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1、学习必备欢迎下载平面几何中的定值问题开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目敏捷、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的才能；这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：【问题 1】已知一等腰直角三角形的两直角边 AB=AC=1 ，P 是斜边 BC 上的一动点，过AP 作 PE AB 于 E， PF AC 于 F， 就PE+PF=；F方法 1：特别值法：把P 点放在特别的B 点或 C 点E或 BC 中点；此种方法只适合小题；P方法 2：等量转化法： 这是绝大部分同学能够想到的BC方法， PF=AE,PE=BE, 所以 PE+PF=BE+AE ；方法 3：等面积法
2、：连接AP，ABPEPFS ABCS ABPS APCABACABPEACPF总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法 2 抓住了边长 AB 的不变性和 PE,PF 与 BE,AE 的不变关系； 方法 3 抓住了面积的不变性） ，使得问题迎刃而解；设计：大部分同学都能想到方法 2，如其他两种方法同学没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉；此题可叫差生或中等偏下的同学回答（赛比艳，艾科）（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展现自我的机会；）过渡： 这道题太简洁了，由于等腰直角三角形太特别了，我如把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决
3、？请看：【变式 1】如把问题1 中的等腰直角三角形改为A等腰三角形，且两腰AB=AC=5 ，底边 BC=6 ，F过 P 作 PE AB 于 E， PF AC 于 F，就PE+PF 仍是定值吗？如是，是多少？EB如不是，为什么.方法 1：三角形相像进行量的转化CABMPBEPCFPAMPEPFPEAMPB , PFAMPCABPBPCABABPEPFAM PBPCAMBC4 624（板书）ABAB55（M 为 BC 中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的帮助线，抓住这条线的长度 是不变量这个特点，建立PE,PF 与 AM 之间的联系，化动为静）方法 2：等面积法：S ABCS AB
4、PS APCBCAMABPEACPFPEPFBCAM AB6 424（ M 为 BC 中点）（板书）55（解题要点： 抓住 三角形面积 是个不变量， 用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法； ）学习必备欢迎下载如同学想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF 之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？同学会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量；（设计意图：由特别到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）（老师行为：出示题之后，让同学做，老师下去看；叫用方法1 的同学先站起来回答，然后再叫用方法2 的同学；以达到过渡到下一题的目的；）问
5、：我把题中的5 改为 a， 6 改为 b， PE+PF 仍是定值吗？你能求出这个定值吗？答：是定值，求解方法不变；问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？b结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=a长,h 为的边上的高（等面积法可以求解，留意当顶角为钝角的情形）h a 为腰长 ,b 为底边（设计意图：培育同学探究的精神，养成勤总结的习惯）问题：通过前面几题， 你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应当留意什么问题？答：不要被 动、 变困惑，通过观看，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径；在解题
6、过程中要留意点或线在运动的过程中，是否需要争论；过渡：上面两题中的动点都是在肯定线段或直线上运动，有些同学可能仍是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：【变式2】已知 P 为边长为a 的等边三角形ABC内任意一动点，P 到三边的距离分别为h1,h2,h3,就 P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？A（由上题的启示，同学可能很简洁想到等面积法）S ABCS ABPS ACPS BCPBCAMABPEACPFBCPDF EPPEPFPDAM为定值（ M 为 BC 中点）（板书）可以用几何画板度量长度，进行演示（设计意图：使同学更深一步懂得等面积法的应用）过渡：争论完了
