《三角形中的几何计算正式版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形中的几何计算正式版.doc（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教学设计2三角形中的几何计算整体设计教学分析本节课是继学习了正弦定理、余弦定理之后安排的一节课，可以说是对正弦定理、余弦 定理的应用进行的小结课或习题课，为后面的实际应用举例奠定基础，因此本节课的学习具 有承上启下的桥梁作用.在本节课的教学中，要用方程的思想作统帅，具体问题具体分析作 指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题.在本节课中，首先帮助学生回忆并用文字语言复述出正弦定理和余弦定理，并指出正弦 定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然.但 解题的时候，应有最佳选择.教学过程中，我们应指导学生结合利用正弦定理和余弦定理解 三角形的问题进行归纳
2、剖析，以提高学生的思维层次.本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形.而正确运用两个定理的关键 是要结合图形，明确各己知量、未知量以及它们之间的相互关系.通过例题的活动探究，要 让学生结合图形理解题意，学会分析问题的状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理.在 教学中还要让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路.在练习与变式例 题中同样牢牢抓住正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，用方程的思想指导思路.正弦定理、余弦定理可以解决四类有关三角形的问题.为了把它们融入到学生的认知结 构中，设计了变式例题，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力.同时应指出，在 解斜三角形
3、问题时，经常要利用正弦、余弦定理进行边角转化，转化的主要途径有两条：（1） 化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角 问题转化为代数问题加以解决.一般地，当己知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定 理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系， 利用三角函数公式求解较为简便.总之，关键在于根据条件，结合图形，准确判断解的情况、 灵活选用定理及公式.三维目标1. 通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式及文字语言的叙述，进一步熟悉正、余弦定理 的内容、作用及所解三角形的类型，能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公
4、 式等有关三角形问题灵活地解三角形.2. 善于利用分类讨论的思想，先易后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题， 把对学生的思维训练贯穿整节课的始终.3. 通过本节课的探究，培养学生勇于探索、勇于创新、善于分析以及具体问题具体分析 的科学精神和良好的学习习惯，并对正弦定理、余弦定理的反射美产生愉悦感，从而激发学 生热爱数学，热爱科学的追求精神.帝点点教章重餐：灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计 算.教学难点：利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合 应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（复习导入）让学生回顾正弦定理、余弦定理
5、的内容及表达式，回顾上两节课所解决 的解三角形问题，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并结合三角、向量、几何等知识，我 们会探究出什么样的解题规律呢？由此展开新课.思路2.（直接导入）正弦定理、余弦定理是两个重要定理，在解决与三角形有关的几何计算 问题中有着广泛的应用.由此直接导入新课.推进新课新知探究提出问题 回忆正弦定理、余弦定理的表达式，并用文字语言叙述其内容.你能写出定理的哪些变 式？ 解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些？活动：结合课件、幻灯等，教师可把学生分成几组互相提问正弦定理、余弦定理的内容 是什么？各式中有几个量？有什么作用？用方程的思想写出所有的变形(包括文字叙述)，
6、让学 生回答正、余弦定理各适合解决的解三南形类型问题、三角形内角和定理、三角形面积定理 等.可让学生填写下表中的相关内容：解斜三角形时可用的定理 和公式适用类型备注余弦定理cr=b2+c2 2/?ccos A b1=a1+c126/ccos B(?b2+cr2bacos C(1) 已知三边(2) 已知两边及其夹角类型(1)(2)有解时只有一解正弦定理absin 人sin sin C(3) 已知两角和一边(4) 已知两边及其中一边的对 角类型(3)在有解时只有一解， 类型(4)可有两解、一解或无 解三角形面积公式S2csin A =2csin B =2bsin C(5)已知两边及其夹角讨论结果：
7、略.应用示例思路1例1在中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 0=ocosC且曲C的最大边 长为12,最小内角的正弦值为？.(1) 判断如。的形状；(2) 求AABC的面积.活动：教师与学生一起共同探究本例，通过本例带动正弦定理、余弦定理的知识串联， 引导学生观察条件b=cicosC,这是本例中的关键条件.很显然，如果利用正弦定理实现边角 q2 + 朋一* 转化，则有2RsinB=2RsinAcosC.若利用余弦定理实现边南转化，则有b=a-,两A R TT C种转化策略都是我们常用的.常用的角的变2A + 2B+2C=2ti, sinA = sin(B + C), cos A=
8、cos (8+C), sin *=cos cos =sin 等，三个内角的大小范围都 不能超出(0。，180).解：(1)方法一：9：b=acos C,由正弦定理,得sin B=sin Acos C.又 V sin B=sin(A + C),.sin(A + C) = sin Acos C,即 cos Asin C=0.又.人，ce(o,丸)，/.cos A=0,即4=；./ABC是A=90。的直角三角形.方法二：V/? = ZCOS C,2 I 2 _ r二由余弦定理，得b=ci_,2b由余弦定理 cr=b1-(r2Z?ccos A,可得 tz2=4+25 2X2X5X= 13, a=y3.
