联系细1 线与方程”的概念,而参数法就是曲线方程另一表示形式,当不易的找到曲线坐标Z间的关系，或已知动 点的形成受其它参量的彫响，如物理运动中时间因素，儿何运动中长度、角度，一个或多个点的运动生成新的轨迹等，掌握这两种表示方法的基本形式及使用方法时的要点，其它方程都是由两种方法衍生而來， 因而就不难掌握了轨迹