7、P 在三角形内部运动的情形，我们不防降低对P 点的约束，让这个好动的点P 动到三角形外部去， 情形又会有何变化？BDC【变式 3】已知 P 为边长为a 的等边三角形ABC 外任意一点， P 到三边的距离分别为h1,h2,h3,就 P 到三边的距离之间有何关系？为什么？AEFAAPPEFFDEDBBCCPBCD图 1图 2图 3学习必备欢迎下载在几何画板中操作，发觉当点P 移出三角形时，h1 h2 h3 发生转变，那么h1,h2,h3 有没有什么肯定的关系呢？等面积法仍可以用吗？PAB，PBC， PAC 的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC 的面积有何关系？（直需讲解一种情形，
8、其它让同学自己去补充）图 1：S ABCS ABPS ACPS BCPBCAMABPEPFPDAM 为定值（板书）图 2：S ABCS ACPS BCPS ABPBCAMACPFPDPEAM 为定值（只把结论板书）图 3：S ABCS ABPS BCPS ACPBCAMABPEACPFBCPDPFBCPDABPEPEBCPDACPFPEPDPFAM 为定值（只把结论板书）AAFPAEFEDBCBPECDCFPBD图 1图 2图 3图 1：S ABCS ACPS ABPS BCPBCAMPFPEPDAM 为定值（板书）图 2：S ABCS ABPS BCPS ACPBCAMACPEABPFBCP
9、DABPEBCPDACPFPEPDPFAM 为定值（只把结论板书）图 3：S ABCS BCPS ABPS ACPBCAMBCPDABPEACPFPDPEPFAM 为定值（只把结论板书）（设计意图：渗透分类争论思想在平面几何中的应用；）（老师行为： 在几何画板中作出个三角形，填充内部， 让同学直观地发觉几个三角形之间的面积关系；）过渡：前面我们争论的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题；学习必备欢迎下载【问题 2】已知：已知弧AB 为 120 度，在以 AB 为弦的弓形劣弧上取一点M 不包括 A 、 B 两点 ，以 M 为圆心作圆M 和 AB 相切，分别过A
10、， B 作 M 的切线，两条切线相交于 点 C.求证： ACB 有定值，并求出这个定值.C分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？答： 此题中的 不变量是弧AB ，因此 AMB 也是不变量；EF不变关系是相切；M问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？答：连接圆心与切线AB方法 1：问：要证 ACB 有定值，可以转化为求什么为D定值？答：要证 ACB 有定值，只需证CAB+ CBA 是定值，只需证MAB+ MBA是定值，只要AMB是定值即可；证明：在 ABC 中， MAB+ MBA=180 AMB ，M 是 ABC 的内心， CAB+ CBA=2180 AMB. ACB=180（
11、 CAB+ CBA ） =180 2180 AMB= 2 AMB 18060. ACB 有定值 60.方法 2： 问：要证 ACB 有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证 ACB 有定值，只需证EMF 是定值，只需证EMD+ FMD 是定值，只要 AMD+ BMD 即 AMB是定值即可；证明：在四边形CEMF 中， C+ EMF=180，M 是 ABC 的内心， DMA= EMA, FMB= DMB EMD+ FMD=2 AMB =240 EMF=120 C =180- EMF=60总结： 如要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较简洁看出的不变量，然后建立两者之间的联系；（设计意图：多角
12、度，多方位地争论动态几何中的定值问题，此题以圆为背景，争论角的定值问题；）过渡： 上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向确定是定值了，如不是证明题呢？学习必备欢迎下载【问题 3】已知： O 是如图同心圆的圆心,AB 是大圆的直径 .点 P 是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R 与 r.问:PA2 PB2 是否有定值 ,如有 ,求出定值 ;如没有 ,说明理由 .分析：这道题是探究定值的问题，可以先用特位定值法，探究以下是否可能是定值；点 P 放在直径AB 上.得 PA2 PB2（ Rr ）2（ . R r） 2 2（ R2 r2） .点 P 放在与直径AB 垂直的另一条直径上也可得 PA2PB 2 R2 r2R2 r2 2（ R2 r2） .说明 PA2PB 2 特别有可能是定值，而且这个值为2（ R2 r2）BBBOOO PPPAAAPAOB H证明：（直角三角形运算法）PA2 PB2HA 2PH2+PH2 HB 2 2PH2 OH+R 22+R-OH2PH2 2OH2+2R 2=2PH 2 OH 2 +2R 2=2r 2 2R2解答动态几何
