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1、三角恒等变换 一、基本内容1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(a ) = sina cos fl cos a sin p . cos(a P) = cosa cos 夕 Tsina sin p .tana tan ptan(a /?)=1T tana tan ft对正切的和角公式有其变形：tan a +tan 0 =tan （ a + p （1- tan a tan 3 ,有时应用该公式比 较方便。2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2a = sin a cos a cos 2a = cos2 a - sin a = 2 cos a - 1 = 1 - 2 sin- a、2 t
2、an atan 2a =；1 - tan * a要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角一降次，降角一升次）特别注意公式的三角2 1 + cos 2a . .1 - cos 2acos a =, sin . a =表达形式，且要善于变形，22这两个形式常用。3. 简单的三角恒等变换变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。二、考点阐述 考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、
3、sin 20cos40 - cos 20 sin 40 的值等于()tan /? = / 行、2、若 tanrz = 3,3 ,则 tan( ”)等于()J 上A. -3 B. 3 C. 3 D. 3考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cos 5 cos 5的值等于（）_ _A. 4 B. 2 C. 2 D. 40 A c B- cc b D. cv a2. 明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质，它 可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们达到三角恒等变换 的目的。（1）运用
4、转化与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的 思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2. 已知 2 /3a 4 , cos (a 阶=* , sin (a+们=-5 ,求 sin2o 的值.例 3.化简：2sin50+sinl0 （l+tanl0） .vsin 80（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角 恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求 解。23 t
5、an（a + /?） - tan a - tan /?例 4：已知 sin （a+汽）=3, sin （-/?） =4,求 tan /J */J） 的值.。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向己知转化，可以利用特定的关 系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的 范围。sin a + sin /?=,例5：茬2求cos a cos /?的取值范围。3. 关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点（学生尝试）【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等 知识的联系与综
6、合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例 6：已知：向量 =(J3,I), A=(sin2x,cos2x)函数（i）若人（对=且。 xv几（2）求函数取得最大值时，向量a与b的夹角.四、作业1 . sin 165= ( ) A . 2 B . 2c.()7242424 C . D . _ V2 . sinl40cosl6+sin760cos74 的值是()XG (,0) cos x=3 .已知 2,5 ,则 Um 2x =4 .化简 2sin ( 4 一 力-sin ( 4 +x)A . sin2xB . cos2xC. cos2xD. sin2x5 . sin 12 Jcos 12 的值是()A . OB . c . D . 2 sin 126 .瞬 7y- 0。 24x7y- 08.cos (a + )cos /? + sin (a + 0 )sin fi10.tan 20 + tan 40 + x/J tan 20 tan 40 的值是11.cos。 1 . “ sin 20004cot tan 求证：2212.已知tan 2。=3 ,求tanu的值.13.O已知x .次 、5x 0)的周期为 T=n，最大值12(1求的值;(2若弟为方程广(对二的两根，且的终边不共线，求响)的值.