9、例 2 如图 1 所示，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=5, AC=9, ZBCA = 30, ZADB= 45.求8。的长.=a2+b2c29 即 a2=b2+c2.由勾股定理的逆定理，知人8C是A = 90。的直角三角形.(2Y：/ABC的最大边长为12,由知斜边。=12 又.WBC最小内角的正弦值为？， ARtAABC的最短直角边长为12x|=4.另一条直角边长为如=8皿， 5aabc=| X 4 X 8皿=16瞻点评：以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分 析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向.因此要特别关注三角函数在解三角形时的灵 活运用
10、，及正、余弦定理的灵活运用.1. 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题. 已知两角和任一边，求其他两边和一角. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2. 正弦定理可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例 如：在判断三角形形状时，经常把b, c分别用2Rsin A,2Rsin 8,2Rsin C来代替.3. 余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边 角之间的转化.(1) 已知三边，求三个角.(2) 已知两边和夹角，求第三边和其他两角.4. 用方程的思想理解和运用余弦定理，当等
11、式疽=。2+2_2北8, A中含有未知数时， 这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求1或人或c 或 cos A.支式训练4在ABC中，角A, B, C所对的边分别是。，b, c,且cosA=$.B+c(1) 求 sin 22+cos 2A 的值；(2) 若 b=2, /ABC 的面积 S=3,求 o.行 0B+C ,1cos (B+Q解：(l)sin _2+cos 2A =+cos 2A1 +cos A , c2+2cos 2A 15950-4(2) . cosA=, a 3 sin A=.AD活动：教师与学生一起探究，点拨学生找出相关的三角形. 解：在ABC
12、中，AB=59 AC=9, ZBCA=30.ACsin ZBCA 9sin 30。 9因为AOBC,所以 ZBAD= 180 - ZABC,9于是 sin ZBAD=sin ZABC=y.9同理，在人8。中，4B=5, sin ZBAD=而,ZADB=45, 解得BD=.答：BO的长为罕.点评：找出相关的三角形后，关键要根据题目的条件与所求，选定运用哪个定理，达到 优化解题过程，灵活解题的目的.支式训琳在ABC 中，若匕8=30。，AB=2$, AC=2f 则ABC 的面积是.若C=60,则是直角三角形，S旭c=BXAC=20；若 C =120,则 NA = 30, Saabc=ACX AB
13、sin 30=y3.答案：20或0例3 一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点人开始做匀速直线运动，到达点B时, 发现足球在点。处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动.如图2所示，已知AB=4肇 dm, AO=17dm, ZBAC=45.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处 截住足球？活动：机器人最快裁住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方，设为C点.利用 速度建立AC与BC之间的关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题.解：设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AO上.设 BC=x dm,由题意，CD=2x dm.AC=AOCO=(172x)(dm).在AB
14、C中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC22ABACcosAf即 = (4V2)2 + (17-2)2-2X4V2X(17-2x)cos 45.解得 X =5 dm ,dm.所以AC=172x=7dm或AC=苧dm（不合题意，舍去）.答：该机器人最快可在线段AD上离点A7 dm的点C处截住足球. 点评：解完本例后，要让学生反思体会本例中的方程思想.思路2例1如图3,己知 ABC, BD为角B的平分线，求证：AB : BC=AD : DC.BD C图3活动：教师与学生一起探究.角B的平分线8。将ABC分成了两个三角形：与 4CBD,故要证结论成立，可证明它的等价形式AB ： BC=AD ： DC
15、,从而把问题转化到两个 三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转 化为. :八/= 厂，再根据相等角的正弦值相等，互补角的正弦值也相等即可证明姑sin ZBDC sin /DBCA8_sin ZADB 即人。一sin ZABDM . BC _ sin ZBDC 即DC=sin ZDBCBD是角B的平分线，.ZABD= ZDBC.:.sin ZABD=sin ZDBC.ZADB+ABDC=180。,Asin ZADB=sin( 180 - Z BDC) = sin ZB DC. sin ZADB sin ZBDC BC . AB AD. *AD=sin ZABD=sin ADBC=DC * *BC=DC点评：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的 正弦值相
